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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Do 26.05.2005 | | Autor: | jbulling |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich bin auf der Suche nach einem Beweis, wobei ich nicht weiss, ob es schon bewiesen wurde, aber falls es bewiesen wurde, dann möglicherweise von Euler, weil er sich m.W. stark mit dem Thema multiplikative Ordnung und Euler-Phi beschäftigt hat. Also zum Thema:
Es gibt eine Funktion, die in der Zahlentheorie ziemlich wichtig ist, sie heisst multiplikative Ordnung von Restklassenringen.
Man schreibt
Ord: [mm] \IN \times\IN [/mm] -> [mm] \IN [/mm] x= [mm] Ord_p [/mm] a für die kleinste natürliche Zahl x für die p ein Teiler von [mm] a^x-1 [/mm] ist
(Ich hoffe diese Definition ist so exakt genug).
Es gibt einen sehr schönen Zusammenhang zwischen Ord und Euler-Phi. Es gilt nämlich für alle a und alle p:
[mm] Ord_p [/mm] a teilt Phi(p)
p muss übrigens oben keine Primzahl sein, auch wenn das vielleicht die Wahl der Variable nahe legt!
Die Kernaussage, für die ich einen Beweis suche ist nun:
Für jedes Element [mm] (x_i, a_i) [/mm] der Menge
{ (x,a) | x,a [mm] \in \IN \wedge [/mm] a>1} [mm] \setminus [/mm] {(1,2);(6,2);(2,3)}
gibt es eine Primzahl [mm] p_i [/mm] so daß gilt [mm] x_i=Ord_{p_i} a_i.
[/mm]
Ist Euch etwas derartiges schonmal unter gekommen?
Ich weiss, die Ausnahmen (1,2);(6,2);(2,3) machen einen sehr verdächtigen Eindruck, aber ich habe bereits große Zahlenbereiche abgesucht und keinen Fall gefunden, der auf die Falschheit der Aussage schließen läßt.
Wo und wie könnte man denn nach einem Beweis für diese Aussage suchen?
Gruß
Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Fr 25.11.2005 | | Autor: | jbulling |
Hallo zusammen,
falls es jemanden interessiert.
Der Zusammenhang wurde tatsächlich bereits bewiesen. Er ist in verallgemeinerter Form im Satz von Zigmondy enthalten.
Ein neuerer Beweis steht wohl hier (hab ihn gerade erst gefunden und noch nicht durchgelesen):
![[]](/images/popup.gif) http://www.ams.org/proc/1997-125-07/S0002-9939-97-03981-6/S0002-9939-97-03981-6.pdf
mich würde mal interessieren, wo man die Originalbeweise her bekommt.
Gibt es da ein im Internet zugängliches Archiv?
Der Beweis müsste von 1886 sein.
Gruß Jürgen
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Hallo,
> Wo und wie könnte man denn nach einem Beweis für diese
> Aussage suchen?
schau mal hier Primitivwurzeln.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Do 26.05.2005 | | Autor: | jbulling |
Hallo MathePower,
danke für Deine Antwort, die Links sind sehr interessant. Ich habe mir die Dokumente gleich mal runtergeladen :o)
Zum ursprünglichen Thema habe ich aber keine Antwort darin gefunden. Meine Frage hat zumindest vordergründig nichts mit Primitivwurzeln zu tun. Es ist eine ganz andere Sichtweise auf das Thema.
Die Tatsache, dass es für jede Primzahl eine Primitivwurzel gibt hilft hier m.E. nicht weiter. Ich habe mir nämlich auch schon überlegt, ob es einen Zusammenhang gibt, oder ob man über die Verteilung von Primitivwurzeln etwas aussagen kann, wenn man meine Aussage beweisen könnte.
Meine Frage war eher anders rum. Ziemlich platt formuliert bedeutet sie, dass gilt
[mm] \IN [/mm] = { [mm] Ord_p [/mm] a | p [mm] \in [/mm] IP } für alle Zahlen 3 < a [mm] \in \IN
[/mm]
Der Zusatz "für alle Zahlen 3<a" könnte hier evtl. falsch gedeutet werden, ich meine hier tatsächlich, dass wenn man a fest so wählt und dann die Ordnung jeder Primzahl ausrechenen würde, dann würde man letztendlich die Menge der natürlichen Zahlen erhalten. Anders ausgedrück: für jede natürliche Zahl n und jedes a>3 gibt es eine Primzahl mit der Ordnung n.
Falls meine Vermutung richtig ist, dann gilt die Aussage mit eben den 3 genannten Ausnahmen für alle a [mm] \in \IN.
[/mm]
Nochmal anders formuliert bedeutet sie, dass es für jede Zahlen der Form
[mm] a^x-1
[/mm]
(mindestens) eine Primzahl p gibt für die gilt:
p teilt [mm] a^x-1 [/mm] aber p teilt nicht [mm] a^y-1 [/mm] für alle y<x mit a,x,y [mm] \in \IN, [/mm] p [mm] \in [/mm] IP
Natürlich wieder mit den genannten Ausnahmen.
Sorry, ich weiss, das war jetzt ziemlich unprofessionell ausgedrückt, aber so ist es wahrscheinlich am leichtesten verständlich.
Viele Grüße
Jürgen
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