Zeige kein Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 28.06.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | Aufgabe:
(a) Bestimmen Sie alle Normalteiler von [mm] \IZ_9
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass U = [mm] \{ \sigma \in S_4 | \sigma(4) = 4 \} [/mm] kein Normalteiler der Gruppe [mm] (S_4, \circ [/mm] ) ist. |
Guten Tag,
bei der Aufgabe (a) habe ich mir folgendes überlegt:
Nach dem Satz von Lagrange muss jede Untergruppe von [mm] \IZ_n [/mm] die Ordnung n teilen. Es gilt: 9 = 3*3. Die Teiler sind also 1,3,9. Also sind die Normalteiler {0}, [mm] \IZ_3, \IZ_9. [/mm] Reicht das als Begründung?
Zu (b): Hier fangen die Probleme an. Ich habe zunächst versucht zu überprüfen, ob U eine Untergruppe von [mm] S_4 [/mm] ist. Ich schaffe es allerdings nicht zu zeigen, dass zu einem beliebigen Element auch das Inverse in der Gruppe liegt. Dies müsste eigentlich der Fall sein, denn im Prinzip betrachten wir hier ja nur den [mm] S_3. [/mm] Sei /sigma [mm] \in [/mm] U [mm] \rightarrow \sigma(4) [/mm] = 4. Und nun? Soll ich dann einfach das für jedes Element explizit zeigen? Gibt es da keine bessere Möglichkeit?
Damit U ein Normalteiler von [mm] S_4 [/mm] ist müsste ja [mm] \forall [/mm] a [mm] \in S_4 \exists [/mm] u [mm] \in [/mm] U: aua^-1 [mm] \in [/mm] U gelten. Da wäre aber z.B (4 1) ( 1 2 3) ( 1 4) ein Gegenbeispiel wenn ich mich nicht täusche.
Schönen Gruß,
Diab91
|
|
| |
|
> Aufgabe:
> (a) Bestimmen Sie alle Normalteiler von [mm]\IZ_9[/mm]
> (b) Zeigen Sie, dass U = [mm]\{ \sigma \in S_4 | \sigma(4) = 4 \}[/mm]
> kein Normalteiler der Gruppe [mm](S_4, \circ[/mm] ) ist.
> Guten Tag,
>
> bei der Aufgabe (a) habe ich mir folgendes überlegt:
>
> Nach dem Satz von Lagrange muss jede Untergruppe von [mm]\IZ_n[/mm]
> die Ordnung n teilen. Es gilt: 9 = 3*3. Die Teiler sind
> also 1,3,9. Also sind die Normalteiler {0}, [mm]\IZ_3, \IZ_9.[/mm]
> Reicht das als Begründung?
Ne Begründung hast du ja nicht angegeben, sondern nur Gruppen aufgeführt.
Ich versteht einfach nicht, warum so viele [mm] $\IZ_9$ [/mm] schreiben und [mm] $\IZ/9\IZ$ [/mm] meinen. Fehlt nun die Begründung warum [mm] $\IZ_9$ [/mm] Normalteiler ist.
>
> Zu (b): Hier fangen die Probleme an. Ich habe zunächst
> versucht zu überprüfen, ob U eine Untergruppe von [mm]S_4[/mm]
> ist.
Wenn man sich die Definition von U genauer anschaut, dann stellt man fest, dass die Elemente 1,2,3 permutiert werden. Welche Gruppe ist das?
> Ich schaffe es allerdings nicht zu zeigen, dass zu
> einem beliebigen Element auch das Inverse in der Gruppe
> liegt. Dies müsste eigentlich der Fall sein, denn im
> Prinzip betrachten wir hier ja nur den [mm]S_3.[/mm]
Ja genau!
> Sei /sigma [mm]\in[/mm]
> U [mm]\rightarrow \sigma(4)[/mm] = 4. Und nun? Soll ich dann einfach
> das für jedes Element explizit zeigen? Gibt es da keine
> bessere Möglichkeit?
Es genügt doch hinzuschreiben, dass es sich hierbei um S3 handelt. Oder meinst du direkt die Eigenschaft vom Normalteiler?
>
> Damit U ein Normalteiler von [mm]S_4[/mm] ist müsste ja [mm]\forall[/mm] a
> [mm]\in S_4 \exists[/mm] u [mm]\in[/mm] U: aua^-1 [mm]\in[/mm] U gelten. Da wäre aber
> z.B (4 1) ( 1 2 3) ( 1 4) ein Gegenbeispiel wenn ich mich
> nicht täusche.
