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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sebsen90 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich verstehe die folgende Herleitung nicht:
Es sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm] f_x(x) [/mm] gegeben. Nun soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung von [mm] f_y [/mm] gefunden werden mit
(1) [mm] y_N=\bruch{x_1+x_2+...+x_N}{N}.
[/mm]
Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm] f_y(y_N-)
[/mm]
Für die charakteristische FUnktion erhalten wir
(2) [mm] \chi(k)=\integral_{}^{}{e^{ik(y_N-)}f_y(y_N-) dy_N}
[/mm]
(3) [mm] =\integral_{}^{}{e^{i(k/N)((x_1-)+(x_2-)+....)}f_x(x_1)f_x(x_2).....dx_1dx_2.....}
[/mm]
(4) [mm] =[\chi(k/N)]^N
[/mm]
Wenn [mm] \sigma^2=-^2, [/mm] dann
(5) [mm] \chi(k/N)=\integral_{}^{}{e^{i(k/N)(x_1-)}f_x(x_1)dx_1}=1-\bruch{k^2}{2N^2}\sigma^2 [/mm] + ....
Wie kommt man von der Formel (2) zu (3)?
Meiner Meinung nacht müsste im Exponenten
i(k/N) [mm] ((x_1-N [/mm] <X>)+.... an Stelle von
i(k/N) [mm] ((x_1- [/mm] <X>)+....
Und warum wird dabei [mm] f_y(y_N [/mm] - <X>) zu [mm] f_{x}(x_1)f_{x}(x_2)....
[/mm]
Weiterhin verstehe ich im letzten Schritt bei (5) nicht, wie man von dem Integral auf die Entwicklung kommt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Sebsen90,
dein obiger Dateianhang ist ja (deine Angaben waren hier völlig korrekt) ein Buchseitenausschnitt. Leider ist es hier nicht nachvollziehbar, inwieweit da eine schützenswerte Schöpfungshöhe vorliegt, daher habe ich den Anhang zur Sicherheit gesperrt.
Es ist zwar ein wenig vertrackt, aber meinst du nicht, das könnte man abtippen, so viel ist es ja auch wieder nicht? 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sebsen90 |
Ja ich habs eingetippt.
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Hallo,
> Es sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm]f_x(x)[/mm] gegeben.
> Nun soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung von [mm]f_y[/mm] gefunden
> werden mit
>
> (1) [mm]y_N=\bruch{x_1+x_2+...+x_N}{N}.[/mm]
>
> Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsverteilung
> [mm]f_y(y_N-)[/mm]
>
> Für die charakteristische FUnktion erhalten wir
>
> (2) [mm]\chi(k)=\integral_{}^{}{e^{ik(y_N-)}f_y(y_N-) dy_N}[/mm]
>
> (3)
> [mm]=\integral_{}^{}{e^{i(k/N)((x_1-)+(x_2-)+....)}f_x(x_1)f_x(x_2).....dx_1dx_2.....}[/mm]
> (4) [mm]=[\chi(k/N)]^N[/mm]
>
>
> Wenn [mm]\sigma^2=-^2,[/mm] dann
>
> (5)
> [mm]\chi(k/N)=\integral_{}^{}{e^{i(k/N)(x_1-)}f_x(x_1)dx_1}=1-\bruch{k^2}{2N^2}\sigma^2[/mm]
> + ....
> Wie kommt man von der Formel (2) zu (3)?
>
> Meiner Meinung nacht müsste im Exponenten
>
> i(k/N) [mm]((x_1-N[/mm] <X>)+.... an Stelle von
> i(k/N) [mm]((x_1-[/mm] <X>)+....
Nein, das ist schon richtig so. Der Erwartungswert <X> wird auf alle $N$ Summanden aufgeteilt.
Da steht ja im Exponenten:
[mm] $y_N [/mm] - <X> = [mm] \left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_i\right) [/mm] - <X> = [mm] \left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_i\right) [/mm] - [mm] \frac{1}{N}\cdot [/mm] N [mm] \cdot [/mm] <X> = [mm] \frac{1}{N}\left(\left(\sum_{i=1}^{N}X_i\right) - N \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{N}\left(\left(\sum_{i=1}^{N}X_i\right) - \sum_{i=1}^{N}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(X_i [/mm] - <X>)$.
> Und warum wird dabei [mm]f_y(y_N[/mm] - <X>) zu
> [mm]f_{x}(x_1)f_{x}(x_2)....[/mm]
Das wurde mit der Dichte-Transformationsformel berechnet, ist aber nicht so leicht zusehen.
Ich würde dir gern eine Alternative zeigen, die wesentlich nachvollziehbarer ist:
Wir wollen die charakteristische Funktion von
[mm] $y_N [/mm] - <X>$
bestimmen. Formel:
[mm] $\phi_{y_N - }(t) [/mm] = [mm] \int e^{i(y_N - ) t} d\mathbb{P} [/mm] = [mm] \int e^{i \frac{t}{N}(\sum_{i=1}^{N}(X_i - )} [/mm] d [mm] \mathbb{P} [/mm] = [mm] \int e^{i \frac{t}{N} (\sum_{i=1}^{N}(x_i - )} f_{X_1}(x_1)\cdot [/mm] ... [mm] \cdot f_{X_N}(x_N) dx_1...dx_N$
[/mm]
Im letzten Schritt haben wir benutzt, dass [mm] $f_{X_1,...,X_N} [/mm] = [mm] f_{X_1}(x_1)\cdot [/mm] ... [mm] \cdot f_{X_N}(x_N)$ [/mm] die Wahrscheinlichkeitsdichte von [mm] $X_1,...,X_N$ [/mm] ist, weil die [mm] $X_1,...,X_N$ [/mm] unabhängig sind. Nun kann man das alles faktorisieren:
$= [mm] \prod_{i=1}^{N} \left(\int e^{i \frac{t}{n}(x_i - )} f_{X_i}(x_i) d x_{i}\right)$.
[/mm]
Deswegen ist jetzt nur noch relevant, das Integral
[mm] $\int e^{i \frac{t}{n}(x_i - )} f_{X_i}(x_i) [/mm] d [mm] x_{i} [/mm] = [mm] \phi_{X_i-}\left(\frac{t}{n}\right)$.
[/mm]
zu berechnen. Dies entspricht der charakteristischen Funktion von [mm] $X_i-$ [/mm] an der Stelle [mm] $\frac{t}{n}$.
[/mm]
Für die charakteristische Funktion ist die Taylor-Entwicklung bekannt: Siehe ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Daher wissen wir, dass gilt:
$ [mm] \phi_{X_i-}\left(\frac{t}{n}\right) [/mm] = 1+ [mm] i\frac{t}{n} [/mm] < [mm] X_i [/mm] - <X>> [mm] -\frac{t^2}{n^2} <(X_i [/mm] - [mm] )^2> [/mm] + ...$
Jetzt musst du nur noch einsetzen und benutzen, dass $< [mm] X_i [/mm] - <X>> = 0.$
Viele Grüße,
Stefan
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