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Forum "stochastische Prozesse" - Zentrale Grenzwertsatz
Zentrale Grenzwertsatz < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zentrale Grenzwertsatz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Do 31.01.2008
Autor: barsch

Aufgabe
Es existiere eine Eigenschaft, die 0,2% der Bevölkerung haben.
Wir nehmen eine Stichprobe n=1000 und wollen wissen, mit welcher Wkt. mindestens 2  und höchstens 4 Menschen mit dieser Eigenschaft unter der Stichprobe sind.

Hi,

mein Ansatz ist der folgende:

[mm] \IP(2\le{X}\le{4}) [/mm]

Standardisieren: [mm] n\cdot{}p=1000*0,002=2,\sigma=\wurzel{n*p*q}=\wurzel{1,996} [/mm]

Also:

[mm] \IP(\bruch{2-2}{\wurzel{1,996}}\le{X}\le\bruch{4-2}{\wurzel{1,996}})=\Phi(\bruch{2}{\wurzel{1,996}})-\Phi(0)\approx\Phi(1,4156)-\Phi(0) [/mm]

Aus Tabelle:

[mm] \Phi(1,4156)-\Phi(0)=0,92073-0,5=0,42073 [/mm]

Also zu 42,07% befinden sich mindestens 2 und höchstens 4 Menschen mit dieser Eigenschaft unter dieser Stichprobe?!

MfG barsch



        
Bezug
Zentrale Grenzwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Do 31.01.2008
Autor: Walde

Hi barsch,

vom Prinzip her zwar richtig, doch ist eine Nährung der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung nur gut, falls n*p*q>9.

Und das ist hier ja nicht der Fall. Daher empfehle ich die W'keit einfach mit der Formel für die Binomialverteilung per Hand auszurechnen. Da du nur
P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) addieren musst, hält sich der Aufwand in Grenzen.Ich erhalte hierfür eine W'keit von ca. 0,5417. Man sieht, daß die Nährung durch die Normalverteilung zu wünschen übrig lässt.

Lg walde

Bezug
        
Bezug
Zentrale Grenzwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Do 31.01.2008
Autor: luis52

Moin barsch,

zwei weitere Ueberlegungen:

1) Du koenntest deine Rechnung modifizieren, indem du eine
Stetigkeitskorrektur beruecksichtigst. Diese waere dann


$ [mm] \Phi(\bruch{4+0.5-2}{\wurzel{1,996}})-\Phi(\bruch{2-0.5-2}{\wurzel{1,996}})=0.59989$ [/mm] ,

was auch nicht sehr gut ist.

2) Da hier n verhaeltnismaessig gross und p verhaeltnismaessig klein ist,
kann man auch die Approximation durch eine Poisson-Verteilung mit
[mm] $\lambda=np=2$ [/mm] erwaegen. Dann erhalte ich  0.5413, durchaus brauchbar.


vg Luis



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