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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Di 23.08.2011 | | Autor: | GK13 |
Hey!
Ich beschäftige mich gerade mit der Herleitung der Zeilensummennorm, und habe folgendes Verständnisproblem:
Wie nehmen an, i sei die Spalte, in der das Maximum angeonmmen wird.
[mm] \summe_{k=1}^{n}|a_{ik}| [/mm] = [mm] max_{1 \le j \le m} \summe_{k=1}^{n}|a_{jk}|
[/mm]
Nun verstehe ich nicht, warum das gleich ist.
Vielleicht verstehe ich "max" auch nicht ganz richtig.
Wenn ich es nämlich an einem Bsp ausprobiere:
A = [mm] \pmat{ 3 & 4 \\ 3 & 1 }
[/mm]
dann ist: [mm] \summe_{k=1}^{n}|a_{ik}| [/mm] = 4+1 = 5
und [mm] max_{1 \le j \le m} \summe_{k=1}^{n}|a_{jk}| [/mm] = max {3+3, 4+1} = 3+3 = 6
Und das ist ja nun nicht gleich. Oder was mache ich falsch??
Es kommt noch ein weiteres Problem etwas später bei unserer Herleitung,
hier steht:
x = [mm] \vektor{sgn(a_{ik}) \\ \vdots \\ sgn(a_{in})}
[/mm]
1) [mm] a_{ik} [/mm] * [mm] sgn(a_{ik}) [/mm] = [mm] |a_{ik}|
[/mm]
und 2) [mm] a_{jk} [/mm] * [mm] sgn(a_{ik}) \le |a_{jk}|
[/mm]
[mm] sgn(a_{ik}) [/mm] kann ja nun ein beliebiges Vorzeichen sein.
1) ist also alle Zeilen der Max-Spalte i MAL ein irgendein bel. Vorzeichen. und das soll dann gleich dem Betrag von dem jew. Eintrag in derselben Spalte sein.
2) ist im Prinzip gleich, jedoch wird hier nicht die bestimmte Max-Spalte gewählt, sondern irgendeine. Daher kommt dann das [mm] \le [/mm] .
Warum "=" oder [mm] "\le" [/mm] verstehe ich jedoch in beiden Fällen nicht!
Kann mir jemand vielleicht einen Denkanstoß geben? Habe das Gefühl, es ist ganz einfach, aber ich komme dennoch nicht drauf!
'Wäre super,
lg
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Hey ho, hier gehts ja ein bisschen durcheinander.
> Hey!
>
> Ich beschäftige mich gerade mit der Herleitung der
> Zeilensummennorm, und habe folgendes Verständnisproblem:
> Wie nehmen an, i sei die Spalte, in der das Maximum
> angeonmmen wird.
Wieso denn nun auf einmal die Spalte. Es geht doch um die Zeilensummennorm, da ist die Zeile interessant, in der das Maximum angenommen wird.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}|a_{ik}|[/mm] = [mm]max_{1 \le j \le m} \summe_{k=1}^{n}|a_{jk}|[/mm]
>
> Nun verstehe ich nicht, warum das gleich ist.
> Vielleicht verstehe ich "max" auch nicht ganz richtig.
Genau das was oben geschrieben steht, nimmt man an, dass das die maximale Zeilensumme in der i-ten Zeile angenommen wird. also
[mm] $\max\limits_{j=1,\hdots,m}\sum\limits_{k=1}^{n} |a_{j,k}|$
[/mm]
> Wenn ich es nämlich an einem Bsp ausprobiere:
>
> A = [mm]\pmat{ 3 & 4 \\ 3 & 1 }[/mm]
>
> dann ist: [mm]\summe_{k=1}^{n}|a_{ik}|[/mm] = 4+1 = 5
> und [mm]max_{1 \le j \le m} \summe_{k=1}^{n}|a_{jk}|[/mm] = max
> {3+3, 4+1} = 3+3 = 6
>
> Und das ist ja nun nicht gleich. Oder was mache ich
> falsch??
>
Hier hast du die Spaltensummen ausgerechnet, nicht die Zeilensummen.
