Zeigen Menge dicht < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $(X,T)$ ein topologischer Raum. B sei Basis von T. $ A [mm] \subseteq [/mm] X$.
Zeige: A ist genau dann dicht in X, falls für jede nichtleere Menge $O [mm] \in [/mm] T $ gilt, dass $A [mm] \cap [/mm] O [mm] \neq \emptyset$.
[/mm]
Gilt diese Aussage auch, falls wir nur fordern, dass B eine Subbasis von T ist? |
Hallo,
meine Ideen:
[mm] $\Leftarrow$ [/mm]
$A [mm] \cap [/mm] O [mm] \neq \emptyset$
[/mm]
Annahme: A nicht dicht.
[mm] $\Rightarrow \exists O_{x} \subseteq \overline{A}^{c} [/mm] $ mit [mm] $O_{x}$ [/mm] offen ( da [mm] $\overline{A}^{c} [/mm] $ offen ist$
da B Basis ist gilt : für $x [mm] \in [/mm] B1 [mm] \cap [/mm] B2 [mm] \exists [/mm] B3 [mm] \subseteq [/mm] B1 [mm] \cap [/mm] B2 : x [mm] \in [/mm] B3 $.
also: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \exists [/mm] B3 : x [mm] \in [/mm] B3$
Sei $ x [mm] \in \overline{A}^{c} \Rightarrow O_{x} \cap [/mm] A = [mm] \emptyset [/mm] , mit B3 = [mm] O_{x} [/mm] $.
Also ist A dicht.
[mm] $\Rightarrow [/mm] $
A dicht [mm] $\gdw \overline{A} [/mm] = X $
führt mit : Annahme : [mm] $\exists [/mm] O : A [mm] \cap [/mm] O = [mm] \emptyset [/mm] , O [mm] \in [/mm] B$ ebenfalls auf einen Widerspruch.
Zur Frage ob dies auch gilt falls B Subbasis -
Ich bin mir da nicht sicher, behaupte aber mal nein ohne es exakt begründen zu können.
Könnt ihr mir da eventuell helfen?
Lg und Danke
Peter_123
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Sa 18.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](X,T)[/mm] ein topologischer Raum. B sei Basis von T. [mm]A \subseteq X[/mm].
>
> Zeige: A ist genau dann dicht in X, falls für jede
> nichtleere Menge [mm]O \in T[/mm] gilt, dass [mm]A \cap O \neq \emptyset[/mm].
>
> Gilt diese Aussage auch, falls wir nur fordern, dass B eine
> Subbasis von T ist?
> Hallo,
>
> meine Ideen:
>
> [mm]\Leftarrow[/mm]
> [mm]A \cap O \neq \emptyset[/mm]
> Annahme: A nicht dicht.
> [mm]$\Rightarrow \exists O_{x} \subseteq \overline{A}^{c}[/mm] $
> mit [mm]$O_{x}$[/mm] offen ( da [mm]$\overline{A}^{c}[/mm] $ offen ist$
Was ist x in [mm] O_x [/mm] ??? Ist das das x , das weiter unten vorkommt ? Wenn ja, so ist das völlig unsinnig.
> da B Basis ist gilt : für [mm]x \in B1 \cap B2 \exists B3 \subseteq B1 \cap B2 : x \in B3 [/mm].
Was soll das denn ? was ist x ? Sind [mm] B_1,B_2, B_3 \in [/mm] B ?
>
> also: [mm]\forall x \in X \exists B3 : x \in B3[/mm]
???
> Sei [mm]x \in \overline{A}^{c} \Rightarriw O_{x} \cap A = \emptyset , mit B3 = O_{x} [/mm].
Diese Zeile ist nicht lesbar !
>
> Also ist A dicht.
Nichts dergleichen hast Du gezeigt !
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> A dicht [mm]\gdw \overline{A} = X[/mm]
> führt mit : Annahme :
> [mm]\exists O : A \cap O = \emptyset , O \in B[/mm] ebenfalls auf
> einen Widerspruch.
Das ist kein Beweis !
FRED
>
> Zur Frage ob dies auch gilt falls B Subbasis -
>
> Ich bin mir da nicht sicher, behaupte aber mal nein ohne es
> exakt begründen zu können.
> Könnt ihr mir da eventuell helfen?
>
>
> Lg und Danke
>
> Peter_123
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:43 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Peter_123 |
> > Sei [mm](X,T)[/mm] ein topologischer Raum. B sei Basis von T. [mm]A \subseteq X[/mm].
>
> >
> > Zeige: A ist genau dann dicht in X, falls für jede
> > nichtleere Menge [mm]O \in T[/mm] gilt, dass [mm]A \cap O \neq \emptyset[/mm].
>
> >
> > Gilt diese Aussage auch, falls wir nur fordern, dass B eine
> > Subbasis von T ist?
> > Hallo,
> >
> > meine Ideen:
> >
> > [mm]\Leftarrow[/mm]
> > [mm]A \cap O \neq \emptyset[/mm]
> > Annahme: A nicht dicht.
