Zahlenbeweis < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Fr 14.03.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | a und b sind ungerade natürliche Zahlen und b ist um 2 größer als a.
Zeige der Quotient [mm] \frac{a}{b} [/mm] ist kleiner als 1 |
Hallo Zusammen,
kann man das so lösen?
a=2x+1
b=2x+3
[mm] \frac{a}{b}=\frac{2x+1}{2x+3}< [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] 2x+1 < 2x+3 [mm] \gdw [/mm] 1<3
Grüße
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Hi Bodo,
> a und b sind ungerade natürliche Zahlen und b ist um 2
> größer als a.
> Zeige der Quotient [mm]\frac{a}{b}[/mm] ist kleiner als 1
> Hallo Zusammen,
> kann man das so lösen?
>
> a=2x+1
> b=2x+3
Du musst hier schon sagen, was x sein soll.
>
> [mm]\frac{a}{b}=\frac{2x+1}{2x+3}<[/mm] 1 [mm]\gdw[/mm] 2x+1 < 2x+3 [mm]\gdw[/mm] 1<3
Was ist die Schlussfolgerung?
>
> Grüße
Es ist natürlich unbedeutend, ob a und b nun gerade oder ungerade sind. Du kannst also auch zeigen:
[mm] a,b\in\IN [/mm] und b=a+2. Dann ist a/b<1.
Das ist ja aber schon ziemlich offensichtlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Fr 14.03.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hi Bodo,
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> > a und b sind ungerade natürliche Zahlen und b ist um 2
> > größer als a.
> > Zeige der Quotient [mm]\frac{a}{b}[/mm] ist kleiner als 1
> > Hallo Zusammen,
> > kann man das so lösen?
> >
> > a=2x+1
> > b=2x+3
>
> Du musst hier schon sagen, was x sein soll.
>
> >
> > [mm]\frac{a}{b}=\frac{2x+1}{2x+3}<[/mm] 1 [mm]\gdw[/mm] 2x+1 < 2x+3 [mm]\gdw[/mm] 1<3
>
> Was ist die Schlussfolgerung?
> >
> > Grüße
>
> Es ist natürlich unbedeutend, ob a und b nun gerade oder
> ungerade sind. Du kannst also auch zeigen:
>
> [mm]a,b\in\IN[/mm] und b=a+2. Dann ist a/b<1.
>
> Das ist ja aber schon ziemlich offensichtlich.
Hi, aber wie kann ich das denn einem schriftlich klar machen? wie komm ich denn mit meinem Ansatz zu einer vernünftigen Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Fr 14.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
fang rückwärts an:
0<2 ist wahr folgt mit n>0 n<n+2 wegen n+2>0 folgt n/(n+2)<1
fertig
wenn man aus einer Kette etwas richtiges folgert, muß man immer versuchen, von dem richteigen auf die Anfangsbehauptung zu kommen, dann hat man einen schönen Beweis.
Gruß leduart
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Aber es wurden doch auch ursprünglich schon [mm] $\iff$-Pfeile [/mm] verwendet. Für mich ist der Beweis im Startpost genau richtig. Dass man die Aussage verschärfen kann, ändert ja daran nichts.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Fr 14.03.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Wenn zwei Zahlen a und b vielfache einer Zahl c sind, dann ist auch a+b ein vielfaches von c. |
Hallo,
ich habe: Sei a,b [mm] \in \IN [/mm] und c=const, dann gilt [mm] a\cdot [/mm] c und [mm] b\cdot [/mm] c ist das gleiche wie c [mm] \cdot [/mm] (a+b).
Ist das so ok? Grüße
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Hallo Bodo,
1) Du kennst das doch: neue Aufgabe, neuer Thread.
2)
> Wenn zwei Zahlen a und b vielfache einer Zahl c sind, dann
> ist auch a+b ein vielfaches von c.
>
> ich habe: Sei a,b [mm]\in \IN[/mm] und c=const, dann gilt [mm]a\cdot[/mm] c
> und [mm]b\cdot[/mm] c ist das gleiche wie c [mm]\cdot[/mm] (a+b).
>
> Ist das so ok?
Nein. Lies die Aufgabe nochmal. a,b sind Vielfache von c.
Der Weg ist aber prinzipiell schon richtig (Distributivgesetz).
3) Verwende mathematische Notation, wo es möglich ist, und schreib möglichst wenig Prosa.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 So 16.03.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also wäre es:
c(a+b)=ca+cb ?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 So 16.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> also wäre es:
>
> c(a+b)=ca+cb ?
Das ist das Distributivgesetz, mehr nicht.
Du hast: a=nc und b=mc mit n,m [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeigen sollst Du: es gibt ein k [mm] \in \IN [/mm] mit: a+b=kc
FRED
>
> Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 So 16.03.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Hallo,
> > also wäre es:
> >
> > c(a+b)=ca+cb ?
