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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Mi 29.01.2014 | | Autor: | pojo |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe folgende Gleichung gegeben:
[mm] \int_{t_n}^{t_{n+1}} \frac{d\gamma}{dt} [/mm] dt = [mm] \int_{t_n}^{t_{n+1}} \frac{g}{2}(I_S [/mm] - [mm] I_E) [/mm] dt
Dabei sind [mm] t_n [/mm] und [mm] t_{n+1} [/mm] die zwei Zeitpunkte, g die Erdbeschleunigung und I sogenannte "Sohlgefälle". Einheit [m/m]. Die Gleichung soll vereinfacht werden, indem [mm] I_S [/mm] als konstant angenommen werden kann, während [mm] I_E [/mm] zu beiden Zeitpunkten unterschiedlich ist, also [mm] I_E^{n} [/mm] und [mm] I_E^{n+1}. [/mm] |
Die (angebliche) Lösung, umgestellt nach [mm] \gamma, [/mm] sieht nun so aus
[mm] \gamma^{n+1} [/mm] = [mm] \gamma_{n} [/mm] + [mm] \frac{\Delta t~g}{4}~(2 I_S [/mm] - [mm] I_E^{n+1} [/mm] - [mm] I_E^{n})
[/mm]
Ich verstehe nicht, wie ich darauf komme. Wenn ich integriere, müsste doch bei den [mm] I_E's [/mm] ein Quadrat auftauchen oder nicht?
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Hallo,
was für ein Bezeichnungs-WirrWarr.
> Hallo,
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> ich habe folgende Gleichung gegeben:
>
> [mm]\int_{t_n}^{t_{n+1}} \frac{d\gamma}{dt}[/mm] dt =
> [mm]\int_{t_n}^{t_{n+1}} \frac{g}{2}(I_S[/mm] - [mm]I_E)[/mm] dt
>
> Dabei sind [mm]t_n[/mm] und [mm]t_{n+1}[/mm] die zwei Zeitpunkte, g die
> Erdbeschleunigung und I sogenannte "Sohlgefälle". Einheit
> [m/m]. Die Gleichung soll vereinfacht werden, indem [mm]I_S[/mm] als
> konstant angenommen werden kann, während [mm]I_E[/mm] zu beiden
> Zeitpunkten unterschiedlich ist, also [mm]I_E^{n}[/mm] und
> [mm]I_E^{n+1}.[/mm]
>
> Die (angebliche) Lösung, umgestellt nach [mm]\gamma,[/mm] sieht nun
> so aus
>
> [mm]\gamma^{n+1}[/mm] = [mm]\gamma_{n}[/mm] + [mm]\frac{\Delta t~g}{4}~(2 I_S[/mm] -
> [mm]I_E^{n+1}[/mm] - [mm]I_E^{n})[/mm]
Das sollte wohl auf der linken Seite [mm] \gamma^n [/mm] bedeuten, oder?
>
> Ich verstehe nicht, wie ich darauf komme. Wenn ich
> integriere, müsste doch bei den [mm]I_E's[/mm] ein Quadrat
> auftauchen oder nicht?
Ich denke, dass [mm] I_E^{n+1} [/mm] und [mm] I_E^{n} [/mm] reine Bezeichnungen sind und das schon die INtegration darstellt. Also
[mm] \int_{t}^{t'}I_Edt=I_E^{t'}-I_E^t
[/mm]
Aber ich glaube von den Vorzeichen her stimmt es nicht.
Woher stammt die Lösung?
Beste Grüße.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mi 29.01.2014 | | Autor: | pojo |
Hallo Richie,
danke für die Antwort. Das [mm] \gamma^{n+1} [/mm] auf der linken Seite soll schon so sein, es wird der Gamma-Wert zum neuen Zeitschritt berechnet.
Dass es sich bei den I's bereits um Integrierte Größen handeln könnte ist ein guter Punkt, ich kann das gerade zwar nicht mit Sicherheit sagen, aber würde nun immer noch ein Vorzeichenfehler bestehen? Kannst du kurz deine Rechnung angeben?
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> Hallo Richie,
>
> danke für die Antwort. Das [mm]\gamma^{n+1}[/mm] auf der linken
> Seite soll schon so sein, es wird der Gamma-Wert zum neuen
> Zeitschritt berechnet.
Und warum dann so eine schwachsinnige Bezeichnung?
Warum dann nicht [mm] \gamma(t_{n+1}) [/mm] ?
>
> Dass es sich bei den I's bereits um Integrierte Größen
> handeln könnte ist ein guter Punkt, ich kann das gerade
> zwar nicht mit Sicherheit sagen, aber würde nun immer noch
> ein Vorzeichenfehler bestehen? Kannst du kurz deine
> Rechnung angeben?
>
Ich wähle mal eine andere Bezeichnung. [mm] t_{n+1}=:t' [/mm] und [mm] t_n=:t. [/mm] Außerdem benutze ich als Indizes kleine Buchstaben.
[mm] \int_{t}^{t'} \frac{d\gamma}{dt}dt=\int_{t}^{t'}\frac{g}{2}(I_s-I_e)dt
[/mm]
Integration links liefert:
[mm] \gamma(t')-\gamma(t)=\frac{g}{2}I_s\int_{t}^{t'}dt-\frac{g}{2}\int_{t}^{t'}I_edt
[/mm]
Mit [mm] \Delta{t}=t'-t [/mm] folgt:
[mm] \gamma(t')-\gamma(t)=\frac{g\Delta{}t}{2}I_s-\frac{g}{2}(I_e^{t'}(t')-I_e^{t}(t))
[/mm]
Dabei bezeichnet eben [mm] I_e^{t'}(t') [/mm] die Integration von [mm] I_e [/mm] an der Stelle t'.
Damit:
[mm] \gamma(t')=\gamma(t)+\frac{g\Delta{}t}{4}\left(2I_s-\frac{2}{\Delta t}(I_e^{t'}(t')-I_e^{t}(t))\right)
[/mm]
So jetzt geht die Fragestunde los!
1. Vorzeichen?
2. Bezeichnungen?
Wenn ich sage: [mm] I_E^{t'}:=\frac{2}{\Delta t}I_e^{t'}(t') [/mm] und [mm] I_E^{t}:=-\frac{2}{\Delta t}I_e^{t}(t) [/mm] dann kommt man genau auf dein Ergebnis.
Aber das sind mächtige Spekulationen!!!
Woher stammt die Lösung?
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