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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass |1+z|²+|1-z|² für alle [mm] z\in\IC [/mm] mit |z|=1 denselben Wert annimmt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich sehe nicht wie ich diese Aufgabe angehen kann und die Suchfunktion hier im Forum hat mir dabei auch nicht geholfen. Ich weiß über Komplexe zahlen eigentlich bescheid und habe mir auch nochmal die Rechenregeln in einem Mathe-Buch angesehen. Würde mich freuen wenn mir dazu jemand einen Ansatz oder gerne auch den vollständigen Rechenweg geben könnte. Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo froopkind,
setze doch einfach in deinen Ausdruck für eine komplexe Zahl z gleich [mm] x + iy [/mm] ein und berechne den Ausdruck. Hierbei kürzt sich ein linearer Term raus und es bleibt neben einer Konstanten ein Term [mm] x^2 + y^2 [/mm] stehen, der ja extrem an einem Kreis erinnert. Hat dieser den konstanten Radius 1, so bleibt wirklich nur noch eine Konstante übrig.
Einfach mal loslegen, ein Vierzeiler ist es schon.
Viele Grüße,
Infinit
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Danke für den Hinweis, Infinit.
Ich habe das jetzt ausprobiert, komme aber wieder nicht weiter. Was ich gemacht habe:
[mm] |1+z|²+|1-z|²=|1+x+iy|²+|1-x+iy|²=\wurzel{(1+x)²+(iy)²}+\wurzel{(1-x)²+(iy)²}=\wurzel{1+2x+x²-y²}+\wurzel{1-2x+x²-y²} [/mm] mit z=x+iy
Aber wie gehts jetzt weiter? Oder war das der falsche Weg?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo froopkind,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wende beim Einsetzen die Definition des Betrages für komplexe Zahlen an mit $|a+i*b| \ = \ [mm] \wurzel{a^2+b^2}$ [/mm] .
Daraus folgt auch: [mm] $|a+i*b|^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2+b^2$ [/mm] .
[mm] $$|1+z|^2+|1-z|^2 [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] |(x+1)+i*y|^2+|(1-x)-y*i|^2 [/mm] \ = \ [mm] (x+1)^2+y^2+(1-x)^2+(-y)^2 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Danke für den Tipp, aber jeder Tipp von euch scheint mich auf neue Fragen zu stoßen...
Jetzt habe ich:
|(1+x)+jy|²+|(1-x)-jy|²=(1+x)²+j²+y²+(1-x)²-j²-y²=1+2x+x²+(-1)y²+1-2x+x²-(-1)y²=2+2x²
Womit Ich die Behauptung ja gerade NICHT gezeigt hätte... Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo froopkind!
Nach Anwendung der Betragsdefinition darf kein [mm] $\math{i}$ [/mm] mehr auftreten (bitte meinen obigen Post genau(er) lesen).
Nach dem Zusammenfassen solltest Du [mm] $2+x^2+y^2$ [/mm] erhalten.
Und nun überlege mal, wie man [mm] $x^2+y^2$ [/mm] mit der Vorgaben $|z| \ = \ |x+i*y| \ = \ 1$ vereinfachen kann.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Fr 28.12.2007 | | Autor: | froopkind |
Danke euch Beiden! Jetzt hat es geklappt. Sollte echt mal genauer lesen. Aber diese Komplexen Zahlen sind mir immer noch etwas fremd....
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