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| Aufgabe | | Wie viele natürliche Zahlen von 1 bis einschließlich [mm] $10^{30}$ [/mm] gibt es, die von der Form [mm] $x^{2}$ [/mm] oder von der Form [mm] $x^{3}$ [/mm] oder von der Form [mm] $x^{5}$ [/mm] sind? |
Hallo,
ich spiele gerade etwas mit Zahlen... Wer will mitspielen? 
[mm] $\underline {x^{2}}:$
[/mm]
$1 = [mm] 1^{2}$
[/mm]
$4 = [mm] 2^{2}$
[/mm]
$9 = [mm] 3^{2}$
[/mm]
$16 = [mm] 4^{2}$
[/mm]
...
[mm] $10^{30} [/mm] = [mm] (10^{15})^{2}$
[/mm]
Ich erkenne, dass es z.B. bis zur 16 insgesamt 4 natürliche Zahlen gibt, denn 16 - 9 = 7 - 3 (Basis des Vorgängers) = 4. Gleiches Schema gilt auch für die Zahlen dafür.
Also müsste ich [mm] $10^{30}-(10^{15}-1)^{2}-10$ [/mm] rechnen.
Kann das stimmen?
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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Hallo,
was hältst du bspw. für den Fall [mm] x^2 [/mm] von dem Ansatz
[mm]\frac{x*(x+1)*(2x+1)}{6}<10^{30}[/mm]
?
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | | Wie viele natürliche Zahlen von 1 bis einschließlich $ [mm] 10^{30} [/mm] $ gibt es, die von der Form $ [mm] x^{2} [/mm] $ oder von der Form $ [mm] x^{3} [/mm] $ oder von der Form $ [mm] x^{5} [/mm] $ sind? |
Hallo diophant,
> Hallo,
>
> was hältst du bspw. für den Fall [mm]x^2[/mm] von dem Ansatz
>
> [mm]\frac{x*(x+1)*(2x+1)}{6}<10^{30}[/mm]
>
> ?
>
>
sehr viel!
Gibt es ein Kochrezept, um derartige Brüche zu konstruieren?
War meine Lösung eigentlich falsch?
> Gruß, Diophant
Danke Dir!
Gruß
el_grecco
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Hallo,
> Gibt es ein Kochrezept, um derartige Brüche zu
> konstruieren?
das Kochrezept heißt 'Summenformeln'. Bis [mm] x^4 [/mm] stehen sie in jeder Formelsammlung, danach wird es glaube ich eine Wissenschaft für sich. Die Tatsache, dass man für höhere Potenzen keine Summenformeln verwendet, wird schon ihren Grund haben.
> War meine Lösung eigentlich falsch?
nun, der Gedankengang 16-9=7-3 will sich mir noch nicht so ganz erschließen.
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | | Wie viele natürliche Zahlen von 1 bis einschließlich $ [mm] 10^{30} [/mm] $ gibt es, die von der Form $ [mm] x^{2} [/mm] $ oder von der Form $ [mm] x^{3} [/mm] $ oder von der Form $ [mm] x^{5} [/mm] $ sind? |
Hallo,
ich habe leider große Schwierigkeiten, die Lösung zu dieser Aufgabe zu verstehen und hoffe, jemand sieht, was hier gemacht wurde.
Meine Fragen:
- Steht das P hier für die Potenzmenge?
- Da nach der Vereinigung der drei Mengen gefragt ist, verstehe ich nicht, warum im Venn-Diagramm der Schnitt gebildet wird bzw. wie die auf [mm] $|P_{2}\cup P_{3}\cup P_{5}|=...$ [/mm] kommen?
Lösung:
[mm] $P_{k}=\{x^{k} \in \IN | 1 \le x^{k} \le 10^{3}\}$
[/mm]
Gefragt: [mm] $(P_{2}\cup P_{3}\cup P_{5})$
[/mm]
[mm] $|P_{2}\cup P_{3}\cup P_{5}|=|P_{2}|+|P_{3}|+|P_{5}|-|P_{2*3}|-|P_{2*5}|-|P_{3*5}|+|P_{2*3*5}|$
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Venn-Diagramm
Prinzip der Inklusion und Exklusion
[mm] $x^{2} \le 10^{30} \gdw [/mm] x [mm] \le 10^{15}$ $|P_{2}|=10^{15}$
[/mm]
[mm] $x^{3} \le 10^{30} \gdw [/mm] x [mm] \le 10^{10}$ $|P_{3}|=10^{10}$
[/mm]
[mm] $x^{5} \le 10^{30} \gdw [/mm] x [mm] \le 10^{6}$ $|P_{5}|=10^{6}$
[/mm]
[mm] $x^{6} \le 10^{30} \gdw [/mm] x [mm] \le 10^{5}$ $|P_{6}|=10^{5}$
[/mm]
[mm] $x^{10} \le 10^{30} \gdw [/mm] x [mm] \le 10^{3}$ $|P_{2*5}|=10^{3}$
[/mm]
[mm] $x^{15} \le 10^{30} \gdw [/mm] x [mm] \le 10^{2}$ $|P_{3*5}|=10^{2}$
[/mm]
[mm] $x^{30} \le 10^{30} \gdw [/mm] x [mm] \le 10^{1}$ $|P_{2*3*5}|=10^{1}$
[/mm]
[mm] $10^{15}+10^{10}+10^{6}+10^{5}+10^{3}+10^{2}+10^{1}=$
[/mm]
$=1 [mm] \quad [/mm] 000 [mm] \quad [/mm] 010 [mm] \quad [/mm] 000 [mm] \quad [/mm] 898 [mm] \quad [/mm] 910$
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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> Wie viele natürliche Zahlen von 1 bis einschließlich
> [mm]10^{30}[/mm] gibt es, die von der Form [mm]x^{2}[/mm] oder von der Form
> [mm]x^{3}[/mm] oder von der Form [mm]x^{5}[/mm] sind?
