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| Aufgabe | Eine diskrete Zufallsvariable X: Ω -> {a,a+b,a+2b,...,a+Nb} besitzt die Zähldichte
P(X=x) =
1/(N+1) für x = a+kb, k=0,1,...,N
0 sonst.
a [mm] \in \IR, [/mm] b [mm] \in \IR+, [/mm] N [mm] \in \IN_0
[/mm]
Bestätigen Sie, dass es sich um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt und geben Sie die zugehörige Verteilungsfunktion an. |
Hallo Matheraum.de
Die vorliegende Aufgabe kann ich nicht lösen. Damit eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte vorliegt, müssen ja zwei Dinge gelten: Kein Wert darf eine Wahrscheinlichkeit größer 1 haben und die Summe aller Werte muss 1 sein. Wenn ich keinen Parameter habe kann ich Ersteres ja ablesen und Zweites durch einfache Addition nachweisen.
Das erste Kriterium müsste hier meiner Meinung nach gegeben sein, da 1/N+1 (oder 0) IMMER kleinergleich 1 ist, weil N ja nur natürliche Zahlen und 0 annehmen kann. Bei N=0 ist die Wahrscheinlichkeit 1, bei allem darüber kleiner 1.
Für das zweite muss gelten
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] P(k) = 1
Wie weise ich das in meinem Fall nach?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Für festes N sind alle positiven Wahrscheinlichkeiten alle gleich, nämlich 1/(N+1). Du musst nur noch überlegen, dass genau N+1 mal dieser Wert auftritt.
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Hallo HJKweseleit und vielen Dank für die Antwort! :)
Bedeutet das, dass eine Normalverteilung vorliegt, da wir N gleichgroße Ereignisse haben, und daher die Summe aller Ereignisse 1 sein muss?
Wie gebe ich zu dieser Funktion die Verteilungsfunktion an? Die Verteilungsfunktion müsste dann ja k*1/(N+1) sein, wenn ich das richtig verstehe.
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Hallo,
> Hallo HJKweseleit und vielen Dank für die Antwort! :)
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> Bedeutet das, dass eine Normalverteilung vorliegt, da wir N
> gleichgroße Ereignisse haben, und daher die Summe aller
> Ereignisse 1 sein muss?
um Himmels Willen, nein. Es handelt sich um eine diskrete Gleichverteilung, mehr ist es nicht. Und Summen von Ereignissen gibt es nicht, nur die Summen der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen. Und diese Summe (also hier der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse) muss für jede Verteilung gleich 1 sein, das entspricht ja der Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs.
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> Wie gebe ich zu dieser Funktion die Verteilungsfunktion an?
> Die Verteilungsfunktion müsste dann ja k*1/(N+1) sein,
> wenn ich das richtig verstehe.
Das geht in die richtige Richtung, ist aber noch nicht richtig. Überlege mal: in deiner Version wäre
P(X=a)=P(X=a+0*b)=0
Das sollte nicht sein!
Mit einer kleinen Anpassung kannst du das jedoch reparieren.
Gruß, Diophant
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