Zentraler Differenzenquotient < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Do 13.12.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Habe nur eine Verständnisfrage zum zentralen Differenzenquotienten: |
Mit der Taylorreihen-Entwicklung gilt ja:
[mm] u(x\pm h)=u(x)\pm h\cdot u'(x)+\frac{h^2}{2}\cdot u''(x)\pm \frac{h^3}{6}u'''(x)+\frac{h^4}{24}u^{(4)}(\xi) [/mm]
Bricht man hier nach $ u'(x) $ ab und subtrahiert beide Gleichungen, erhält man mit
$ [mm] u(x+h)-u(x-h)\approx [/mm] 2h*u'(x) [mm] \qquad \gdw \qquad u'(x)\approx\bruch{u(x+h)-u(x-h)}{2h}$
[/mm]
den zentralen Differenzenquotienten für die erste Ableitung.
Bricht man nach $ u''(x) $ ab und addiert beide Gleichungen, erhält man mit
$ [mm] u(x+h)+u(x-h)\approx 2*u(x)+h^2*u''(x) \qquad \gdw \qquad u''(x)\approx\bruch{u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^2} [/mm] $
den zentralen Differenzenquotienten für die zweite Ableitung.
Meine Frage beschränkt sich jetzt eigentlich darauf, warum man einmal subtrahiert und einmal addiert.
Danke und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Do 13.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Habe nur eine Verständnisfrage zum zentralen
> Differenzenquotienten:
> Mit der Taylorreihen-Entwicklung gilt ja:
>
> [mm]u(x\pm h)=u(x)\pm h\cdot u'(x)+\frac{h^2}{2}\cdot u''(x)\pm \frac{h^3}{6}u'''(x)+\frac{h^4}{24}u^{(4)}(\xi)[/mm]
>
> Bricht man hier nach [mm]u'(x)[/mm] ab und subtrahiert beide
> Gleichungen, erhält man mit
>
> [mm]u(x+h)-u(x-h)\approx 2h*u'(x) \qquad \gdw \qquad u'(x)\approx\bruch{u(x+h)-u(x-h)}{2h}[/mm]
>
> den zentralen Differenzenquotienten für die erste
> Ableitung.
>
> Bricht man nach [mm]u''(x)[/mm] ab und addiert beide Gleichungen,
> erhält man mit
>
> [mm]u(x+h)+u(x-h)\approx 2*u(x)+h^2*u''(x) \qquad \gdw \qquad u''(x)\approx\bruch{u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^2}[/mm]
>
> den zentralen Differenzenquotienten für die zweite
> Ableitung.
>
> Meine Frage beschränkt sich jetzt eigentlich darauf, warum
> man einmal subtrahiert und einmal addiert.
Diese Frage beantwortet sich doch von selbst, wenn Du draufschaust, was Du approximieren möchtest.
FRED
>
> Danke und lieben Gruß,
> chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Do 13.12.2012 | | Autor: | chesn |
ups.. danke!
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