Zeige, dass A Basis im R³ ist < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mi 05.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass A eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] ist.
[mm] A={\vektor{1\\-1\\3},\vektor{-2\\-1\\2},\vektor{-4\\-1\\1}} [/mm] |
Hallo,
reicht es hier, lineare Unabhängigkeit zu zeigen?
Ich erinnere mich, dass man dazu alle drei Vektoren übereinander hinschreibt, Gauß laufen lässt und sich herausstellt, dass man keine Zeilen kürzen kann.
Das war jetzt aber eher salopp dahin gesagt, über eine genauere Interpretation der o.g. Aufgabenstellung freut sich
Paul!
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Hallo PaulW89,
> Zeigen Sie, dass A eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
>
> [mm]A={\vektor{1\\
-1\\
3},\vektor{-2\\
-1\\
2},\vektor{-4\\
-1\\
1}}[/mm]
> Hallo,
>
> reicht es hier, lineare Unabhängigkeit zu zeigen? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja! Es sind ja 3 Stück, die würden dann eine Basis bilden ...
> Ich erinnere mich, dass man dazu alle drei Vektoren
> übereinander hinschreibt, Gauß laufen lässt und sich
> herausstellt, dass man keine Zeilen kürzen kann.
>
> Das war jetzt aber eher salopp dahin gesagt,
Aber sehr salopp 
> über eine
> genauere Interpretation der o.g. Aufgabenstellung freut
> sich
Naja, was genau meinst du mit "übereinander" schreiben?
Stopfe die 3 Vektoren als Spalten(vektoren) in eine Matrix und bringe sie in Zeilenstufenform. (Gauß)
[mm]\pmat{1&-2&-4\\
-1&-1&-1\\
3&2&1}[/mm]
Sie sollte für lineare Unabh. vollen Rang haben, also keine Nullzeile in ZSF ...
>
> Paul!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Mi 05.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
Hallo schachuzipus.
Ach, also doch nebeneinander! :) Danke.
Gruß,
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:10 Do 06.09.2012 | | Autor: | Stoecki |
ob übereinander oder nebeneinander ist geschmackssache und völlig egal.
was du mit dem gaus nachprüfst ist, ob die matrix vollen rang hat. da zeilenrang gleich spaltenrang ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 Do 06.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ob übereinander oder nebeneinander ist geschmackssache und
> völlig egal.
>
> was du mit dem gaus nachprüfst ist, ob die matrix vollen
> rang hat. da zeilenrang gleich spaltenrang ist...
oder anders gesagt: Weil [mm] $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^T)$ [/mm] gilt...
Zudem, wie gesagt: Ob eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix Rang [mm] $n\,$ [/mm] hat oder einen echt
kleineren, kann man wunderbar mit der Determinante prüfen. Wenn sie nicht Vollrang
hat, dann sieht man so zwar nicht, welchen Rang sie wirklich hat (dann weiß man ja nur
[mm] $\det [/mm] A=0 [mm] \Rightarrow \text{rg}A [/mm] < n$) - aber das wäre uns bzgl. obiger Aufgabenstellung auch nicht wichtig!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Do 06.09.2012 | | Autor: | Stoecki |
naja, wenn man sie auf zeilenstufenform bringt (und es clever macht) kennt man beides: die determinante und den rang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Do 06.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> naja, wenn man sie auf zeilenstufenform bringt (und es
> clever macht) kennt man beides: die determinante und den
> rang
ja, nur interessiert der Rang hier eigentlich nicht. Wir wollen nur wissen,
ob Vollrang oder nicht. Ich finde hier das direkte ausrechnen mit der Determinante,
wo man hier quasi, wenn man faul ist, "nur in eine Formel Werte einsetzen und
rechnen muss" weniger aufwendig als das Gaußverfahren...