Ja. In U wird nichts mit der 4 angestellt, von daher muss man sich halt überlegen, wie man die 4 permutiert, sodass man außerhalb von S3 landet.
>
> Schönen Gruß,
> Diab91
>
Dir auch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Do 28.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Aufgabe:
> > (a) Bestimmen Sie alle Normalteiler von [mm]\IZ_9[/mm]
> > (b) Zeigen Sie, dass U = [mm]\{ \sigma \in S_4 | \sigma(4) = 4 \}[/mm]
> > kein Normalteiler der Gruppe [mm](S_4, \circ[/mm] ) ist.
> > Guten Tag,
> >
> > bei der Aufgabe (a) habe ich mir folgendes überlegt:
> >
> > Nach dem Satz von Lagrange muss jede Untergruppe von [mm]\IZ_n[/mm]
> > die Ordnung n teilen. Es gilt: 9 = 3*3. Die Teiler sind
> > also 1,3,9. Also sind die Normalteiler {0}, [mm]\IZ_3, \IZ_9.[/mm]
> > Reicht das als Begründung?
>
> Ne Begründung hast du ja nicht angegeben, sondern nur die
> Untergruppen aufgeführt.
Noch ein Hinweis: [mm] $\IZ_3$ [/mm] ist keine Teilmenge von [mm] $\IZ_9$ [/mm] -- und selbst wenn doch, dann ist diese Teilmenge keine Untergruppe.
Es gibt jedoch eine Untergruppe von [mm] $\IZ_9$, [/mm] die isomorph zu [mm] $\IZ_3$ [/mm] ist.
> Ich versteht einfach nicht, warum so viele [mm]\IZ_9[/mm] schreiben
> und [mm]\IZ/9\IZ[/mm] meinen.
Die Kurzschreibweise ist in Teilen der Mathematik (und Informatik) sehr gebraeuchlich (etwa in der Kryptographie). In anderen Teilen dagegen nicht (etwa in der Zahlentheorie).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Do 28.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
War doof von mir das Wort Untergruppe zu verwenden. Wollte ich gar nicht, sondern nur die "Begründung" hören. Habs korrigiert.
Im Übrigen ist die folgende Seite für soetwas richtig klasse, wenn man nicht weiter kommt:
http://hobbes.la.asu.edu/courses/site/devel-groups/tabs.html
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Fr 29.06.2012 | | Autor: | diab91 |
Hallo wieschoo und Felix,
> Moin!
>
> > > Aufgabe:
> > > (a) Bestimmen Sie alle Normalteiler von [mm]\IZ_9[/mm]
> > > (b) Zeigen Sie, dass U = [mm]\{ \sigma \in S_4 | \sigma(4) = 4 \}[/mm]
> > > kein Normalteiler der Gruppe [mm](S_4, \circ[/mm] ) ist.
> > > Guten Tag,
> > >
> > > bei der Aufgabe (a) habe ich mir folgendes überlegt:
> > >
> > > Nach dem Satz von Lagrange muss jede Untergruppe von [mm]\IZ_n[/mm]
> > > die Ordnung n teilen. Es gilt: 9 = 3*3. Die Teiler sind
> > > also 1,3,9. Also sind die Normalteiler {0}, [mm]\IZ_3, \IZ_9.[/mm]
> > > Reicht das als Begründung?
> >
> > Ne Begründung hast du ja nicht angegeben, sondern nur die
> > Untergruppen aufgeführt.
>
> Noch ein Hinweis: [mm]\IZ_3[/mm] ist keine Teilmenge von [mm]\IZ_9[/mm] --
> und selbst wenn doch, dann ist diese Teilmenge keine
> Untergruppe.
>
> Es gibt jedoch eine Untergruppe von [mm]\IZ_9[/mm], die isomorph zu
> [mm]\IZ_3[/mm] ist.
Ja, da hast du natürlich recht. Die zugehörige Untergruppe müsste dann
[mm] \{0,3,6 \} [/mm] sein. Also gibt es nur die Untergruppen [mm] \{0\}, \{0,3,6\} [/mm] und [mm] \IZ_9. [/mm] Da [mm] \IZ_9 [/mm] zyklische ist, ist [mm] \IZ_9 [/mm] abelsch und somit jede Untergruppe auch ein Normalteiler von [mm] \IZ_9. [/mm] Eine Frage habe ich allerdings noch... Wo her weiß ich das nicht noch weitere Untergruppen geben kann? Es könnte doch sein das es mehrere Untergruppen der Ordnung 3 gibt. Gemeint ist hier allgemein bei [mm] \IZ_n [/mm] wobei n durch 3 teilbar ist ?
