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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Jojo987 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Unbestimmten Integrale
[mm] \integral_{}^{}{\alpha(t) dt}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{cos(\alpha(t)) dt} [/mm] |
hallo zusammen,
Ich habe ein, für euch vielleicht banales problem. Und zwar versuche ich schon einige Zeit obenstehende Integrale zu lösen. Diese sind teil von Bewegungsgleichungen eines Pendel, daher zeitlich abhängig von dem winkel [mm] \alpha, [/mm] Winkelgeschwindigkeit [mm] \dot\alpha, [/mm] und Winkelbeschleunigung [mm] \dot\dot\alpha.
[/mm]
da [mm] \alpha [/mm] zunächst beliebige funktionen sein können kann man nicht schreiben
[mm] \integral_{}^{}{\alpha(t) dt}=\bruch{1}{2}\alpha^2+C
[/mm]
da bei der Differentiation
[mm] \bruch{d}{dt}(\bruch{1}{2}\alpha^2+C)=\alpha*\dot\alpha
[/mm]
herauskommt.
Ich habe die Vermutung das man das irgendwie mit Integration durch substitution lösen muss nur verstehe ich nicht so ganz wie man hier das g(x) bzw g'(x) wählen muss.
Hat jemand einen Denkanstoß?
Danke schonmal
grüße jojo
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Hallo,
das kann so gar nicht gehen: je nach Funktion wird die Stammfunktion völlig anders aussehen, wenn sie überhaupt geschlossen darstellbar ist (was ja im Prinzip die Ausnahme ist und nicht die Regel!). Das gilt für beide Funktionen.
Geht es dir zufällig um die Lösung der DGL einer harmonischen Schwingung? Falls ja, diese kann man nicht direkt durch Integration lösen, sondern entweder über einen geeigneten Lösungsansatz oder über die charakteristiosche Gleichung (es handelt sich ja um eine DGL mit konstanten Koeffizienten).
Vielleicht hilft dir das ja doch ein Stück weiter.
GRuß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Jojo987 |
Hallo und danke schonmal für die schnelle Antwort.
Naja die ganze Problematik gehört wohl in einen anderen Ordner aber ich schildere doch der vollständigkeithalber worum es geht.
Gegeben ist ein Pendel mit einer Stabachse die im Aufhängepunkt durch eine Torsionsfeder gekoppelt ist.
Gesucht ist die Winkelgeschwindigkeit [mm] \dot\alpha=\dot\alpha(\alpha)
[/mm]
Mittels Energiesatz kommt man schnell auf die gesuchte Größe. Der Übungshalber bin ich mit dem Drallsatz drauf los und habe eine Bewegungsgleichung erhalten:
[mm] \dot\dot\alpha*(i_{s}m+l^{2})=c_{T}(\alpha-\alpha_{0})+mgsin\alpha [/mm] (kann man den alpha zwei punkt auch irgendwie richtig darstellen?)
Durch Unbestimmte integration wollte ich nun [mm] \dot\alpha(\alpha) [/mm] erhalten und die Konstante mit den Anfangsbedingungen bestimmen.
Was doch auffällig ist das die Lösung mittels Energiesatz dieser Bewegungsgleichung schon ziemlich ähnelt. Aber hier muss man nun wohl die DGL Lösen und dann wieder nach der zeit differentieren, richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Do 08.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo und danke schonmal für die schnelle Antwort.
>
> Naja die ganze Problematik gehört wohl in einen anderen
> Ordner aber ich schildere doch der vollständigkeithalber
> worum es geht.
>
> Gegeben ist ein Pendel mit einer Stabachse die im
> Aufhängepunkt durch eine Torsionsfeder gekoppelt ist.
>
> Gesucht ist die Winkelgeschwindigkeit
> [mm]\dot\alpha=\dot\alpha(\alpha)[/mm]
>
> Mittels Energiesatz kommt man schnell auf die gesuchte
> Größe. Der Übungshalber bin ich mit dem Drallsatz drauf
> los und habe eine Bewegungsgleichung erhalten:
>
> [mm]\dot\dot\alpha*(i_{s}m+l^{2})=c_{T}(\alpha-\alpha_{0})+mgsin\alpha[/mm]
> (kann man den alpha zwei punkt auch
> irgendwie richtig darstellen?)