Rein theoretisch interessiert uns ja noch nichtmal der genaue Determinantenwert,
wir wollen nur wissen [mm] $\not=0$ [/mm] oder [mm] $=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo PaulW89,
>
>
> > Zeigen Sie, dass A eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
> >
> > [mm]A={\vektor{1\\
-1\\
3},\vektor{-2\\
-1\\
2},\vektor{-4\\
-1\\
1}}[/mm]
>
> > Hallo,
> >
> > reicht es hier, lineare Unabhängigkeit zu zeigen?
>
> Ja! Es sind ja 3 Stück, die würden dann eine Basis bilden
> ...
>
> > Ich erinnere mich, dass man dazu alle drei Vektoren
> > übereinander hinschreibt, Gauß laufen lässt und sich
> > herausstellt, dass man keine Zeilen kürzen kann.
> >
> > Das war jetzt aber eher salopp dahin gesagt,
>
> Aber sehr salopp
>
> > über eine
> > genauere Interpretation der o.g. Aufgabenstellung freut
> > sich
>
> Naja, was genau meinst du mit "übereinander" schreiben?
>
> Stopfe die 3 Vektoren als Spalten(vektoren) in eine Matrix
> und bringe sie in Zeilenstufenform. (Gauß)
>
> [mm]\red{\;\tilde{A}:=\;}\pmat{1&-2&-4\\
-1&-1&-1\\
3&2&1}[/mm]
>
> Sie sollte für lineare Unabh. vollen Rang haben, also
> keine Nullzeile in ZSF ...
na, warum nicht einfach [mm] $\det \tilde{A} \not=0$ [/mm] nachrechnen? Nur mal
so als Alternativlösung.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mi 05.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | Die Abbildung [mm] \mu:\IR^{3}\to\IR^{3} [/mm] ist gegeben durch
[mm] \mu\vektor{1\\1\\3}=\vektor{1\\1\\1},\mu\vektor{-2\\1\\2}=\vektor{-1\\1\\1},\mu\vektor{-4\\1\\1}=\vektor{0\\1\\1}.
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrix M der Abbildung bzgl. der Basis A.
(Basis A: Siehe vorige Frage.) |
Hallo,
bei der nächsten Teilaufgabe komme ich schon wieder ins Stocken.
Also da steht doch übersetzt: Die Funktion [mm] \mu [/mm] multipliziert einen Eingabevektor mit einer Matrix und spuckt einen neuen Vektor aus, den Koordinatenvektor. Diese Matrix ist die Basis, nennen wir sie B.
Oben sind zu drei Eingabevektoren die entsprechenden drei Koordinatenvektoren angegeben.
Soweit richtig?
Und von da an bekomme ich einen Knoten im Hirn, weiß nicht, was man von mir will. Hilfe!
Gruß,
Paul!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Mi 05.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der erstwn Spalte der gesuchten Matrix steht das Bild des ersten Basisvektors, in der zweiten das des zweiten usw.
du musst also die Basisvektoren aus denen, deren Bild du kennst zusammensetzen, um die Matrix zu finden,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mi 05.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
Hallo leduart,
danke für deine Antwort! Leider komme ich damit immer noch nicht hinter die Aufgabenstellung; ich sitze nun schon eine halbe Ewigkeit daran, aber bekomme kein "Rechenrezept" auf die Reihe. Mir fehlt komplett der Ansatz.
Über weitere Hilfe bin ich sehr, sehr dankbar!
Gruß,
Paul!
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Hallo,
Du hast $ [mm] \mu\vektor{1\\1\\3}=\vektor{1\\1\\1},\mu\vektor{-2\\1\\2}=\vektor{-1\\1\\1},\mu\vektor{-4\\1\\1}=\vektor{0\\1\\1} [/mm] $
und sollst die darstellungsmatrix von [mm] \mu [/mm] bzgl der Basis A sagen.
Schreib dazu den ersten Basisvektor [mm] a_1 [/mm] von [mm] A=(a_1, a_2, a_3) [/mm] als Linearkombination von [mm] \vektor{1\\1\\3},\vektor{-2\\1\\2}, \vektor{-4\\1\\1}, [/mm] und bestimme dann den Funktionswert unter Ausnutzung der Linearität von [mm] \mu.
[/mm]
Schreibe den erhaltenen Funktionswert als Linearkombination der [mm] a_i.
