Zeilen/Spaltenumformung Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 So 23.06.2013 | | Autor: | diedebbs |
| Aufgabe | Es sei die Symmetrische Matrix
A = 1 -1 1 2
-1 2 1 0
1 1 1 1
2 0 1 0
gegeben. Bestimmen Sie eine Matrix S [mm] \in GL(4,\IR), [/mm] sodass S(transponiert)AS eine Diagonalmatrix mit den Einträgen O, 1 oder -1 auf der Diagonalen ist. |
Hallo zusammen!
Zunächst einmal:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt:
Ich sitze grade an dieser Aufgabe und verzweifel seit einigen Stunden.
Ich weiß, dass ich diese Aufgabe wohl lösen kann, indem ich simultane Zeilen- und Spaltenumformungen mit Elementarmatrizen vornehme. Allerdings besteht genau da mein Problem.
Normalerweise würde man ja wie folgt vorgehen:
1. Schritt: Bestimme Elementarmatrix C1 so, dass
C1(transponiert) * A * C = 1 0 0 0
0 X X X
0 X X X
0 X X X
Meine Frage ist aber hierbei: Wie wähle ich C1? Und vor allem, weshalb? ;)
Wäre super lieb, wenn sich jemand meinem Problem annehmen könnte.
Besten Dank schonmal im Vorraus
diedebbs
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Hallo,
> Es sei die Symmetrische Matrix
> A = 1 -1 1 2
> -1 2 1 0
> 1 1 1 1
> 2 0 1 0
> gegeben. Bestimmen Sie eine Matrix S [mm]\in GL(4,\IR),[/mm] sodass
> S(transponiert)AS eine Diagonalmatrix mit den Einträgen O,
> 1 oder -1 auf der Diagonalen ist.
> Ich weiß, dass ich diese Aufgabe wohl lösen kann, indem
> ich simultane Zeilen- und Spaltenumformungen mit
> Elementarmatrizen vornehme. Allerdings besteht genau da
> mein Problem.
> Normalerweise würde man ja wie folgt vorgehen:
>
> 1. Schritt: Bestimme Elementarmatrix C1 so, dass
>
>
> C1(transponiert) * A * C = 1 0 0 0
> 0 X X X
> 0 X X X
> 0 X X X
>
> Meine Frage ist aber hierbei: Wie wähle ich C1? Und vor
> allem, weshalb? ;)
Die C sind Elementarmatrizen. D.h. wenn man sie an eine Matrix dranmultipliziert, entspricht das irgendwelchen Spalten/Zeilenumformungen. Du musst also jeweils überlegen, wie du deine Ausgangsmatrix $A$ mit elementaren Zeilenumformungen umformen würdest, um zu einer Matrix zu gelangen, bei welcher nur noch 0,1,-1 auf der Diagonalen steht.
Aber Achtung: Für die Durchführung darfst du nicht nur Zeilenumformungen durchführen. Immer wenn du eine Zeilenumformung durchgeführt hast, musst du auch die entsprechende Spaltenumformung durchführen. (Wenn du z.B. 1. Zeile auf 2. Zeile addierst hast, musst du dann auch 1. Spalte auf 2. Spalte addieren).
Fangen wir mal an:
A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2\\
-1 & 2 & 1 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1\\
2 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Als erstes würde ich
1*Zeile1 + Zeile2 -> Zeile2
(-1)*Zeile1 + Zeile3 -> Zeile3
(-2)*Zeile1 + Zeile4 -> Zeile4
rechnen. Dann erhalten wir:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 2 & 0 & -1\\
0 & 2 & -1 & -4
\end{pmatrix}
[/mm]
Wenn wir nun noch die äquivalenten Spaltenumformungen durchführen, erhalten wir:
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 2 & 0 & -1\\
0 & 2 & -1 & -4
\end{pmatrix}.
[/mm]
(Achtung: Normalerweise müsste man nach JEDER elementaren Zeilenumformung SOFORT die dazugehörige Spaltenumformung durchführen. Wir haben aber gerade erst 3 Zeilenumformungen gemacht und danach die 3 zugehörigen Spaltenumformungen. Das geht nur deswegen gut, weil sich bei dieser speziellen Art des Vorgehens die einzelnen Berechnungen nicht in die Quere kommen).
Die geraden gemachten Umformungen merken wir uns in der Elementarmatrix
[mm] $S_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & -2\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
[/mm]
(Grundgerüst ist eine Einheitsmatrix, die Zahlen 1,-1,-2 kommen von den Umformungen).
Nun gilt: [mm] $A_1 [/mm] = [mm] S_1^t [/mm] * A * [mm] S_1$
[/mm]
Rechne es am besten mal nach.
Kannst du nun den zweiten Schritt durchführen? Also die Zahlen [mm] \not= [/mm] 0 in der zweiten Spalte / Zeile von [mm] A_1 [/mm] wegmachen.
Viele Grüße,
Stefan
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