Ja: \ddot{\alpha}: [mm] $\ddot{\alpha}$.
[/mm]
>
> Durch Unbestimmte integration wollte ich nun
> [mm]\dot\alpha(\alpha)[/mm] erhalten und die Konstante mit den
> Anfangsbedingungen bestimmen.
> Was doch auffällig ist das die Lösung mittels
> Energiesatz dieser Bewegungsgleichung schon ziemlich
> ähnelt.
Das ist kein Wunder, das gilt für alle konservativen Kräfte, also solche, für die man ein Potential angeben kann. Multipliziere die Bewegungsgleichung mit [mm] $\dot \alpha$ [/mm] und integriere einmal, dann steht links die kinetische Energie und rechts das Potential mal -1.
> Aber hier muss man nun wohl die DGL Lösen und
> dann wieder nach der zeit differentieren, richtig?
Ja. Allerdings sieht mir das nach einem elliptischen Integral aus, wie beim einfachen Pendel ohne Kleinwinkelnäherung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Do 08.03.2012 | | Autor: | Jojo987 |
Ok danke,
Wie löst man denn so eine DGL mit dem sinus?
[mm] \ddot{\alpha}+\alpha*\bruch{c_{T}}{(i_{s}+l^{2})}+sin\alpha*\bruch{mg}{(i_{s}+l^{2})}=\bruch{c_{T}*\alpha_{0}}{(i_{s}+l^{2})}
[/mm]
also kurz:
[mm] \ddot{\alpha}+k_{1}*\alpha+k_2*sin\alpha=C
[/mm]
mit dem Ansatz [mm] e^{\lambda*x} [/mm] kommt man auf keine charakteristische Gleichung. Gibt es für solche Probleme andere Lösungsansätze?
grüße Jojo
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Hallo Jojo987,
> Ok danke,
>
>
> Wie löst man denn so eine DGL mit dem sinus?
>
> [mm]\ddot{\alpha}+\alpha*\bruch{c_{T}}{(i_{s}+l^{2})}+sin\alpha*\bruch{mg}{(i_{s}+l^{2})}=\bruch{c_{T}*\alpha_{0}}{(i_{s}+l^{2})}[/mm]
>
> also kurz:
>
> [mm]\ddot{\alpha}+k_{1}*\alpha+k_2*sin\alpha=C[/mm]
>
> mit dem Ansatz [mm]e^{\lambda*x}[/mm] kommt man auf keine
> charakteristische Gleichung. Gibt es für solche Probleme
> andere Lösungsansätze?
>
Diese DGL kannst Du nur näherungsweise lösen.
Dazu linearisiere den nichtlinearen Teil, hier: [mm]k_{2}*\sin\left(\alpha\right)[/mm]
> grüße Jojo
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Do 08.03.2012 | | Autor: | Jojo987 |
Habe gerade eine ähnliche Aufgabe gesehen und die dadurch erwonnen Erkenntnisse in dieser Aufgabe verarbeitet und siehe da....es klappt.
Da es ja eher ein physikalisches Problem ist kann man dort mit der zeitfreien Integration ansetzen:
[mm] \dot\alpha*d\dot\alpha=\ddot{\alpha}*d\alpha
[/mm]
und die Bewegungsgleichung umstellen (da hatten sich auch kleine fehler eingeschlichen, die sind jetzt korrigiert)
[mm] \ddot{\alpha}m(i_{s}^{2}+l^{2})=-c_{T}(\alpha-\alpha_{0})-mglsin\alpha
[/mm]
da die Bewegungsgleichung ja auch noch gelten muss wenn man die Gleichung von der Zeitfreien Integration hinzumultipliziert fällt der [mm] \ddot{\alpha} [/mm] hinaus und die gesuchte Winkelgeschwindigkeit [mm] \dot\alpha [/mm] erscheint. Zwar gilt dies dann nur wenn das System beschleunigt ist aber das reicht für meine Anwendung.
Durch die Anfangsbedingungen lässt sich die Integrationskonstante bestimmen und siehe da...Das gleiche Ergebnis wie mit dem Energiesatz steht auf dem Blatt :)
Danke euch trotzdem für eure mühe
grüße Jojo
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