Zahlzerlegungen in Summanden < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Mo 09.11.2009 | | Autor: | MK111 |
| Aufgabe | Die Zahl 20 soll in vier Summanden zerlegt werden (z.B. 1+4+3+12), wobei unterschiedliche
Reihenfolgen von Summanden als verschiedene Zerlegungen gezählt werden (also wäre
4+1+3+12 eine andere Möglichkeit als die obige).
Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, wenn
a) Die Null als Summand zugelassen ist?
b) Die Null nicht als Summand zugelassen ist?
c) Mindestens einer der Summanden 0 sein soll?
d) Jeder der Summanden größer oder gleich 2 sein soll?
Stellen Sie Ihre Lösungswege nachvollziehbar dar, indem Sie insbesondere die Bezüge der
gesuchten Anzahlen zu den 0-1-Wörtern klären! |
Hallo,
leider komme ich schon bei Aufgabenteil a nicht mehr klar. Zunächst habe ich mir überlegt, dass man bei der 1. Entscheidung 21 mögliche Objekte hat. Wenn man die null bei der 2. Entscheidung außer acht lässt hat man jetzt noch 20 Entscheidungen wenn die eins ausgewählt wurde, 19 wenn die 2 gewählt wurde und so weiter. Bei der 4 Entscheidung bleibt nur 1 Möglichkeit über.
Was aber ist mit der dritten Entscheidung? Diese hängt ja nun so stark von der ersten und zweiten ab, dass ich nicht weiß wie man hier weiter vorgeht. Auch wie man berechnet dass man bei der 2 Entscheidung mal 20, dann nur 19 oder 18 Möglichkeiten hat, weiß ich leider nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:19 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Zahl 20 soll in vier Summanden zerlegt werden (z.B.
> 1+4+3+12), wobei unterschiedliche
> Reihenfolgen von Summanden als verschiedene Zerlegungen
> gezählt werden (also wäre
> 4+1+3+12 eine andere Möglichkeit als die obige).
> Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, wenn
> a) Die Null als Summand zugelassen ist?
> b) Die Null nicht als Summand zugelassen ist?
> c) Mindestens einer der Summanden 0 sein soll?
> d) Jeder der Summanden größer oder gleich 2 sein soll?
> Stellen Sie Ihre Lösungswege nachvollziehbar dar, indem
> Sie insbesondere die Bezüge der
> gesuchten Anzahlen zu den 0-1-Wörtern klären!
>
> Hallo,
> leider komme ich schon bei Aufgabenteil a nicht mehr klar.
> Zunächst habe ich mir überlegt, dass man bei der 1.
> Entscheidung 21 mögliche Objekte hat. Wenn man die null
> bei der 2. Entscheidung außer acht lässt hat man jetzt
> noch 20 Entscheidungen wenn die eins ausgewählt wurde, 19
> wenn die 2 gewählt wurde und so weiter. Bei der 4
> Entscheidung bleibt nur 1 Möglichkeit über.
>
> Was aber ist mit der dritten Entscheidung? Diese hängt ja
> nun so stark von der ersten und zweiten ab, dass ich nicht
> weiß wie man hier weiter vorgeht. Auch wie man berechnet
> dass man bei der 2 Entscheidung mal 20, dann nur 19 oder 18
> Möglichkeiten hat, weiß ich leider nicht.
Nun, die Anzahl der Moeglichkeiten kannst du ja wie folgt zaehlen: [mm] $\sum_{k=0}^{20} \sum_{\ell=0}^{20-k} \sum_{m=0}^{20-k-\ell} [/mm] 1$.
Diese Summe kannst du nun auswerten; die innerste Summe ist ja [mm] $\sum_{m=0}^{20-k-\ell} [/mm] 1 = 21 - k - [mm] \ell$. [/mm] Jetzt versuche mal [mm] $\sum_{\ell=0}^{20-k} [/mm] (21 - k - [mm] \ell)$ [/mm] als eine Formel nur mit $k$ auszudruecken. (Der Teil $21 - k$ geht einfach, fuer den Teil [mm] $\ell$ [/mm] brauchst du [mm] $\sum_{i=1}^n [/mm] i = [mm] \frac{n (n + 1)}{2}$.) [/mm] Und dann schau dir die letzte Summe an.
LG Felix
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