Zeige 'fundamental unit" < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | Sei d>1 ein nicht quadratische Integer und y der kleinste positive Integer, s.d. [mm] dy^2 [/mm] von der Form [mm] x^2\pm [/mm] 1 ist.
Zeige [mm] \varepsilon_{d}=x+y \wurzel{d} [/mm] ist ein 'fundamental unit' in [mm] \IZ[\wurzel{d}] [/mm] |
Leider ist Algebra bei mir nun schon über ein Jahr her, aber ich möchte gerne algebraische Zahlentheorie hören.
Darum hoffe ich, hier kann mir jemand ein paar Tipps für die Herangehensweise geben. Ich bin im Moment nämlich erstmal dabei wieder die Definitionen der ganzen algebraischen Begriffe auszufrischen, um zu verstehen, was hier gefordert ist.
Ich hoffe hier kann mir jemand helfen, oder hat Lust dazu ;)
Ganz liebe Grüße
Loko
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Sa 08.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
ich habe ein bisschen Ahnung von Algebra. Mir kommt das auch irgendwie bekannt vor, allerdings kann ich mit den Begriffen "integer","fundamental unit" nix anfangen.. vlt. gehts andern genauso...
Grüße
|
|
|
| |
|
> ich habe ein bisschen Ahnung von Algebra. Mir kommt das
> auch irgendwie bekannt vor, allerdings kann ich mit den
> Begriffen "integer","fundamental unit" nix anfangen.. vlt.
> gehts andern genauso...
... es gäbe ja for instance auch noch die German language ...
"an integer" ist eine ganze Zahl
und "fundamental unit" heißt "Fundamentaleinheit" und ist
wohl im Sinne der ![[]](/images/popup.gif) algebraischen Zahlentheorie aufzufassen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 So 09.09.2012 | | Autor: | Loko |
Ich weiß, entschuldigung! Die Aufgabe war auf englisch formuliert und 'fundamental unit' hab ich nicht gefunden...
Integer habe ich einfach fergessen umzuschreiben ;), das ist eine ganze Zahl.
Bei Wikipedia stand zu 'fundamental unit', es generiert die Einheitsgruppe eines Rings von ganzen Zahlen (Integer.. ) in einem algebraischen Zahlenkörper.
Hier fängt es schon an, dass ich erstmal die ganzen Begriffe wieder auffrischen muss...
Gut, ich hoffe es ist jetzt klarer!
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 So 09.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Loko!
> Sei d>1 ein nicht quadratische Integer und y der kleinste
> positive Integer, s.d. [mm]dy^2[/mm] von der Form [mm]x^2\pm[/mm] 1 ist.
> Zeige [mm]\varepsilon_{d}=x+y \wurzel{d}[/mm] ist ein 'fundamental
> unit' in [mm]\IZ[\wurzel{d}][/mm]
Du musst hier zeigen:
a) [mm] $x+y\sqrt{d}$ [/mm] ist eine Einheit von [mm] $\IZ[\sqrt{d}]$, [/mm] d.h. es gibt $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $(a + b [mm] \sqrt{d}) [/mm] (x + y [mm] \sqrt{d}) [/mm] = 1$;
b) ist [mm] $g+h\sqrt{d}$ [/mm] eine Einheit von [mm] $\IZ[\sqrt{d}]$, [/mm] so gilt [mm] $g+h\sqrt{d} [/mm] = [mm] \pm (x+y\sqrt{d})^n$ [/mm] fuer ein $n [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Teil a) ist sehr einfach. Fuer Teil b) wuerde ich wie folgt vorgehen:
1) multipliziere [mm] $g+h\sqrt{d}$ [/mm] mit [mm] $\pm [/mm] 1$, so dass $h [mm] \ge [/mm] 0$ ist.
2) Jetzt schau an, was [mm] $g+h\sqrt{d}$ [/mm] multipliziert mit [mm] $x+y\sqrt{d}$ [/mm] bzw. mit [mm] $a+b\sqrt{d} [/mm] = [mm] (x+y\sqrt{d})^{-1}$ [/mm] ergibt. Dies ist wieder von der Form $g' + h' [mm] \sqrt{d}$; [/mm] vergleiche $h'$ mit $h$.