> Hallo,
>
> ich habe leider große Schwierigkeiten, die Lösung zu
> dieser Aufgabe zu verstehen und hoffe, jemand sieht, was
> hier gemacht wurde.
>
> Meine Fragen:
> - Steht das P hier für die Potenzmenge?
Nein.
Das P steht einfach für die Menge der Potenzen, also [mm] $P_2$ [/mm] ist die Menge aller [mm] $x^2 \leq 10^{30}$
[/mm]
> - Da nach der Vereinigung der drei Mengen gefragt ist,
> verstehe ich nicht, warum im Venn-Diagramm der Schnitt
> gebildet wird bzw. wie die auf [mm]|P_{2}\cup P_{3}\cup P_{5}|=...[/mm]
> kommen?
>
[mm] $P_2$ [/mm] sind die Zahlen der Form [mm] $x^2$, $P_3$ [/mm] die der Form [mm] $x^3$,...
[/mm]
Somit hast du in der Vereinigungsmenge dieser Zahlen also gerade die Menge aller Zahlen die dich interessieren.
Hiervon wird die Mächtigkeit betrachtet und somit hast du die gesuchte Anzahl.
>
> Lösung:
>
> [mm]P_{k}=\{x^{k} \in \IN | 1 \le x^{k} \le 10^{3}\}[/mm]
>
> Gefragt: [mm](P_{2}\cup P_{3}\cup P_{5})[/mm]
>
> [mm]|P_{2}\cup P_{3}\cup P_{5}|=|P_{2}|+|P_{3}|+|P_{5}|-|P_{2*3}|-|P_{2*5}|-|P_{3*5}|+|P_{2*3*5}|[/mm]
>
> Venn-Diagramm
>
> Prinzip der Inklusion und Exklusion
>
> [mm]x^{2} \le 10^{30} \gdw x \le 10^{15}[/mm] [mm]|P_{2}|=10^{15}[/mm]
>
> [mm]x^{3} \le 10^{30} \gdw x \le 10^{10}[/mm] [mm]|P_{3}|=10^{10}[/mm]
>
> [mm]x^{5} \le 10^{30} \gdw x \le 10^{6}[/mm] [mm]|P_{5}|=10^{6}[/mm]
>
> [mm]x^{6} \le 10^{30} \gdw x \le 10^{5}[/mm] [mm]|P_{6}|=10^{5}[/mm]
>
> [mm]x^{10} \le 10^{30} \gdw x \le 10^{3}[/mm] [mm]|P_{2*5}|=10^{3}[/mm]
>
> [mm]x^{15} \le 10^{30} \gdw x \le 10^{2}[/mm] [mm]|P_{3*5}|=10^{2}[/mm]
>
> [mm]x^{30} \le 10^{30} \gdw x \le 10^{1}[/mm] [mm]|P_{2*3*5}|=10^{1}[/mm]
>
>
> [mm]10^{15}+10^{10}+10^{6}\red{-} 10^{5} \red{-} 10^{3}\red{-} 10^{2}+10^{1}=[/mm]
> [mm]=1 \quad 000 \quad 010 \quad 000 \quad 898 \quad 910[/mm]
>
Hier müssen an drei Stellen - stehen, nicht +
Wie viele Zahlen in [mm] $P_2$ [/mm] sind, wie viele in [mm] $P_3$ [/mm] und wie viele in [mm] $P_5$ [/mm] berechnet sich einfach als:
[mm] $n^2 \leq 10^{30}$ [/mm] und das größte n suchen für das diese Ungleichung noch gilt (die anderen P entsprechend).
Verstehst du das Inklusions/Exklusionsprinzip?
Falls nicht mach es dir mal an einem einfacheren Beispiel klar:
Wie viele Zahlen [mm] $\leq$ [/mm] 100 gibt es, die durch 2 oder durch 3 teilbar sind?
Zuerst zählen wir wie viele durch 2 teilbar sind:
2,4,6,8,...,98,100
Also insgesamt 100/2 = 50 Stück
Durch 3 teilbar sind:
3,6,9,...,96,99
Insgesamt 100/3 = 33 (muss abgerundet werden) Stück.
Addierst du die Anzahlen ergibt sich: 50+33 = 83 Stück.