[/mm]
Die Koeffizienten ergeben "gestapelt" die erste Spalte der gesuchten Matrix, denn diese Spalte ist das Bild des ersten basisvektors von A in Koordinaten bzgl A.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:05 Do 06.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
Guten Morgen!
Das verwirrt mich; so komme ich ja auf
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\3} [/mm] = [mm] 1*\vektor{1\\1\\3} [/mm] + [mm] 0*\vektor{-2\\1\\2} [/mm] + [mm] 0*\vektor{-4\\1\\1}.
[/mm]
Welcher Funktionswert ist hier gemeint?
Also geht es hier überhaupt um einen Basiswechsel?!
Ich schreibe heute Nachmittag eine Klausur, in der dieser Aufgabentyp vermutlich drankommt. Ich stelle mich ja nicht dumm, ich komme echt nicht dahinter.
Bitte seid doch etwas konkreter, a la "Vektoren übereinander schreiben, Gauß machen, 1, 2, 3, fertig".
Also wenn sich irgendwer erbarmen würde, mir hier weiter zu helfen,
wäre das wirklich ganz entzückend!
Gruß,
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Do 06.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Morgen!
>
> Das verwirrt mich; so komme ich ja auf
> [mm]a_1[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\3}[/mm] = [mm]1*\vektor{1\\1\\3}[/mm] +
> [mm]0*\vektor{-2\\1\\2}[/mm] + [mm]0*\vektor{-4\\1\\1}.[/mm]
kennst Du Deine eigene Basis nicht mehr? Ihr hattet (hier (klick)Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) doch (ich schreib's als "Familie")
$$A=\left(\vektor{1\\-1\\3},\vektor{-2\\-1\\2},\vektor{-4\\-1\\1}\right)\equiv:(a_1,a_2,a_3) $$
(Es ist also $a_1=(1,\red{-}\;1,3)^T\,,$ $a_2=(-2,-1,2)^T$ und $a_3=(-4,-1,1)^T\,.$)
Nun wurden Euch für
$$ B:=\left({\vektor{1\\1\\3},\vektor{-2\\1\\2},\vektor{-4\\1\\1}\right)\equiv:(b_1,b_2,b_3) $$
Werte bzgl. $\mu$ vorgegeben:
Es war etwa $\mu(\vektor{1\\1\\3})=\vektor{1\\1\\1}$
Aber wenn Du mal genau hinguckst, siehst Du doch sicher, dass $a_1 \not=b_1\,,$
$a_2 \not=b_2$ und $a_3 \not=b_3$ gilt.
So ist doch etwa
$$a_1=\vektor{1\\\red{-}\;1\\3} \not=\vektor{1\\1\\3}=b_1$$
Zugegeben: Der Aufgabensteller hat da didaktisch sicher nicht die beste Wahl
getroffen. Andererseits kann man auch sagen: "Guck' halt GENAU hin, das musst
Du im richtigen Leben auch!"
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:05 Do 06.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
Och neeeeee! Das sind zwei ähnliche Aufgaben ineinander geraten, die allerdings unterschiedliche Zahlen hatten (eben nur im Vorzeichen unterschiedlich)! Ein böser Vergucker. :(
Hier nochmal korrekt!
[mm] A={\vektor{1\\-1\\3},\vektor{-2\\-1\\2},\vektor{-4\\-1\\1}}
[/mm]
[mm] \mu(\vektor{1\\-1\\3})=\vektor{-1\\1\\1}
[/mm]
[mm] \mu(\vektor{-2\\-1\\2})=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] \mu(\vektor{-4\\-1\\1})=\vektor{0\\1\\1}
[/mm]
Also: Die Basisvektoren A werden 1:1 in [mm] \mu [/mm] eingesetzt.
Ich entschuldige mich für die Verwirrung, vielleicht war die Aufgabenstellung dadurch einfach so konfus, dass mir hier bislang niemand helfen konnte!!
Marcel, wie geht es weiter?