> Es kommt noch ein weiteres Problem etwas später bei
> unserer Herleitung,
> hier steht:
>
> x = [mm]\vektor{sgn(a_{ik}) \\ \vdots \\ sgn(a_{in})}[/mm]
>
> 1) [mm]a_{ik}[/mm] * [mm]sgn(a_{ik})[/mm] = [mm]|a_{ik}|[/mm]
> und 2) [mm]a_{jk}[/mm] * [mm]sgn(a_{ik}) \le |a_{jk}|[/mm]
>
> [mm]sgn(a_{ik})[/mm] kann ja nun ein beliebiges Vorzeichen sein.
> 1) ist also alle Zeilen der Max-Spalte i MAL ein irgendein
> bel. Vorzeichen. und das soll dann gleich dem Betrag von
> dem jew. Eintrag in derselben Spalte sein.
> 2) ist im Prinzip gleich, jedoch wird hier nicht die
> bestimmte Max-Spalte gewählt, sondern irgendeine. Daher
> kommt dann das [mm]\le[/mm] .
> Warum "=" oder [mm]"\le"[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
verstehe ich jedoch in beiden Fällen
> nicht!
>
Also bei der Herleitung der Zeilensummennorm wird ja gezeigt $||Ax||_{\infty}\leq \max\limits_{j=1,\hdots,m}\sum\limits_{k=1}^{n} |a_{jk}|\cdot ||x||_{\infty}$. Es folgt also $\sup\limits_{x\in \IR^{n}\not=0} \frac{ ||Ax||_{\infty}}{||x||_{\infty}} \leq \max\limits_{j=1,\hdots,m}\sum\limits_{k=1}^{n} |a_{jk}|$
Jetzt brauchen wir noch einen Vektor, für den gilt $\frac{ ||Ax||_{\infty}}{||x||_{\infty}} = \max\limits_{j=1,\hdots,m}\sum\limits_{k=1}^{n} |a_{jk}|$
Dann folgt $\sup\limits_{x\in \IR^{n}\not=0} \frac{ ||Ax||_{\infty}}{||x||_{\infty}} \geq \max\limits_{j=1,\hdots,m}\sum\limits_{k=1}^{n} |a_{jk}|$, also folgt Gleichheit.
Jetzt kommt die Annahme ins Spiel, das das Maximum in der i-ten Zeile angenommen wird. Dazu brauchen wir Punkt 1 und 2.
Ich mach dir mal 1 vor, 2) kannst du dir selbst überlegen.
Also $a_{ik}\cdot sign{a_{ik}=|a{ik}|$ ist zu zeigen. Falls $a_{ik}\geq 0$, so ist $\sign{a_{ik}=1$ und $|a_{ik}|=a_{ik}$. Also steht links wie rechts das selbe.
Ist $a_{ik}<0$, so ist $sign(a_{ik})=-1$, und $|a_{ik}|=-a_{ik}$. Für 2) braucht man noch die Ungleichung $a\leq |a|$ für alle $a\in \IR$.
> Kann mir jemand vielleicht einen Denkanstoß geben? Habe
> das Gefühl, es ist ganz einfach, aber ich komme dennoch
> nicht drauf!
>
> 'Wäre super,
>
> lg
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 23.08.2011 | | Autor: | GK13 |
Die Spalte, weil genau dem Skript stand. Deswegen hab ich auch gerechnet, wie ich gerechnet habe.. weil i ja scheinbar die Spalte sein soll.
Oder soll ich das jetzt als Fehler im Skript ansehen??
Und ich verstehe nicht,
wie $ [mm] |a_{ik}|=-a_{ik} [/mm] $ sein kann? Ist doch der Betrag, der ist doch immer positiv!
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Di 23.08.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
der ERSTE index gibt immer die Zeile an, also [mm] a_{ik} [/mm] steht in der i ten ZEILE
Was in deinem skript steht, mußt du wörtlich zitieren, wenn man sagen soll, ob da ein Fehler im skript ist oder darin, wie du es liest. in [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{ik} [/mm]
wird in der iten Zeile über alle Spalten summiert. also die Zeilensumme. der i ten Zeile
Gruss leduart
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