Zentraler Grenzwertsatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Di 30.10.2007 | | Autor: | chriskde |
| Aufgabe | a)we have an i.i.d. random sample of size n from an exponential dsitribution with mean 1 and variance 1. The sample mean is denoted by [mm] \overline{X_{n}} [/mm] what is approximately the distribution of [mm] \wurzel{n} (\overline{X_{n}}-1)
[/mm]
b)
What is approx. the distribution of [mm] (\overline{X_{n}}-1)?
[/mm]
c)
Let [mm] X_{i} [/mm] be an iid draw from a Bernoulli distribution with parameter p=1/2 i.e. [mm] Pr(X_{i} [/mm] = 1) = 1/2. Calculate the expectation and standard deviation of [mm] X_{i}
[/mm]
d)what is approx. the distribution of [mm] \overline{X_{n}} [/mm] |
Mein Englisch ist relativ gut und ich verstehe die Aufgaben auch. Ich verstehe nur nicht den Sinn bei manchen Aufgaben.
a)
Was ist die wahrscheinliche Verteilung: annährend Normalverteilt, da wir iid Variablen haben mit einer endlichen Varianz anlehnend an den zentralen Grenzwertsatz.
Das wäre meine Antwort für a) Einfach die Aussage das die Exponentialverteilung bei großem n annähernd normalverteilt ist
b)
Ich habe keinen Ansatz, mir fehlt einfach das Verständnis für den zentralen Grenzwertsatz und ob ich ihn "einfach" auf jede Verteilung anwenden kann...
c)
Der Erwatungswert ist wohl n*p und die Varianz beträgt n*p(1-p) warum weiß ich nicht, ich habe es einfach aus meinem STA2 Skript entnommen. Ich denke das man den ZGS auf Bernoulliverteilungen anwenden kann und deshalb es so vereinfachen kann, aber warum ich ausgerechnet die Formeln verwenden kann ist mir schleierhaft.
d)
Ich weiß einfach nicht, was für ein Unterschied die versch. Formeln in a,b,c machen -> worauf muss ich achten? Sie erfüllen doch alle die Anforderungen des ZGS(iid, endliche Varianz, große Stichprobe n)
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir das jemand erläutern kann, ich hoffe das ich ausführlich meine Probleme dargestellt habe.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Di 30.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin chriskde,
der (oder besser ein) ZGS besagt folgendes:
Sind [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] unabhaengig und identisch verteilt mit
existierendem Erwartungswert [mm] $\operatorname{E}[X_i]=a$ [/mm] und
existierender Varianz [mm] $\operatorname{Var}[X_i]=b^2$, [/mm] so gilt
[mm] $\lim_{n\to\infty}P(\sqrt{n}\frac{\bar X-a}{b}\le z)=\Phi(z)\,,$
[/mm]
fuer alle [mm] $z\in\IR$. [/mm] Darin ist [mm] $\Phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung.
Er wird so ausgenutzt, dass man [mm] $P(\sqrt{n}\frac{\bar X-a}{b}\le [/mm] z)$ durch [mm] $\Phi(z)$ [/mm] approximert, also schreibt
[mm] $P(\sqrt{n}\frac{\bar X-a}{b}\le z)\approx\Phi(z)\,.$
[/mm]
a)Es geht nicht um die "wahrscheinliche Verteilung", sondern um die
"approximative Verteilung". Setze [mm] $a=1/\lambda=1$ [/mm] und [mm] $b^2=1/\lambda^2=1$ [/mm] ...
b) Schreibe [mm] $P(\frac{\bar X-a}{b}\le [/mm] y)$ etwas um.
c) Du irrst: Der Erwartungswert ist $p=1/2$ und die Varianz ist
$p(1-p)=1/4$, so dass die Standardabweichung 1/2 ist.
d) Schreibe [mm] $P(\bar X\le [/mm] u)$ etwas um.
lg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 30.10.2007 | | Autor: | chriskde |
Erstmal danke für deine Antwort!
zu a)
[mm] P(\sqrt{n}\frac{\bar X-a}{b}\le z)\approx\Phi(z)\
[/mm]
du hast also gemäß den Regeln für Exponentialverteilungen E(x) und Var(x) ausgerechnet. Man bekommt dann für a=1 und b=1. So kann ich das noch nachvollziehen.
Ich habe jetzt also so eine Verteilung gegeben:
[mm] \wurzel{n} (\overline{X_{n}}-1)
[/mm]
Was fange ich jetzt damit an? Wie soll ich die Formeln umstellen? Was möchte ich denn genau erreichen und wie stelle ich das Ergebnis dar?
Ich habe einfach ein riesiges Problem bei dieser Aufgabe den Sinn herauszufinden, warum ich das oder jenes mache :(
zu c)
Das n war überflüssig ansonsten habe ich es ja :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Di 30.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin chriskde,
a) $ [mm] \wurzel{n} (\overline{X_{n}}-1) [/mm] $ ist also approximativ standardnormalverteilt.
b) P($ [mm] (\overline{X_{n}}-1)\le [/mm] y)= [mm] P(\wurzel{n} (\overline{X_{n}}-1)\le \sqrt{n}y)\approx \Phi(\sqrt{n}y)$.
[/mm]
c) [mm] $P(\bar X\le u)=P(\sqrt{n}(X-a)/b\le \sqrt{n}(u-a)/b)\approx\Phi(\sqrt{n}(u-a)/b)=\Phi(\sqrt{n}(2u-1))$.
[/mm]
lg
Luis
|
|
|
|
