Zeige: Funktion in C1 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Seien [mm] n\in\IN, p\in\IR^n [/mm] und [mm] \epsilon>0. [/mm] Es wird definiert:
[mm] h(x):=\begin{cases} 1+cos(\pi\frac{||x-p||^2_2}{\epsilon^2}), & \mbox{für } ||x-p||_2\le\epsilon \\ 0, & \mbox{für } ||x-p||_2>\epsilon \end{cases}
[/mm]
Zeige, dass h einmal stetig diffbar ist. |
Hallo,
ich hätte diese Aufgabe gerne mit folgender Definition von Diffbarkeit "erschlagen":
f ist diffbar in q genau dann wenn folgende Darstellung der Funktion existiert:
[mm] f(p+h)=f(p)+L_p(h) [/mm] + [mm] Rest_p(h)
[/mm]
Wobei [mm] L_p(h) [/mm] linear in h ist und der Rest relativ klein in h.
f(p) ist ja noch leicht zu finden. Wie aber kann man den linearen Anteil und den Rest finden?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mo 23.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja, [mm] L_p [/mm] ist natürlich die Lineare Abbildung, die als Darstellungsmatrix die Jacobimatrix im Punkt p hat, und [mm] $Rest_p(h)=f(p+h)-f(p)-L_p(h)$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:26 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Rutzel |
Ja, wenn ich aber die Matrix "erstelle" bin ich auf eine Basis angewiesen. Ich würde aber gerne Basisfrei arbeiten, das ist ja gerade das Schöne an dieser Definition der Differenzierbarkeit.
Gruß,
Rutzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rutzel,
nur mal kurz zwei Anmerkungen:
[mm] $\bullet$ [/mm] Wie Du [mm] $L_p(h)$ [/mm] und damit dann [mm] $Rest_p(h)$ [/mm] angeben kannst wurde ja schon erwähnt. Dabei ist es aber wichtig, dass Du auch 'kontrollierst', dass auch wirklich [mm] $Rest_p(h)$ [/mm] relativ klein in [mm] $h\,$ [/mm] ist (es ist dann noch [mm] $\lim_{h \to 0} \frac{Rest_p(h)}{\|h\|}=0$ [/mm] nachzuweisen, vgl. ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Diff'barkeit; wobei Du [mm] $\lim_{h \to 0}$ [/mm] auch durch [mm] $\lim_{\|h\| \to 0}$ [/mm] ersetzen kannst).
[mm] $\bullet$ [/mm] Ein Hinweis, weil ich mir nicht sicher bin, ob Du das gesehen hast oder nicht:
Wenn Du bei der Aufgabe die Differenzierbarkeit nachgewiesen hast, ist auch noch zu zeigen, dass die Ableitungsfunktion überall stetig ist, denn laut Aufgabenstellung soll [mm] $h\,$ [/mm] stetig diff'bar bzw. in [mm] $C^1$ [/mm] sein; also wenn Du die Diff'barkeit nachgewiesen hast, bist Du noch nicht fertig!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mo 23.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja ok... wie willst du denn eine lineare Abbildung koordinatenfrei beschreiben? Ich denke du kommst da nicht drumrum.
Was mir gerade auffällt: Für einen Punkt [mm] x\in\IR^p [/mm] mit [mm] $\|x-p\|_2^2=\varepsilon$ [/mm] ist i.A. (z.B. [mm]\varepsilon=1/2[/mm]) [mm]h(x)=1+\cos\left(\frac{\pi}{\varepsilon}\right)\ne 0[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, d.h. h kann dort nicht stetig sein. Wahrscheinlich sollte es heißen $$h(x):=\begin{cases}1+\cos\right(\pi\frac{\|x-p\|_2^2}{\varepsilon^2}&\text{falls }\|x-p\|_2\le\varepsilon\\0&\text{sonst}\end{cases}$$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:38 Di 24.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Wie wäre es so: Wir können o.B.d.A. annehmen dass p=0 ist, denn sonst betrachte [mm] $h\circ\Phi$ [/mm] mit dem [mm] $C^\infty$-Diffeomorphismus $\Phi(x)=x+p$.
[/mm]
Für [mm] $\|x\|_2>\varepsilon$ [/mm] ist offensichtlich $Dh(x)=0$. Du musst nur noch zwei Sachen zeigen:
1) Die Funktion [mm] $\tilde{h}(x):=1+\cos\left(\frac{\pi\|x\|_2^2}{\varepsilon^2}\right)$ [/mm] ist stetig differenzierbar. Dies folgt aus der Kettenregel: die Funktionen [mm] $f:\IR\ni x\mapsto 1+\cos(\pi x/\varepsilon^2)\in\IR$ [/mm] und [mm] $g:\IR^p\ni x\mapsto\|x\|_2^2$ [/mm] sind stetig differenzierbar, also auch [mm] $\tilde{h}=f\circ [/mm] g$.
2) [mm] D\tilde{h}(x)=0 [/mm] für [mm] $\|x\|_2=\varepsilon$
[/mm]
Denn daraus folgt: h ist in [mm] $\|x\|_2\ne\varepsilon$ [/mm] differenzierbar und in diesen Punkten stetig. Für [mm] $\|x\|=\varepsilon$ [/mm] gilt (!) für den Rest [mm] $\|v\|_2^{-1}(h(x+v)-h(x))=\|v\|_2^{-1}h(x+v)\to [/mm] 0$ für [mm] $v\to [/mm] 0$. Und damit ist alles bewiesen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]n\in\IN, p\in\IR^n[/mm] und [mm]\epsilon>0.[/mm] Es wird
> definiert:
>
> [mm]h(x):=\begin{cases} 1+cos(\pi\frac{||x-p||^2_2}{\epsilon^2}), & \mbox{für } ||x-p||^2_2\le\epsilon \\ 0, & \mbox{für } ||x-p||^2_2>\epsilon \end{cases}[/mm]
>
> Zeige, dass h einmal stetig diffbar ist.
> Hallo,
>
> ich hätte diese Aufgabe gerne mit folgender Definition von
> Diffbarkeit "erschlagen":
>
> f ist diffbar in [mm] $\blue{q}$ [/mm] genau dann wenn folgende Darstellung der
> Funktion existiert:
>
> [mm]f(\red{p}+h)=f(\red{p})+L_{\red{p}}(h)[/mm] + [mm]Rest_{\red{p}}(h)[/mm]
Anstelle der roten [mm] $p\,$'s [/mm] sollte dort sicher überall ein [mm] $\blue{q}\,$ [/mm] stehen.
Gruß,
Marcel
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