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| Aufgabe | | Sei (X,d) ein metrischer Raum und x,y,z [mm] \in [/mm] X. Zeigen Sie die Ungleichung |d(x,y) - d(y,z)| [mm] \le [/mm] d(x,z) |
Wie kann man, dass beweisen?
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 So 13.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
In jedem metrischen Raum gilt die Dreiecksungleichung [mm] d(x,y)\le [/mm] d(x,z)+d(z,y).
Bei deiner Ungleichung kann man ja zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: [mm] |d(x,y)-d(y,z)|=d(x,y)-d(y,z)\le [/mm] d(x,z) ist genau die Dreiecksungleichung, da d(x,z)=d(z,x).
Fall 2: [mm] |d(x,y)-d(y,z)|=-d(x,y)+d(y,z)\le [/mm] d(x,z), oder [mm] d(y,z)\le [/mm] d(x,y)+d(x,z)=d(y,x)+d(x,z) ist die gleich Dreiecksungleichung, nur mit anderen Buchstaben.
Gruß,
dormant
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