>
> Das ist das Distributivgesetz, mehr nicht.
>
> Du hast: a=nc und b=mc mit n,m [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Zeigen sollst Du: es gibt ein k [mm]\in \IN[/mm] mit: a+b=kc
>
> FRED
>
>
> >
> > Grüße
>
Hallo,
also wäre das:
Z.z. : [mm] a+b=k\cdot [/mm] c
a+b=n*c + m*c=(n+m)*c=k*c mit n+m=k
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 So 16.03.2014 | | Autor: | abakus |
> > > Hallo,
> > > also wäre es:
> > >
> > > c(a+b)=ca+cb ?
> >
> > Das ist das Distributivgesetz, mehr nicht.
> >
> > Du hast: a=nc und b=mc mit n,m [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > Zeigen sollst Du: es gibt ein k [mm]\in \IN[/mm] mit: a+b=kc
> >
> > FRED
> >
> >
> > >
> > > Grüße
> >
>
> Hallo,
> also wäre das:
>
> Z.z. : [mm]a+b=k\cdot[/mm] c
>
> a+b=n*c + m*c=(n+m)*c=k*c mit n+m=k
... und aus [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]m\in \IN[/mm] folgt [mm]n+m\in \IN[/mm].
Das aufzuschreiben ist ganz wesentlich (so simpel es klingt).
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 So 16.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Hallo,
> > > also wäre es:
> > >
> > > c(a+b)=ca+cb ?
> >
> > Das ist das Distributivgesetz, mehr nicht.
> >
> > Du hast: a=nc und b=mc mit n,m [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > Zeigen sollst Du: es gibt ein k [mm]\in \IN[/mm] mit: a+b=kc
> >
> > FRED
> >
> >
> > >
> > > Grüße
> >
>
> Hallo,
> also wäre das:
>
> Z.z. : [mm]a+b=k\cdot[/mm] c
>
> a+b=n*c + m*c=(n+m)*c=k*c mit n+m=k
Abakus hat es ja schon gesagt, aber:
Es ist okay, wenn Du noch kurz dazu sagen würdest, wieso bei Dir $k [mm] \in \IN$
[/mm]
gilt.
(Rückblick:
> > Zeigen sollst Du: es gibt ein [mm]\red{k \in \IN}[/mm] mit: a+b=kc!
)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 16.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a und b sind ungerade natürliche Zahlen und b ist um 2
> größer als a.
> Zeige der Quotient [mm]\frac{a}{b}[/mm] ist kleiner als 1
> Hallo Zusammen,
> kann man das so lösen?
>
> a=2x+1
> b=2x+3
welche Bedeutung hat das [mm] $x\,$?
[/mm]
> [mm]\frac{a}{b}=\frac{2x+1}{2x+3}<[/mm] 1 [mm]\gdw[/mm] 2x+1 < 2x+3 [mm]\gdw[/mm] 1<3
Könnte man - Du solltest vielleicht noch irgendwo $x > -3/2$ benutzen. (Keinesfalls
kannst Du das aber so machen, wenn Du nur $x [mm] \in \IN$ [/mm] forderst - denn dann
"vergisst" Du zu viele Möglichkeiten:
[mm] $a=2x\,$ [/mm] und [mm] $b=2x+2\,$
[/mm]
Edit: Das war Quatsch, ich hatte überlesen, dass [mm] $a,b\,$ [/mm] ungerade sein
sollen!)
Beachte aber: Der eigentliche Beweis läuft so ab, dass Du aus einer wahren
Aussage die Behauptung folgerst. Oben wäre also
$1 < [mm] 3\,$
[/mm]
die (offensichtlich) wahre Aussage, und aus der folgerst Du dann
$2x+1 < [mm] 2x+3\,,$
[/mm]
und wenn $x > -3/2$ ist, kannst Du durch $2x+3$ dividieren, ohne dass sich das
Ungleichheitszeichen umkehrt:
[mm] $\frac{2x+1}{2x+3} [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
Aber: Die Aufgabe ist aber eigentlich trivial:
Aus $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] folgt $a,b [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Aus
[mm] $b=a+2\,$
[/mm]
folgt dann
$a < [mm] b\,,$
[/mm]
und da sich daraus
$b > [mm] 0\,$
[/mm]
ergibt:
$a < [mm] b\,$ $\Longrightarrow$ $\frac{a}{b} [/mm] < [mm] \frac{b}{b}=1\,.$
[/mm]
Mit anderen Worten: Die Aussage folgt sowieso für ALLE (reellen) Zahlen
$a,b$ mit
$a < [mm] b\,$ [/mm] und $b > [mm] 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mo 17.03.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo,
>
> > a und b sind ungerade natürliche Zahlen und b ist um 2
> > größer als a.