3) Jetzt musst du dir ueberlegen, wie du zeigen kannst, dass [mm] $g+h\sqrt{d}$ [/mm] (mit $h [mm] \ge [/mm] 0$) multipliziert mit einem passenden Vielfachen von [mm] $a+b\sqrt{d}$ [/mm] bzw. [mm] $x+y\sqrt{d}$ [/mm] gleich 1 ist (bedenke dazu: ist $a' + b' [mm] \sqrt{d}$ [/mm] eine Einheit mit $0 [mm] \le [/mm] b' <y$ ist, dann muss $a' = [mm] \pm [/mm] 1$ sein und $b' = 0$; das folgt aus der Wahl von $x$ und $y$).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mo 10.09.2012 | | Autor: | Loko |
Vielen Dank schonmal für die Antwort!!
Ich habe nur leider schon Probleme bei dem sehr einfachen Teil.. Mit verschiedenen Definitionen und Beispielaufgaben aus den Netz hab ich versucht mir das klar zu machen, aber ich verstehe es einfach noch nicht wie ich an die Inverse, also a und b komme...
Es stand dort auch z.B man könne die Norm benutzen. s.d.
[mm] (a^{2}-b^{2} d)(x^{2}-y^{2} [/mm] d) = 1 ist. Aber ich sehe nicht, wie mir das weiterhilft.
Auch gab es eine Beispielaufgabe, dass dann mit
[mm] \bruch{x-y \wurzel{d}}{x^{2} -y^{2} d} [/mm] ein Inverses gegeben ist, dass in [mm] \IZ [\wurzel{d}] [/mm] liegt, da die Division nur höchstens die Vorzeichen der Koeffizienten ändere.
Als Beispiel wurde dann gesagt: (7+5 [mm] \wurzel{2})^{-1} [/mm] wäre nach dieser Formel -7+5 [mm] \wurzel{2}. [/mm] Aber wie kamen sie hier mit der Formel auf diese Inverse?
Ich hoffe jemand hat die Geduld meine Lücken zu stopfen ;)
Liebe Grüße
Loko
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:16 Di 11.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe nur leider schon Probleme bei dem sehr einfachen
> Teil.. Mit verschiedenen Definitionen und Beispielaufgaben
> aus den Netz hab ich versucht mir das klar zu machen, aber
> ich verstehe es einfach noch nicht wie ich an die Inverse,
> also a und b komme...
>
> Es stand dort auch z.B man könne die Norm benutzen. s.d.
> [mm](a^{2}-b^{2} d)(x^{2}-y^{2}[/mm] d) = 1 ist. Aber ich sehe
> nicht, wie mir das weiterhilft.
Das ist ein Produkt aus zwei ganzen Zahlen, naemlich aus [mm] $a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] d$ und [mm] $x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] d$. Das kann nur dann gleich 1 sein, wenn entweder beide Faktoren gleich $1$ oder gleich $-1$ sind. Also muss [mm] $x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] d = (x + [mm] y\sqrt{d}) [/mm] (x - y [mm] \sqrt{d}) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$ sein. Ist es gleich $-1$, so gilt $(x + y [mm] \sqrt{d}) [/mm] (-x + y [mm] \sqrt{d}) [/mm] = 1$.
In beiden Faellen hast du also direkt das Inverse von $x + y [mm] \sqrt{d}$ [/mm] dort stehen.
> Auch gab es eine Beispielaufgabe, dass dann mit
> [mm]\bruch{x-y \wurzel{d}}{x^{2} -y^{2} d}[/mm] ein Inverses
> gegeben ist, dass in [mm]\IZ [\wurzel{d}][/mm] liegt, da die
> Division nur höchstens die Vorzeichen der Koeffizienten
> ändere.
>
> Als Beispiel wurde dann gesagt: (7+5 [mm]\wurzel{2})^{-1}[/mm] wäre
> nach dieser Formel -7+5 [mm]\wurzel{2}.[/mm] Aber wie kamen sie hier
> mit der Formel auf diese Inverse?
Setz es doch mal ein, also $x = 7$, $y = 5$, $d = 2$. Es kommt genau das angegebene Ergebnis heraus.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 So 16.09.2012 | | Autor: | Loko |
Vielen Dank für die Hilfe!! Ich hab es glaub ich halbwegs hinbekommen.. Leider geben die neuen Zettel für die neue Woche nicht die Zeit es komplett auszuarbeiten. Sollte ich aber die Zeit finden werde ich hier meinen Lösungsvorschlag noch präsentieren :)
Danke nochmal!
|
|
|
|