> > [mm]$\Rightarrow \exists O_{x} \subseteq \overline{A}^{c}[/mm] $
> > mit [mm]$O_{x}$[/mm] offen ( da [mm]$\overline{A}^{c}[/mm] [mm]offen ist[/mm]
>
>
> Was ist x in [mm]O_x[/mm] ??? Ist das das x , das weiter unten
> vorkommt ? Wenn ja, so ist das völlig unsinnig.
Was meinst du mit $x [mm] \in O_{x}$ [/mm] - vll wäre besser [mm] $O_{1}$ [/mm] - das soll einfach nur eine Bezeichnung für eine Menge in [mm] $\overline{A}^{c}[/mm] [/mm] sein. Und bedeutet nicht etwa eine Umgebung von x.
>
>
> > da B Basis ist gilt : für [mm]x \in B1 \cap B2 \exists B3 \subseteq B1 \cap B2 : x \in B3 [/mm].
>
> Was soll das denn ? was ist x ? Sind [mm]B_1,B_2, B_3 \in[/mm] B ?
x ist ein Element des Schnittes. Genau - B1,B2,B3 sind aus B.
>
>
> >
> > also: [mm]\forall x \in X \exists B3 : x \in B3[/mm]
>
> ???
>
> > Sei [mm]x \in \overline{A}^{c} \Rightarriw O_{x} \cap A = \emptyset , mit B3 = O_{x} [/mm].
>
> Diese Zeile ist nicht lesbar !
Da B eine Basis ist gibt es zu jedem x eine Menge, sagen wir B3 , die einen Schnitt mit A hat der nicht leer ist.
>
>
> >
> > Also ist A dicht.
>
> Nichts dergleichen hast Du gezeigt !
>
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > A dicht [mm]\gdw \overline{A} = X[/mm]
> > führt mit : Annahme :
> > [mm]\exists O : A \cap O = \emptyset , O \in B[/mm] ebenfalls auf
> > einen Widerspruch.
>
> Das ist kein Beweis !
>
> FRED
> >
> > Zur Frage ob dies auch gilt falls B Subbasis -
> >
> > Ich bin mir da nicht sicher, behaupte aber mal nein ohne es
> > exakt begründen zu können.
> > Könnt ihr mir da eventuell helfen?
> >
> >
> > Lg und Danke
> >
> > Peter_123
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
Lg Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:52 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > > Sei [mm]x \in \overline{A}^{c} \Rightarriw O_{x} \cap A = \emptyset , mit B3 = O_{x} [/mm].
>
> >
> > Diese Zeile ist nicht lesbar !
> Da B eine Basis ist gibt es zu jedem x eine Menge, sagen
> wir B3 , die einen Schnitt mit A hat der nicht leer ist.
Du meinst "leer" statt "nicht leer"?
Was soll die Menge [mm] $B_3$ [/mm] mit $x$ zu tun haben?
[mm] $B_3$ [/mm] soll darüber hinaus nichtleer sein?
Wie möchtest du die Existenz dieses [mm] $B_3$ [/mm] begründen?
In der Tat wäre der gewünschte Widerspruch zu [mm] $A\cap O\neq\emptyset$ [/mm] für alle nichtleeren [mm] $O\in [/mm] B$ da, wenn du ein nichtleeres [mm] $B_3\in [/mm] B$ mit [mm] $A\cap B_3=\emptyset$ [/mm] gefunden hättest.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:36 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Peter123!
> Sei [mm](X,T)[/mm] ein topologischer Raum. B sei Basis von T. [mm]A \subseteq X[/mm].
>
> Zeige: A ist genau dann dicht in X, falls für jede
> nichtleere Menge [mm]O \in T[/mm] gilt, dass [mm]A \cap O \neq \emptyset[/mm].
Es soll wohl [mm] $O\in [/mm] B$ statt [mm] $O\in [/mm] T$ heißen.
> Gilt diese Aussage auch, falls wir nur fordern, dass B eine
> Subbasis von T ist?
Ich entnehme deinen Versuchen, dass ihr vermutlich definiert habt:
Eine Teilmenge [mm] $A\subseteq [/mm] X$ eines topologischen Raumes $X$ heißt dicht in $X$, falls [mm] $\overline{A}=X$ [/mm] gilt.
> meine Ideen:
>
> [mm]\Leftarrow[/mm]
Gelte
> [mm]A \cap O \neq \emptyset[/mm]
für alle [mm] $O\in [/mm] B$.
> Annahme: A nicht dicht.
> [mm]$\Rightarrow \exists O_{x} \subseteq \overline{A}^{c}[/mm] $
> mit [mm]$O_{x}$[/mm] offen
(Ich schreibe lieber $O$ statt [mm] $O_x$.)
[/mm]
Natürlich existieren offene Mengen [mm] $O\subseteq [/mm] X$ mit [mm] $O\subseteq\overline{A}^{c}$, [/mm] z.B. [mm] $O=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $O=\overline{A}^c$.
[/mm]
Dies hat nichts mit "$A$ nicht dicht" zu tun.
> ( da [mm]$\overline{A}^{c}[/mm] $ offen ist$
Ja, [mm] $\overline{A}^c$ [/mm] ist offen.
