Zeige: M ist nach beschränkt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Es sei M eine nicht-leere Teilmenge von R (Menge der reellen Zahlen). Wir setzen - M = {-x|x E M}.
Zeigen Sie: Wenn M nach unten beschränkt ist, so gilt, inf M = - sup (- M).
b) Seien M und N Teilmengen der reellen Zahlen R, nichtleer, N beschränkt und M Teilmenge von N. Zeigen Sie: M ist beschränkt und sup M ist kleiner-gleich sup N.
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zu b): Denke, dass man das durch Induktion beweisen muss (?), nur komme ich nicht auf den Induktionsschritt (also n+1), weil ich nicht genau weiß wie ich das was ich denke mathematisch ausdrücken soll..wie beweist man denn allgemein, dass es in einer Menge keine Zahl gibt, die größer als eine bestimmte Zahl, zB x ist?
zu c) ehrlich gesagt fehlt mir einfach der Ansatz
Sorry, muss zum Zug, deswegen kann ich nicht so viel chreiben, aber wäre toll, wenn ihr mir helft!!
Viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Mi 10.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
"wie beweist man denn allgemein, dass es in einer Menge keine Zahl gibt, die größer als eine bestimmte Zahl, zB x ist?"
Per Widerspruchbeweis:
Nimm an, x sei die grösste Zahl. Dann Nimm weiter an, dass es ein y gibt mit gleicher Eigenschaft.
[mm] \Rigtarrow [/mm] entweder x=y oder die Annahme "y ist grösste Zahl der Menge" falsch.
Ich hoffe, ich konnte ein wenig weiterhelfen.
Marius
Über die anderen Fragen denke ich mal nach, evtl kommt noch was...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Mi 10.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Marius!
> "wie beweist man denn allgemein, dass es in einer Menge
> keine Zahl gibt, die größer als eine bestimmte Zahl, zB x
> ist?"
>
> Per Widerspruchbeweis:
> Nimm an, x sei die grösste Zahl. Dann Nimm weiter an, dass
> es ein y gibt mit gleicher Eigenschaft.
Du meinst $x$ soll das Maximum Elemente der Menge sein? Sowas gibt es nur recht selten, meistens hast du nur ein Supremum (und kein Maximum) oder sogar nur eine obere Schranke (und nichtmals ein Supremum)...
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Mi 10.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> a) Es sei M eine nicht-leere Teilmenge von R (Menge der
> reellen Zahlen). Wir setzen - M = {-x|x E M}.
> Zeigen Sie: Wenn M nach unten beschränkt ist, so gilt, inf
> M = - sup (- M).
Du zeigst folgendes:
- Ist $x$ untere Schranke von $M$, so ist $-x$ eine obere Schranke von $-M$. (Einfach die Definition von unterer/oberer Schranke nehmen und einsetzen, dann steht es schon fast da!)
- Da $-M$ nach oben beschraenkt ist, existiert [mm] $\sup(-M)$. [/mm] Zeige Anhand der Definition von [mm] $\inf [/mm] M$ und [mm] $-\sup(-M)$, [/mm] dass beide uebereinstimmen (wenn du hier das jeweils in die Definitionen einsetzt, dann siehst du wieder das beidesmal das gleiche da steht).
Wenn du damit nicht klar kommst schreib doch mal die Definitionen hier hin und setz das ein so gut du kannst!
> b) Seien M und N Teilmengen der reellen Zahlen R,
> nichtleer, N beschränkt und M Teilmenge von N. Zeigen Sie:
> M ist beschränkt und sup M ist kleiner-gleich sup N.
Nimm dir eine obere Schranke von $N$. Dann ist dies auch eine obere Schranke von $M$ (warum?).
So. Nimm mal an, dass [mm] $\sup [/mm] M > [mm] \sup [/mm] N$ ist. Dann gibt es ja eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \in [/mm] M$ und [mm] $x_n \to \sup [/mm] M$ fuer $n [mm] \to \infty$. [/mm] Leite damit einen Widerspruch her.
Auch hier: Fang erstmal an die Definitionen zu nehmen und schau was passiert. Wenn du nichts siehst, schreib alles hier hin.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> zu b): Denke, dass man das durch Induktion beweisen muss
> (?), nur komme ich nicht auf den Induktionsschritt (also
Mit Induktion kannst du da nichts machen.
> n+1), weil ich nicht genau weiß wie ich das was ich denke
> mathematisch ausdrücken soll..wie beweist man denn
> allgemein, dass es in einer Menge keine Zahl gibt, die
> größer als eine bestimmte Zahl, zB x ist?
Das haengt stark von der Menge ab. Es gibt da keinen allgemeinen Weg.
LG Felix
PS: Die Dresden Dolls spielen am 28.5. hier in ZH 
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