> > Zeige der Quotient [mm]\frac{a}{b}[/mm] ist kleiner als 1
> > Hallo Zusammen,
> > kann man das so lösen?
> >
> > a=2x+1
> > b=2x+3
>
> welche Bedeutung hat das [mm]x\,[/mm]?
>
> > [mm]\frac{a}{b}=\frac{2x+1}{2x+3}<[/mm] 1 [mm]\gdw[/mm] 2x+1 < 2x+3 [mm]\gdw[/mm] 1<3
>
> Könnte man - Du solltest vielleicht noch irgendwo [mm]x > -3/2[/mm]
> benutzen. (Keinesfalls
> kannst Du das aber so machen, wenn Du nur [mm]x \in \IN[/mm]
> forderst - denn dann
> "vergisst" Du zu viele Möglichkeiten:
>
> [mm]a=2x\,[/mm] und [mm]b=2x+2\,[/mm]
>
> Edit: Das war Quatsch, ich hatte überlesen, dass [mm]a,b\,[/mm]
> ungerade sein
> sollen!)
>
> Beachte aber: Der eigentliche Beweis läuft so ab, dass Du
> aus einer wahren
> Aussage die Behauptung folgerst. Oben wäre also
>
> [mm]1 < 3\,[/mm]
>
> die (offensichtlich) wahre Aussage, und aus der folgerst Du
> dann
>
> [mm]2x+1 < 2x+3\,,[/mm]
>
> und wenn [mm]x > -3/2[/mm] ist, kannst Du durch [mm]2x+3[/mm] dividieren,
> ohne dass sich das
> Ungleichheitszeichen umkehrt:
>
> [mm]\frac{2x+1}{2x+3} < 1\,.[/mm]
>
> Aber: Die Aufgabe ist aber eigentlich trivial:
> Aus [mm]a,b \in \IN[/mm] folgt [mm]a,b \ge 0\,.[/mm] Aus
>
> [mm]b=a+2\,[/mm]
>
> folgt dann
>
> [mm]a < b\,,[/mm]
>
> und da sich daraus
>
> [mm]b > 0\,[/mm]
>
> ergibt:
>
> [mm]a < b\,[/mm] [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]\frac{a}{b} < \frac{b}{b}=1\,.[/mm]
>
> Mit anderen Worten: Die Aussage folgt sowieso für ALLE
> (reellen) Zahlen
> [mm]a,b[/mm] mit
>
> [mm]a < b\,[/mm] und [mm]b > 0\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Hi,
könnte ich nicht auch folgendes machen:
[mm] \frac{a}{b}=\frac{2n+1}{2n+3}=2n+1 \cdot \frac{1}{2n+3} [/mm] < 1, da [mm] \frac{1}{2n+3} [/mm] für großes n einen Wert um 0 annehmen wird und 2n+1 mal etwas sehr kleines, wird < 1 sein.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mo 17.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hi,
> könnte ich nicht auch folgendes machen:
>
> [mm]\frac{a}{b}=\frac{2n+1}{2n+3}=2n+1 \cdot \frac{1}{2n+3}[/mm] <
> 1, da [mm]\frac{1}{2n+3}[/mm] für großes n einen Wert um 0
> annehmen wird und 2n+1 mal etwas sehr kleines, wird < 1
> sein.
Wieso betrachtest du jetzt große Werte für $n$? Auch wenn
das hier nicht relevant ist sollte dir klar sein, dass deine
Aussage für Folgen falsch ist, denn es gilt:
[mm] a_n\to\infty, n\to\infty
[/mm]
[mm] $b_n\to [/mm] 0$, [mm] n\to\infty
[/mm]
[mm] $\not\Rightarrow a_n*b_n\to [/mm] 0$, [mm] n\to\infty.
[/mm]
Es gilt nur der folgende Satz:
Das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge
ist eine Nullfolge.
Marcel hat dir den einfachsten Weg gezeigt.
Im Grunde brauchst du hier nur diese Eigenschaft:
[mm] $0\le [/mm] a<b$
[mm] \Rightarrow \frac{a}{b}<1.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Di 18.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi DieAcht,
> Hallo,
>
>
> > Hi,
> > könnte ich nicht auch folgendes machen:
> >
> > [mm]\frac{a}{b}=\frac{2n+1}{2n+3}=2n+1 \cdot \frac{1}{2n+3}[/mm] <
> > 1, da [mm]\frac{1}{2n+3}[/mm] für großes n einen Wert um 0
> > annehmen wird und 2n+1 mal etwas sehr kleines, wird < 1
> > sein.