Gruß,
Paul!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Do 06.09.2012 | | Autor: | Stoecki |
sei [mm] M:=\pmat{ m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} }
[/mm]
Löse folgendes Gleichungssystem:
[mm] M*a_1 [/mm] = [mm] b_1
[/mm]
[mm] M*a_2 [/mm] = [mm] b_2
[/mm]
[mm] M*a_3 [/mm] = [mm] b_3
[/mm]
mit:
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1\\3}; b_1 =\vektor{-1\\1\\1}
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = [mm] \vektor{-2\\-1\\2}; b_2 =\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] a_3 [/mm] = [mm] \vektor{-4\\-1\\1}; b_3 =\vektor{0\\1\\1}
[/mm]
Damit hast du bezüglich der Basis A [mm] =(a_1, a_2, a_3) [/mm] deine Darstellungsmarix dieser Abbildung. Hast du vorher eine Basistransformation musst du es so machen, wie angela es vorgeschlagen hat. du setzt dann die linearkombinationen statt den [mm] a_i [/mm] ein.
gruß bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Do 06.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
Danke dir! Also muss garkein Basiswechsel durchgeführt werden...danach habe ich die ganze Zeit gegoogled und wurde nur noch mehr verwirrt.
Wie ist denn das generelle Vorgehen bei der Lösung dieses Systems?
Ich habe da in Erinnerung, meine Vektoren a und b nebeneinander zu schreiben und dann den Gauß laufen lassen zu müssen, bis auf einer Seite die Einheitsmatrix steht.
Kann das mal jemand kommentieren?
Gruß!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Do 06.09.2012 | | Autor: | Stoecki |
du hast dort jetzt ein lineares gleichungssystem stehen. wenn du den ausdruck [mm] M*a_i [/mm] = [mm] b_i [/mm] für alle i mal ausmultiplizierst. das kannst du ganz normal mit gaus lösen. also die entstehende matrix auf zeilenstufenform bringen und dann die werte ausrechnen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Do 06.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
Ich denke, wir kommen der Sache näher!
Komplett ausgeschrieben:
[mm] -1=m_{11}*1+m_{12}*(-1)+m_{13}*3
[/mm]
[mm] 1=m_{21}*1+m_{22}*(-1)+m_{23}*3
[/mm]
[mm] 1=m_{31}*1+m_{32}*(-1)+m_{33}*3
[/mm]
[mm] 1=m_{11}*(-2)+m_{12}*(-1)+m_{13}*2
[/mm]
[mm] 1=m_{21}*(-2)+m_{22}*(-1)+m_{23}*2
[/mm]
[mm] 1=m_{31}*(-2)+m_{32}*(-1)+m_{33}*2
[/mm]
[mm] 0=m_{11}*(-4)+m_{12}*(-1)+m_{13}*1
[/mm]
[mm] 1=m_{21}*(-4)+m_{22}*(-1)+m_{23}*1
[/mm]
[mm] 1=m_{31}*(-4)+m_{32}*(-1)+m_{33}*1
[/mm]
Anders geschrieben:
[mm] -1=(m_{11},m_{12},m_{13})*\vektor{1\\-1\\3}
[/mm]
[mm] 1=(m_{21},m_{22},m_{23})*\vektor{1\\-1\\3}
[/mm]
[mm] 1=(m_{31},m_{32},m_{33})*\vektor{1\\-1\\3}
[/mm]
[mm] 1=(m_{11},m_{12},m_{13})*\vektor{-2\\-1\\2}
[/mm]
[mm] 1=(m_{21},m_{22},m_{23})*\vektor{-2\\-1\\2}
[/mm]
[mm] 1=(m_{31},m_{32},m_{33})*\vektor{-2\\-1\\2}
[/mm]
[mm] 0=(m_{11},m_{12},m_{13})*\vektor{-4\\-1\\1}
[/mm]
[mm] 1=(m_{21},m_{22},m_{23})*\vektor{-4\\-1\\1}
[/mm]
[mm] 1=(m_{31},m_{32},m_{33})*\vektor{-4\\-1\\1}
[/mm]
Aaaber wie packe ich das in den Gauß? Da gibt es doch einen Trick. Bitte spannt mich doch nicht so auf die Folter. :o)
Gruß,
Paul!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Do 06.09.2012 | | Autor: | Stoecki |
naja, schau doch mal auf die indices bei deinem oberen system. dir sollte dabei auffallen, dass du da drei recht handliche systeme bekommst. sonst gibts keine tricks. ausrechnen und fertig ist deine darstellungsmatrix
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Hallo,
ich hab' beim überfliegen gesehen, daß Du Dich auf eine Klausur vorbereitest.