> da B Basis ist gilt : für
alle [mm] $B_1,B_2\in [/mm] B$ und für alle
> [mm]x \in B1 \cap B2 \exists B3 \subseteq B1 \cap B2 : x \in B3 [/mm].
Ja (da [mm] $B_1\cap B_2$ [/mm] offen).
> also: [mm]\forall x \in X \exists B3 : x \in B3[/mm]
Letzteres stimmt, weil $X$ sich als Vereinigung von Mengen aus $B$ schreiben lässt.
Einen Zusammenhang zu deinen vorigen Überlegungen erkenne ich nicht.
> Sei [mm]x \in \overline{A}^{c}[/mm]
Weil $A$ nach Widerspruchsannahme nicht dicht in $X$ ist (d.h. [mm] $\overline{A}\not=X$) [/mm] existiert so ein $x$.
> [mm]\Rightarrow O_{x} \cap A = \emptyset , mit B3 = O_{x} [/mm].
Wenn [mm] $B_3=O_x$ [/mm] eine beliebige Menge aus $B$ mit [mm] $x\in B_3$ [/mm] sein soll, stimmt [mm] $O_{x} \cap [/mm] A = [mm] \emptyset$ [/mm] im Allgemeinen nicht.
Wenn du eine nichtleere Menge [mm] $O\in [/mm] B$ gefunden hättest mit [mm] $O\cap A=\emptyset$, [/mm] hättest du den gewünschten Widerspruch zur Annahme [mm] $O\cap A\neq\emptyset$ [/mm] für alle nichtleeren [mm] $O\in [/mm] B$.
> Also ist A dicht.
Folgerichtig.
Mit viel gutem Willen und Mühe lässt sich eine korrekte Beweisidee herauslesen.
Ich formuliere mal einen entsprechenden Beweis nach dieser Idee:
Gelte [mm] $A\cap O\neq\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $O\in [/mm] B$.
Zu zeigen ist, dass $A$ dicht in $X$ ist, d.h. dass [mm] $\overline{A}=X$ [/mm] gilt.
Angenommen [mm] $\overline{A}\neq [/mm] X$.
Zu zeigen ist ein Widerspruch.
Wegen [mm] $\overline{A}\neq [/mm] X$ existiert ein [mm] $x\in\overline{A}^c=:U$.
[/mm]
Da $B$ eine Basis ist, $U$ offen in $X$ ist und [mm] $x\in [/mm] U$ gilt, existiert ein [mm] $O\in [/mm] B$ mit [mm] $x\in O\subseteq [/mm] U$.
(Insbesondere ist $O$ nichtleer.)
Es folgt
[mm] $A\cap O\subseteq A\cap U=A\cap \overline{A}^c=\emptyset$
[/mm]
(wobei im letzten Schritt [mm] $A\subseteq\overline{A}$ [/mm] eingeht)
und somit [mm] $A\cap O=\emptyset$ [/mm] im Widerspruch zu [mm] $A\cap O\neq\emptyset$ [/mm] für alle nichtleeren [mm] $O\in [/mm] B$.
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> A dicht [mm]\gdw \overline{A} = X[/mm]
> führt mit : Annahme :
> [mm]\exists O : A \cap O = \emptyset , O \in B[/mm]
nichtleer
> ebenfalls auf
> einen Widerspruch.
Wie führt die Widerspruchsannahme zu einem Widerspruch?
Wegen [mm] $A\cap O=\emptyset$ [/mm] gilt [mm] $A\subseteq O^c$.
[/mm]
Da [mm] $O^c$ [/mm] abgeschlossen ist, gilt somit [mm] $\overline{A}\subseteq O^c$.
[/mm]
Also [mm] $X=\overline{A}\subseteq O^c\subseteq [/mm] X$ und damit [mm] $O^c=X$.
[/mm]
Es folgt [mm] $O=\emptyset$ [/mm] im Widerspruch zur Wahl von $O$ als nichtleer.
> Zur Frage ob dies auch gilt falls B Subbasis -
>
> Ich bin mir da nicht sicher, behaupte aber mal nein ohne es
> exakt begründen zu können.
Deine Vermutung stimmt.
> Könnt ihr mir da eventuell helfen?
Du musst ein Beispiel für $X$, $T$, $B$ und $A$ finden mit einer Subbasis $B$, so dass die Rück-Richtung bei diesem Beispiel nicht gilt.
Ich habe dazu zunächst nach einem möglichst einfachen Beispiel einer Subbasis $B$, die keine Basis ist, gesucht und bin auf
[mm] $X=\{0,1,2\}$,
[/mm]
[mm] $T=\{\emptyset,\{0\},\{0,1\},\{0,2\}\}$ [/mm] und
[mm] $B=\{\{0,1\},\{0,2\}\}$
[/mm]
gestoßen.
Zeige nun, dass
[mm] $A:=\{1,2\}$
[/mm]
ein geeignetes Beispiel liefert.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 So 19.10.2014 | | Autor: | Peter_123 |
Hallo,
Vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort.
Lg Peter_123
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