Das Problem dabei ist:
Du hast die Zahlen, die durch 2 und durch 3 teilbar sind (also die 6, die 12, etc.) doppelt gezählt, also müssen die wieder einmal abgezogen werden.
Insgesamt müssen also 100/6 = 16 (auch hier abrunden) abgezogen werden.
Also gibt es ingesamt:
50+33-16 = 67 Zahlen [mm] $\leq [/mm] 100$, die durch 2 oder durch 3 teilbar sind.
Bei deinen drei Mengen wird das gleiche verwendet:
Wir nehmen alle [mm] $x^2$, [/mm] alle [mm] $x^3$ [/mm] und alle [mm] $x^5$ [/mm] und zählen die zusammen.
Dann ziehen wir die [mm] $x^6$, [/mm] die $x^10$ und die $x^15$ wieder ab, weil wir die doppelt gezählt haben.
Allerdings wurden hierbei die $x^30$ zu oft abgezogen, deshalb müssen die wieder draufaddiert werden.
Insgesamt kann man sich das am Venn-Diagramm auch sehr schön veranschaulichen:
Mal mal [mm] $P_2$, $P_3$ [/mm] und [mm] $P_5$ [/mm] in verschiedenen Farben aus.
Dann sind die Schnitte zweifarbig, der Schnitt ganz in der Mitte sogar dreifarbig, diese hast du also zu oft gezählt.
Also müssen sie wieder weg:
Nimmst du nun die Schnitte von je zwei Mengen weg hast du den dreier-Schnitt drei mal abgezogen (es gibt 3 zweier-Schnitte), also einmal zu oft, drum muss er wieder dazu.
Hoffe das war ein ganz klein wenig verständlich.^^
Noch mal mit hübschen Bildchen und etwas mehr Text gibt es das hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Inklusion_und_Exklusion
> Gruß
> el_grecco
MfG
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 05.09.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Schadowmaster,
vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung, jetzt ist die Aufgabe kein Problem mehr!
> $ [mm] 10^{15}+10^{10}+10^{6}\red{-} 10^{5} \red{-} 10^{3}\red{-} 10^{2}+10^{1}= [/mm] $
Sorry, das habe ich falsch abgetippt...
Gruß
el_grecco
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> Wie viele natürliche Zahlen von 1 bis einschließlich
> [mm]10^{30}[/mm] gibt es, die von der Form [mm]x^{2}[/mm] oder von der Form
> [mm]x^{3}[/mm] oder von der Form [mm]x^{5}[/mm] sind?
Hallo zusammen,
dies scheint ein ziemlich alter Thread zu sein, aber ich muss
sagen, dass ich nicht recht verstehe, woran ihr hier herum-
grübelt.
Mit x sollen wohl ebenfalls natürliche Zahlen gemeint sein
(denn wenn z. B. reelle Zahlen zugelassen wären, könnte
man jede natürliche Zahl als [mm] n=x^2 [/mm] mit [mm] x\in\IR [/mm] schreiben).
Die n-te natürliche Zahl der Form [mm] x^k [/mm] mit [mm] x\in\IN [/mm] ist natürlich
genau die Zahl [mm] n^k.
[/mm]
Von 1 bis einschließlich [mm] N=10^{30} [/mm] gibt es demzufolge genau
[mm] \sqrt{N}=10^{15} [/mm] Zahlen der Form [mm] x^2 [/mm] , [mm] \sqrt[3]{N}=10^{10} [/mm] Zahlen der Form [mm] x^3 [/mm] und
[mm] \sqrt[5]{N}=10^{6} [/mm] Zahlen der Form [mm] x^5 [/mm] (jeweils mit [mm] x\in\IN) [/mm] .
Von Summen solcher Zahlen war doch in der Aufgabe gar
keine Rede !
LG Al-Chw.
Nachtrag:
Ich habe die Aufgabe so aufgefasst, dass man die Anzahl
der Quadratzahlen, Kubikzahlen und fünften Potenzen
separat berechnen solle. Wenn aber die Anzahl derjenigen
Zahlen $\ [mm] n\in\{1,2,\,.....\,10^{30}\}$ [/mm] gesucht ist, für welche n ein Quadrat,
Kubus oder eine fünfte Potenz einer natürlichen Zahl ist,
so ist dies eine andere Aufgabe.
In der Originalaufgabe ist aber nach meiner Ansicht nicht
wirklich klar zu erkennen, dass dies so gemeint war.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Mo 05.09.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hi Al,
Danke für Dein Engagement.
Ich finde, bei dieser Aufgabe wäre ein Hinweis à la "Nutzen Sie das Prinzip der Inklusion und Exklusion" angebracht gewesen...
Gruß
el_grecco
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> Ich finde, bei dieser Aufgabe wäre ein Hinweis à la
> "Nutzen Sie das Prinzip der Inklusion und Exklusion"
> angebracht gewesen...
dies wäre dann schon ein Hinweis auf einen möglichen
Lösungsweg gewesen - nicht nötig, falls die Aufgabe
selber sorgfältiger formuliert gewesen wäre
LG Al
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![[]](http://img20.imageshack.us/img20/2139/venn.png){kind=small}
Venn-Diagramm