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Gegeben ein AR(1) Prozess
[mm] y_{t}-\mu= \phi(Y_{t-1}-\mu)+\epsilon_{t}, \epsilon_{t} \sim WN(0,\sigma^{2})
[/mm]
[mm] E(y_{t})= \mu
[/mm]
[mm] \gamma(0) [/mm] = [mm] Var(y_{t})= \sigma^{2}/1-\phi^{2}
[/mm]
Erwartungswert und Varianz heraus zu finden machen mir keine Probleme.
Wie finde ich aber [mm] \gamma(h)=Cov(y_{t},y_{t-h}) [/mm] ?
Lösung: [mm] \gamma(h)= \sigma^{2}\phi^{|h|}/1-\phi^{2}.
[/mm]
Eine andere Aufgabe lautet:
Ein ARMA(1,1) Prozess sei gegeben.
[mm] y_{t}=\phi y_{t-1} [/mm] + [mm] \epsilon_{t} [/mm] - [mm] \theta \epsilon_{t-1}
[/mm]
Gesucht: [mm] \gamma(k) [/mm] us [mm] \rho(k)
[/mm]
Schaffe es einfach nicht diese 2 Aufgaben zu lösen. Bitte helft mir.
Mir bereitet das Herleiten der
Autokovarianzfunktionen schwierikeiten. Sowohl bei AR(1), AR(2)... oder MA(1)... ARMA usw. Kann mir jemand helfen? Weiss jemand wo das gut erklärt wird? Internet? Bücher? Wir benützen Rupperts "Statistics and Finance". Bringt mich leider nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Do 03.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Gegeben ein AR(1) Prozess
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> [mm]y_{t}-\mu= \phi(Y_{t-1}-\mu)+\epsilon_{t}, \epsilon_{t} \sim WN(0,\sigma^{2})[/mm]
>
> [mm]E(y_{t})= \mu[/mm]
> [mm]\gamma(0)[/mm] = [mm]Var(y_{t})= \sigma^{2}/(1-\phi^{2})[/mm]
>
> Erwartungswert und Varianz heraus zu finden machen mir
> keine Probleme.
> Wie finde ich aber [mm]\gamma(h)=Cov(y_{t},y_{t-h})[/mm] ?
[mm] $y_{t}-\mu= \phi(y_{t-1}-\mu)+\epsilon_{t}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y_{t}-\mu= \phi^2(y_{t-2}-\mu)+\phi\epsilon_{t-1} +\epsilon_{t}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y_{t}-\mu= \phi^h(y_{t-h}-\mu)+\sum_{k=0}^{h-1}\phi^k\epsilon_{t-k}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow Cov(y_{t},y_{t-h}) [/mm] = [mm] Cov(y_{t}-\mu,y_{t-h}-\mu) [/mm] = [mm] Cov(\phi^h(y_{t-h}-\mu)+\sum_{k=0}^ {h-1}\phi^k\epsilon_{t-k},y_{t-h}-\mu) =\phi^h\gamma(0)$
[/mm]
weil die [mm] $\epsilon_{t-k}$ [/mm] unabhängig von [mm] $y_{t-h}$ [/mm] sind.
Die Rechnung ist für h>0, für negative h analog und da kommen die Betragsstriche im Exponenten her.
>
> Lösung: [mm]\gamma(h)= \sigma^{2}\phi^{|h|}/(1-\phi^{2}).[/mm]
>
> Eine andere Aufgabe lautet:
>
> Ein ARMA(1,1) Prozess sei gegeben.
>
> [mm]y_{t}=\phi y_{t-1}[/mm] + [mm]\epsilon_{t}[/mm] - [mm]\theta \epsilon_{t-1}[/mm]
>
> Gesucht: [mm]\gamma(k)[/mm] us [mm]\rho(k)[/mm]
aus? und?
Hab die Aufgabe nicht gerechnet, aber im Zweifelsfall wird es ein ähnliches Indexgeschiebe wie oben.
> Mir bereitet das Herleiten der
> Autokovarianzfunktionen schwierikeiten. Sowohl bei AR(1),
> AR(2)... oder MA(1)... ARMA usw. Kann mir jemand helfen?
> Weiss jemand wo das gut erklärt wird? Internet? Bücher? Wir
Einführung in die Zeitreihenanalyse von Jens-Peter Kreiß und Georg Neuhaus, von Springer.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Do 03.01.2008 | | Autor: | gandhito |
> > Gegeben ein AR(1) Prozess
> >
> > [mm]y_{t}-\mu= \phi(Y_{t-1}-\mu)+\epsilon_{t}, \epsilon_{t} \sim WN(0,\sigma^{2})[/mm]
>
> >
> > [mm]E(y_{t})= \mu[/mm]
> > [mm]\gamma(0)[/mm] = [mm]Var(y_{t})= \sigma^{2}/(1-\phi^{2})[/mm]
>
> >
> > Erwartungswert und Varianz heraus zu finden machen mir
> > keine Probleme.
