Zariski-Abschluss < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] C\subset\mathbb{A}_K^2 [/mm] eine affine Kurve und sei [mm] \overline{C} [/mm] der Zariski-Abschluss von C in [mm] \mathbb{P}_K^2. [/mm] Bestimmen Sie die Menge [mm] \overline C\setminus [/mm] C, wenn
i) [mm] C=\{X^2-Y^2=1\}
[/mm]
ii) [mm] C=\{Y^2=X*(X-1)*(X-\lambda)\} [/mm] |
Nabend Leute,
also es reicht völlig das ganze exemplarisch für i) zu machen. Das andere krieg ich dann sicher hin.
Also für C wie in i) definiert ist dann der Zariski-Abschluss [mm] \overline C=\{X^2-Y^2-Z^2\}. [/mm] Jetzt müsst ich nur wissen, ob das korrekt ist und wie ich dann vorgehe, um die Menge [mm] \overline C\setminus [/mm] C zu bestimmen. Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ist denn zumindest der Zariski-Abschluss richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]C\subset\mathbb{A}_K^2[/mm] eine affine Kurve und sei
> [mm]\overline{C}[/mm] der Zariski-Abschluss von C in [mm]\mathbb{P}_K^2.[/mm]
> Bestimmen Sie die Menge [mm]\overline C\setminus[/mm] C, wenn
> i) [mm]C=\{X^2-Y^2=1\}[/mm]
> ii) [mm]C=\{Y^2=X*(X-1)*(X-\lambda)\}[/mm]
>
> Nabend Leute,
>
> also es reicht völlig das ganze exemplarisch für i) zu
> machen. Das andere krieg ich dann sicher hin.
> Also für C wie in i) definiert ist dann der
> Zariski-Abschluss [mm]\overline C=\{X^2-Y^2-Z^2\}.[/mm] Jetzt müsst
> ich nur wissen, ob das korrekt ist
Ja, ist es.
> und wie ich dann
> vorgehe, um die Menge [mm]\overline C\setminus[/mm] C zu bestimmen.
Nun, die affinen Punkte entsprechen ja den Tupeln $(x : y : 1)$. Die Punkte aus [mm] $\mathbb{P}_K^2 \setminus \mathbb{A}_K^2$ [/mm] entsprechen gerade den Tupeln $(x : 1 : 0)$ (mit $x [mm] \in [/mm] K$) und $(1 : 0 : 0)$. Liegen welche von diesen auf [mm] $\overline{C}$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay gut, aber mir fehlt da irgendwie immer noch die konkrete Vorgehensweise, sodass ich die Menge bestimmen kann. Könntest du mir anhand von nem kurzen Beispiel zeigen, wie man das macht? Das wär echt nett. Für [mm] C=\{X^2-1=0\} [/mm] zum Beispiel. Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay gut, aber mir fehlt da irgendwie immer noch die
> konkrete Vorgehensweise, sodass ich die Menge bestimmen
> kann. Könntest du mir anhand von nem kurzen Beispiel
> zeigen, wie man das macht? Das wär echt nett. Für
> [mm]C=\{X^2-1=0\}[/mm] zum Beispiel. Vielen Dank.
Ich nehme mal $C = [mm] \{ Y^2 Z - X^3 - a Z^3 \}$ [/mm] fuer ein $a [mm] \in [/mm] K$. Nimmt man $P = (x : y : 0)$ und setzt ies ein, so erhaelt man $- [mm] x^3 [/mm] = 0$, also $x = 0$. Daraus folgt, dass er einzige Punkt in $C$ der Form $(x : y : 0)$ gleich $(0 : 1 : 0)$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Wie kommst du auf den Punkt P ? Ich mein ist der willkürlich gewählt oder was muss man da beachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie kommst du auf den Punkt P ? Ich mein ist der
> willkürlich gewählt oder was muss man da beachten?
Nun, jeder Punkt in [mm] $\mathbb{P}^2 \setminus \mathbb{A}^2$ [/mm] hat die Form $(x : y : 0)$ mit passendem $x, y [mm] \in [/mm] K$ (nicht beide 0).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ah okay. Kannst du mir vielleicht sagen wie man darauf kommt, dass die Punkte aus [mm] \mathbb{P}^2 \setminus \mathbb{A}^2 [/mm] gerade so aussehen? Kann man das beweisen bzw. kann man sich das erschließen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ah okay. Kannst du mir vielleicht sagen wie man darauf
> kommt, dass die Punkte aus [mm]\mathbb{P}^2 \setminus \mathbb{A}^2[/mm]
> gerade so aussehen? Kann man das beweisen bzw. kann man
> sich das erschließen?
Na, schau dir doch mal eure Definitionen von [mm] $\mathbb{P}^2$, $\mathbb{A}^2$ [/mm] und der Einbettung von [mm] $\mathbb{A}^2$ [/mm] in [mm] $\mathbb{P}^2$ [/mm] an. Daran siehst du ziemlich schnell, dass [mm] $\mathbb{P}^2 \setminus \mathbb{A}^2 [/mm] = [mm] \{ (x : y : 0) \mid (x, y) \in K^2 \setminus \{ (0, 0) \} \}$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay alles klar. Dank dir vielmals.
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