>
> Wieso betrachtest du jetzt große Werte für [mm]n[/mm]? Auch wenn
> das hier nicht relevant ist sollte dir klar sein, dass
> deine
> Aussage für Folgen falsch ist, denn es gilt:
>
> [mm]a_n\to\infty, n\to\infty[/mm]
>
> [mm]b_n\to 0[/mm], [mm]n\to\infty[/mm]
>
> [mm]\not\Rightarrow a_n*b_n\to 0[/mm], [mm]n\to\infty.[/mm]
>
> Es gilt nur der folgende Satz:
>
> Das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge
> ist eine Nullfolge.
>
> Marcel hat dir den einfachsten Weg gezeigt.
>
> Im Grunde brauchst du hier nur diese Eigenschaft:
>
> [mm]0\le a
>
> [mm]\Rightarrow \frac{a}{b}<1.[/mm]
ich hab's noch etwas allgemeiner gehalten:
$a < [mm] b\,$ [/mm] liefert, wenn $b > [mm] 0\,$ [/mm] ist, nach Division durch [mm] $b\,$
[/mm]
[mm] $\frac{a}{b}$ $<\,$ $\frac{b}{b}=1\,.$
[/mm]
Darin ist, neben dem, was Du erwähnt hattest, der (triviale) Fall $a < [mm] 0\,$ [/mm] auch
mitenthalten - auch, wenn das hier natürlich keineswegs notwendig wäre.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Di 18.03.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also könnte ich jetzt abschließend das so aufschreiben:
a=2n+1
b=2n+3
Zeige [mm] \frac{a}{b} [/mm] < 1.
Vor. a<b [mm] \gdw [/mm] 2n+1 < 2n+3 [mm] \gdw [/mm] 1<3 (wahr)
2n+1 < 2n+3 \ geteilt durch (2n+3)
[mm] \gdw \frac{2n+1}{2n+3} [/mm] < [mm] \frac{2n+3}{2n+3} [/mm] =1 [mm] \gdw \frac{a}{b}< [/mm] 1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> also könnte ich jetzt abschließend das so aufschreiben:
seien mit einem $n [mm] \in \IN_0$
[/mm]
> a=2n+1
> b=2n+3
>
> Zeige [mm]\frac{a}{b}[/mm] < 1.
Nach
> Vor. a<b [mm]\gdw[/mm] 2n+1 < 2n+3 [mm]\gdw[/mm] 1<3 (wahr)
Du brauchst dieses [mm] $\gdw [/mm] 1 < 3$ hier gar nicht - aber okay, Du kannst natürlich
schon sagen:
Wegen
$1 < 3$
und
$1 < 3$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $2n+1 < 2n+3$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a < b$
folgt
$a=2n+1 < [mm] b=2n+3\,.$
[/mm]
Da also $2n+1 < [mm] 2n+3\,$ [/mm] gültig ist, folgt mit:
> 2n+1 < 2n+3 \ geteilt durch (2n+3)
> [mm]\gdw \frac{2n+1}{2n+3}[/mm] < [mm]\frac{2n+3}{2n+3}[/mm] =1 [mm]\gdw \frac{a}{b}<1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
die Behauptung.
Im Wesentlichen ist das okay - inhaltlich sicher, notationsmäßig hättest Du's
etwas besser machen können (siehe meine obigen Ergänzungen).
Beachtenswert ist allerdings bei der Division durch $2n+3\,$ der Fakt, dass
$2n+3 > 0\,$ gilt - das sollte man auf jeden Fall noch erwähnen.
P.S. Genaugesagt gilt
$2n+1 < 2n+3$
$\begin{matrix}{\blue{\stackrel{\;:\; \overbrace{(2n+3)}^{> 0}}{\Longrightarrow}}\\{\red{\stackrel{\;*\; \overbrace{(2n+3)}^{> 0}}{\Longleftarrow}}\end{matrix}$ $\frac{2n+1}{2n+3} < 1$
Und da beide Folgerungen:
$\blue{\Longrightarrow}$ und $\red{\Longleftarrow}$
somit gültig sind, kann man sie in einem Zeichen:
$\iff$
verpacken!
Gruß,
Marcel
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> Hi,
> könnte ich nicht auch folgendes machen:
>
> [mm]\frac{a}{b}=\frac{2n+1}{2n+3}=2n+1 \cdot \frac{1}{2n+3}[/mm] <
> 1, da [mm]\frac{1}{2n+3}[/mm] für großes n einen Wert um 0
> annehmen wird und 2n+1 mal etwas sehr kleines, wird < 1
> sein.
so hier?
[mm] \frac{a}{b}=\frac{2n+1}{2n+3}=\frac{2n+3-2}{2n+3}=1-\underbrace{\frac{2}{2n+3}}_{>0\ \forall{n\in\IN}}<1
[/mm]
>
> Grüße
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