> > Wie finde ich aber [mm]\gamma(h)=Cov(y_{t},y_{t-h})[/mm] ?
>
> [mm]y_{t}-\mu= \phi(y_{t-1}-\mu)+\epsilon_{t}[/mm]
> [mm]\Rightarrow y_{t}-\mu= \phi^2(y_{t-2}-\mu)+\phi\epsilon_{t-1} +\epsilon_{t}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y_{t}-\mu= \phi^h(y_{t-h}-\mu)+\sum_{k=0}^{h-1}\phi^k\epsilon_{t-k}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow Cov(y_{t},y_{t-h}) = Cov(y_{t}-\mu,y_{t-h}-\mu) = Cov(\phi^h(y_{t-h}-\mu)+\sum_{k=0}^ {h-1}\phi^k\epsilon_{t-k},y_{t-h}-\mu) =\phi^h\gamma(0)[/mm]
>
> weil die [mm]\epsilon_{t-k}[/mm] unabhängig von [mm]y_{t-h}[/mm] sind.
Kann man in diesem Fall die [mm] \epsilon [/mm] einfach rausstreichen? Und ist cov(a x, x)= a Var(x)
> Die Rechnung ist für h>0, für negative h analog und da
> kommen die Betragsstriche im Exponenten her.
>
> >
> > Lösung: [mm]\gamma(h)= \sigma^{2}\phi^{|h|}/(1-\phi^{2}).[/mm]
> >
> > Eine andere Aufgabe lautet:
> >
> > Ein ARMA(1,1) Prozess sei gegeben.
> >
> > [mm]y_{t}=\phi y_{t-1}[/mm] + [mm]\epsilon_{t}[/mm] - [mm]\phi \epsilon_{t-1}[/mm]
>
> >
> > Gesucht: [mm]\gamma(k)[/mm] und [mm]\rho(k)[/mm]
>
>
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> Hab die Aufgabe nicht gerechnet, aber im Zweifelsfall wird
> es ein ähnliches Indexgeschiebe wie oben.
>
> > Mir bereitet das Herleiten der
> > Autokovarianzfunktionen schwierikeiten. Sowohl bei AR(1),
> > AR(2)... oder MA(1)... ARMA usw. Kann mir jemand helfen?
> > Weiss jemand wo das gut erklärt wird? Internet? Bücher? Wir
>
> Einführung in die Zeitreihenanalyse von Jens-Peter Kreiß
> und Georg Neuhaus, von Springer.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Do 03.01.2008 | | Autor: | Blech |
> > [mm]y_{t}-\mu= \phi(y_{t-1}-\mu)+\epsilon_{t}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow y_{t}-\mu= \phi^2(y_{t-2}-\mu)+\phi\epsilon_{t-1} +\epsilon_{t}[/mm]
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> > [mm]\Rightarrow y_{t}-\mu= \phi^h(y_{t-h}-\mu)+\sum_{k=0}^{h-1}\phi^k\epsilon_{t-k}[/mm]
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> >
> > [mm]\Rightarrow Cov(y_{t},y_{t-h}) = Cov(y_{t}-\mu,y_{t-h}-\mu) = Cov(\phi^h(y_{t-h}-\mu)+\sum_{k=0}^ {h-1}\phi^k\epsilon_{t-k},y_{t-h}-\mu) =\phi^h\gamma(0)[/mm]
>
> >
> > weil die [mm]\epsilon_{t-k}[/mm] unabhängig von [mm]y_{t-h}[/mm] sind.
> Kann man in diesem Fall die [mm]\epsilon[/mm] einfach rausstreichen?
[mm] $Cov(\phi^h(y_{t-h}-\mu)+\sum_{k=0}^ {h-1}\phi^k\epsilon_{t-k},y_{t-h}-\mu)=E((\phi^h(y_{t-h}-\mu)+\sum_{k=0}^ {h-1}\phi^k\epsilon_{t-k})(y_{t-h}-\mu))=$
[/mm]
[mm] $=E((\phi^h(y_{t-h}-\mu))(y_{t-h}-\mu))+\sum_{k=0}^ {h-1}\phi^k\underbrace{E(\epsilon_{t-k}(y_{t-h}-\mu))}_{=E(\epsilon_{t-k})E(y_{t-h}-\mu)\ \text{wg. Unabh.}}$
[/mm]
> Und ist cov(a x, x)= a Var(x)
Das, sowie der erste Schritt [mm] ($Cov(y_{t},y_{t-h}) [/mm] = [mm] Cov(y_{t}-\mu,y_{t-h}-\mu)$) [/mm] folgt direkt aus der Definition der Kovarianz ( $Cov(X,Y)=E(X-E(X))(Y-E(Y))$ ). Einfach einsetzen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:53 Fr 11.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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