@ wieschoo netter Link. Vielen Dank :).
Schönen Gruß,
Diab91
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Sa 30.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Diab91!
> > > > Aufgabe:
> > > > (a) Bestimmen Sie alle Normalteiler von [mm]\IZ_9[/mm]
> > > > (b) Zeigen Sie, dass U = [mm]\{ \sigma \in S_4 | \sigma(4) = 4 \}[/mm]
> > > > kein Normalteiler der Gruppe [mm](S_4, \circ[/mm] ) ist.
> > > > Guten Tag,
> > > >
> > > > bei der Aufgabe (a) habe ich mir folgendes überlegt:
> > > >
> > > > Nach dem Satz von Lagrange muss jede Untergruppe von [mm]\IZ_n[/mm]
> > > > die Ordnung n teilen. Es gilt: 9 = 3*3. Die Teiler sind
> > > > also 1,3,9. Also sind die Normalteiler {0}, [mm]\IZ_3, \IZ_9.[/mm]
> > > > Reicht das als Begründung?
> > >
> > > Ne Begründung hast du ja nicht angegeben, sondern nur die
> > > Untergruppen aufgeführt.
> >
> > Noch ein Hinweis: [mm]\IZ_3[/mm] ist keine Teilmenge von [mm]\IZ_9[/mm] --
> > und selbst wenn doch, dann ist diese Teilmenge keine
> > Untergruppe.
> >
> > Es gibt jedoch eine Untergruppe von [mm]\IZ_9[/mm], die isomorph zu
> > [mm]\IZ_3[/mm] ist.
>
>
> Ja, da hast du natürlich recht. Die zugehörige
> Untergruppe müsste dann
> [mm]\{0,3,6 \}[/mm] sein.
Genau.
> Also gibt es nur die Untergruppen [mm]\{0\}, \{0,3,6\}[/mm]
> und [mm]\IZ_9.[/mm] Da [mm]\IZ_9[/mm] zyklische ist, ist [mm]\IZ_9[/mm] abelsch und
> somit jede Untergruppe auch ein Normalteiler von [mm]\IZ_9.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Eine Frage habe ich allerdings noch... Wo her weiß ich das
> nicht noch weitere Untergruppen geben kann? Es könnte doch
> sein das es mehrere Untergruppen der Ordnung 3 gibt.
Das koennte schon sein. Hier ist es aber nicht so.
Um das zu beweisen, kannst du schauen, wieviele Elemente in [mm] $\IZ_9$ [/mm] die Ordnung 3 haben. Damit eine Restklasse $x$ mit $0 [mm] \le [/mm] x < 9$ die Ordnung 3 hat, muss $x [mm] \neq [/mm] 0$ und $3 [mm] \cdot [/mm] x$ ein Vielfaches von 9 sein. Das geht aber nur, wenn $x$ ein Vielfaches von 3 ist, also wenn $x [mm] \in \{ 3, 6 \}$ [/mm] ist. Damit gibt es zwei Elemente der Ordnung 3 in [mm] $\IZ_9$, [/mm] und die Untergruppe die von so einem erzeugt wird enthaelt auch das jeweils andere Element (da sie zueinander invers sind). Da jede Untergruppe mit 3 Elementen mind. ein Element der Ordnung 3 haben muss kann es also nur diese eine Untergruppe der Ordnung 3 geben.
> Gemeint ist hier allgemein bei [mm]\IZ_n[/mm] wobei n durch 3
> teilbar ist ?
Allgemein gilt bei einer zyklischen Gruppe $G$ der Ordnung $n$: es gibt genau eine Untergruppe der Ordnung $d$ in $G$, falls $d [mm] \mid [/mm] n$ gilt. In dem Fall gibt es genau eine solche Untergruppe der Ordnung $d$.
Diese allgemeinere Aussage kann man am einfachsten mit etwas Ringtheorie zeigen (dazu muss man wissen, wie die Ideale in [mm] $\IZ$ [/mm] aussehen).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Sa 30.06.2012 | | Autor: | diab91 |
Hi Felix,
ein ganz Dickes danke schön für deine Hilfe und deine Erklärung.Mir ist nun einiges klarer geworden. Danke :).
Schönen Gruß,
Diab91
|
|
|
|