Also war das Thema "Darstellungsmatrizen bzgl verschiedener Basen" bereits dran, und Du kannst nach Schema f vorgehen - vorausgesetzt, Du kennst das Schema.
Sprüchlein zum Merken:
in der Darstellungsmatrix [mm] _BM_A(f) [/mm] der Abbildung f bzgl der Basis A im Urbildraum und der Basis B im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren von A unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl B.
In Deiner Aufgabe hast Du die Bilder der Basisvektoren von A gegeben, allerdings in Koordinaten bzgl der Standardbasis S, und Du mußt sie nun noch in Koordinatenvektoren bzgl A verwandeln, damit Du die gesuchte Matrix aufstellen kann.
Dies kann man durchs Lösen von LGSen tun.
Du hast aber sicher auch schon gelernt, wie Du diese Aufgaben mithilfe von Transformationsmatrizen lösen kannst.
> [mm]A={\vektor{1\\
-1\\
3},\vektor{-2\\
-1\\
2},\vektor{-4\\
-1\\
1}}[/mm]
>
> [mm]\mu(\vektor{1\\
-1\\
3})=\vektor{-1\\
1\\
1}[/mm]
>
> [mm]\mu(\vektor{-2\\
-1\\
2})=\vektor{1\\
1\\
1}[/mm]
>
> [mm]\mu(\vektor{-4\\
-1\\
1})=\vektor{0\\
1\\
1}[/mm]
Wenn Du die drei Bildvektoren in die Spalten einer Matrix schreibst, hast Du die Matrix [mm] _SM_A(\mu), [/mm] die Darstellungsmatrix von [mm] \mu [/mm] bzgl der Basen A im Urbild- und der Standardbasis S im Bildraum.
Um die Matrix [mm] _AM_A(\mu) [/mm] zu bekommen, mußt Du [mm] _SM_A(\mu) [/mm] nun noch mit der Matrix, die Dir Vektoren, die in Koordinaten bzgl S gegeben sind, in solche bzgl A umwandelt, multiplizieren.
Es ist also [mm] _\green{A}M_\red{A}(\mu)=_\green{A}T_\blue{S}*_\blue{S}M_\red{A}(f).
[/mm]
Fragt sich nun nur, wo Du die Matrix [mm] _\green{A}T_\blue{S} [/mm] herbekommst.
Ich sag's Dir: [mm] _ST_A(id) [/mm] ist die Matrix, die die Basisvektoren von A in den Spalten enthält, also extrem leicht aufzustellen.
Und die benötigte Matrix [mm] _\green{A}T_\blue{S} [/mm] ist die Inverse davon.
Du mußt also eigentlich hier nur eine Matrix invertieren und dann mit einer anderen multiplizieren. Fertig.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Do 06.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> Hallo,
>
> ich hab' beim überfliegen gesehen, daß Du Dich auf eine
> Klausur vorbereitest.
> Also war das Thema "Darstellungsmatrizen bzgl
> verschiedener Basen" bereits dran, und Du kannst nach
> Schema f vorgehen - vorausgesetzt, Du kennst das Schema.
