Zahlentheoretische Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Funktion f:IN\ {0} --> IN\ {0} heißt zahlentheoretische Funktion, wenn sie für alle teilerfremden (natürlichen) Zahlen [mm] a\ge [/mm] 1 und [mm] b\ge [/mm] 1 die Gleichung f(a*b)=f(a)*f(b) erfüllt. Sei nun f:IN->IN\ {0} eine zahlentheoretische Funktion. Beweisen Sie:
(a) f(1)=1
(b) Sei [mm] a\ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl und [mm] a=p_{1}^{\alpha_{1}}*....*p_{t}^{\alpha_{t}} [/mm] ihre kanonische Primfaktorzerlegung. Dann gilt: [mm] f(a)=f(p_{1}^{\alpha_{1}})*.....*f(p_{t}^{\alpha_{t}}).
[/mm]
|
Hi Leute,
Kann mir jemand bitte einen Hinweiß liefern, wie ich die erste Aussage f(1)=1 zu beweisen habe? Leider hab ich überhaupt keinen Schimmer. Es mag sehr trivial scheinen, aber ich weiß nicht mal etwas über f(n). Wie soll man da allgemeine Rückschlüsse ziehen?
Grüße Daniel.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mi 18.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Eine Funktion f:IN\ {0} --> IN\ {0} heißt
> zahlentheoretische Funktion, wenn sie für alle
> teilerfremden (natürlichen) Zahlen [mm]a\ge[/mm] 1 und [mm]b\ge[/mm] 1 die
> Gleichung f(a*b)=f(a)*f(b) erfüllt. Sei nun f:IN->IN\ {0}
> eine zahlentheoretische Funktion. Beweisen Sie:
>
> (a) f(1)=1
> (b) Sei [mm]a\ge[/mm] 2 eine natürliche Zahl und
> [mm]a=p_{1}^{\alpha_{1}}*....*p_{t}^{\alpha_{t}}[/mm] ihre
> kanonische Primfaktorzerlegung. Dann gilt:
> [mm]f(a)=f(p_{1}^{\alpha_{1}})*.....*f(p_{t}^{\alpha_{t}}).[/mm]
>
> Hi Leute,
> Kann mir jemand bitte einen Hinweiß liefern, wie ich die
> erste Aussage f(1)=1 zu beweisen habe? Leider hab ich
> überhaupt keinen Schimmer. Es mag sehr trivial scheinen,
> aber ich weiß nicht mal etwas über f(n). Wie soll man da
> allgemeine Rückschlüsse ziehen?
>
> Grüße Daniel.
Hallo,
setze in f(a*b)=f(a)*f(b) für a und b jeweils 1 ein (und löse die entstandene Gleichung nach f(1) auf).
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
zu 2)
Es soll ja gezeigt werden, dass
[mm] f(a)=f(p_{1}^{\alpha_{1}})*....*f(p_{t}^{\alpha_{t}})
[/mm]
Wenn ich ohne Beweis annehmen darf, dass f(a*b)=f(a)*f(b) gilt, dann nehme ich auch an, dass f(a*b*c*...n)=f(a)*f(b)*f(c)*....*f(n) gilt.
So, wir haben nun für [mm] a=p_{1}^{\alpha_{1}}*....*p_{t}^{\alpha_{t}} [/mm] gegeben
Dann folgt also theoretisch [mm] f((p_{1}^{\alpha_{1}})*....*f(p_{t}^{\alpha_{t}}))=f(p_{1}^{\alpha_{1}})*....*f(p_{t}^{\alpha_{t}})
[/mm]
Das ist aber doch noch nicht alles oder?^^
Habt ich vllt irgendwas wichtiges unterschlagen, was noch zu zeigen wäre?
Liebe Grüße, die BeeRe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo BeeRe!
> zu 2)
>
> Es soll ja gezeigt werden, dass
>
> [mm]f(a)=f(p_{1}^{\alpha_{1}})*....*f(p_{t}^{\alpha_{t}})[/mm]
>
> Wenn ich ohne Beweis annehmen darf, dass f(a*b)=f(a)*f(b)
Nur wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind!
> gilt, dann nehme ich auch an, dass
> f(a*b*c*...n)=f(a)*f(b)*f(c)*....*f(n) gilt.
Wenn die paarweise teilerfremd sind, ja.
> So, wir haben nun für
> [mm]a=p_{1}^{\alpha_{1}}*....*p_{t}^{\alpha_{t}}[/mm] gegeben
>
> Dann folgt also theoretisch
> [mm]f((p_{1}^{\alpha_{1}})*....*f(p_{t}^{\alpha_{t}}))=f(p_{1}^{\alpha_{1}})*....*f(p_{t}^{\alpha_{t}})[/mm]
>
> Das ist aber doch noch nicht alles oder?^^
> Habt ich vllt irgendwas wichtiges unterschlagen, was noch
> zu zeigen wäre?
Die Teilerfremdheit.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Okay. Wie kann ich denn zeigen, dass in keiner von beiden Mengen die selben Primfaktoren auftreten, so dass Teilerfremdheit herschen müsste. Gib es vllt dafür eine Definition? Irgendwie weiß ich nicht, wie ich das anstellen soll..?
Grüße Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 22.11.2009 | | Autor: | Dath |
Ich bin ja kein Experte, aber man weiß ja, dass zwei Zahlen teilerfremd sind, dann und genau dann, wenn sie keinen gemeinsamen Primfaktor haben. (Die Ordnung ist ja hier egal). Aus diesem Grund kann man das Problem der Einfachheit halber auf Primzahlfaktoren der Ordnung 1 reduzieren.Naja und Primzahlen sind nun einmal so definiert, dass sie teilerfremd sind.
|
|
|
|