>
> Sprüchlein zum Merken:
> in der Darstellungsmatrix [mm]_BM_A(f)[/mm] der Abbildung f bzgl
> der Basis A im Urbildraum und der Basis B im Bildraum
> stehen die Bilder der Basisvektoren von A unter der
> Abbildung f in Koordinaten bzgl B.
ich merke mir das immer so:
Für Vektorräume [mm] $V\,$ [/mm] und [mm] $W\,$ [/mm] über einem gemeinsamen Körper [mm] $K\,$ [/mm] mit
[mm] $\dim [/mm] V=n, [mm] \dim [/mm] W=m < [mm] \infty$ [/mm] seien $A$ eine Basis von [mm] $A=(a_1,...,a_n)\,$ [/mm]
bzw. [mm] $B=(b_1,...,b_m)\,$ [/mm] eine von [mm] $W\,.$
[/mm]
Für $v [mm] \in [/mm] V$ bzw. $w [mm] \in [/mm] W$ schreiben wir kurz [mm] $v_{A} \in K^n$ [/mm] bzw. [mm] $w_{B} \in K^m$ [/mm]
für deren (eindeutig bestimmte) Koordinatendarstellung bzgl. der (je beliebigen, aber
nach einer Wahl dann festgehaltenen) Basen.
Dann ist Deine obige Aussage nichts anderes als
[mm] $$_BM_A(f)=(\;f(a_1)_B,\;f(a_2)_B,\;...,\;f(a_n)_B\;)$$
[/mm]
(Wobei angemerkt sei, dass in der Matrix [mm] $_BM_A(f)$ [/mm] die einzelnen Spaltenvektoren
nicht mehr umklammert werden - sie soll halt auch wie eine Matrix aussehen, nicht
"wie eine Ansammlung von Vektoren"!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Do 06.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Och neeeeee! Das sind zwei ähnliche Aufgaben ineinander
> geraten, die allerdings unterschiedliche Zahlen hatten
> (eben nur im Vorzeichen unterschiedlich)! Ein böser
> Vergucker. :(
>
> Hier nochmal korrekt!
>
> [mm]A={\vektor{1\\-1\\3},\vektor{-2\\-1\\2},\vektor{-4\\-1\\1}}[/mm]
>
> [mm]\mu(\vektor{1\\-1\\3})=\vektor{-1\\1\\1}[/mm]
>
> [mm]\mu(\vektor{-2\\-1\\2})=\vektor{1\\1\\1}[/mm]
>
> [mm]\mu(\vektor{-4\\-1\\1})=\vektor{0\\1\\1}[/mm]
>
> Also: Die Basisvektoren A werden 1:1 in [mm]\mu[/mm] eingesetzt.
> Ich entschuldige mich für die Verwirrung, vielleicht war
> die Aufgabenstellung dadurch einfach so konfus, dass mir
> hier bislang niemand helfen konnte!!
>
> Marcel, wie geht es weiter?
neben allen bisher vorgeschlagenen, ich würd' das von Stoecki vorgeschlagene
einfach so machen (damit bist Du aber noch nicht am Ende, siehe Angelas
Post - Du sollst ja die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis [mm] $A\,$ [/mm] aufstellen!):
Sei [mm] $M\,$ [/mm] die gesuchte Abbildungsmatrix. Offenbar muss gelten:
[mm] $$(\*)\;\;\;M*\underbrace{\pmat{1 & -2&-4 \\-1 & -1& -1 \\3 & 2 & 1}}_{=:\hat{A}}=\underbrace{\pmat{-1 & 1&0 \\1 & 1& 1 \\1 & 1 & 1}}_{=:\hat{B}}$$
[/mm]
Einfachste Idee: Invertiere [mm] $\hat{A}\,,$ [/mm] d.h. berechne [mm] $\hat{A}^{-1}$ [/mm] (warum
existiert die Inverse bzw. warum kann man [mm] $\hat{A}$ [/mm] invertieren?) und multipliziere
[mm] $\hat{A}^{-1}$ [/mm] in [mm] $(\*)$ [/mm] beidseitig von rechts ran. Was folgt?
Soweit wurde das hier vorgeschlagen. Nun solltest Du Dir aber Gedanken machen,
bzgl. welchen Basen im Urbildraum und im Bildraum [mm] $M\,$ [/mm] dann eigentlich berechnet
wurde. Alles weitere folgt aus Angelas Post!
Gruß,
Marcel
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