Zentralfeld ist Potentialfeld < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Do 30.06.2005 | | Autor: | Jimmyz |
Hallo, ich habe ein Problem mit einer (für mich recht schwierigen Aufgabe),
bei der ich nicht so recht weiß, wie ich es angehen soll
sie lautet
h sein eine stetige Funktion auf ]a,b[ , wobei 0<a<b.
Es sei f(x) = h(r)* [mm] \bruch{x}{r} [/mm] mit r = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ,
d.h. die euklidische Norm x= [mm] \wurzel{ x_{1}^{2}+...+ x_{n}^{2}}
[/mm]
Man zeige: Das Zentralfeld f ist ein Potentialfeld, und bestimme ein
Potential für f.
Hinweis: Man betrachte eine Funktion der Form U(x)=u(r) , r = [mm] \parallel x\parallel [/mm]
so, das ist die aufgabe, nun...
ein potentialfeld ist doch eine Funktion für die es eine Funktion U gibt mit
f = grad U
nun, weiß ich leider nicht wie ich das zeigen soll
wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen kann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Do 30.06.2005 | | Autor: | Baylan |
Hallo Jimmyz,
ich glaube es geht so:
Es muss gelten: [mm] U'(x) = u'(r) \bruch{dr}{dx} [/mm]
Außerdem folgt mit der Euklidischen Norm [mm] ||x|| = \wurzel{x_1^2 + ... + x_n^2} [/mm]:
[mm] ||x||' = (\bruch{x_1}{||x||}, ..., \bruch{x_n}{||x||}) [/mm]
Es gilt also [mm] ||x||'=\bruch{x}{r} [/mm]
Also ist [mm] \bruch{dH(r)}{dx} = f(x) [/mm] wobei [mm] H(r) [/mm] die Stammfunktion von [mm] h(r) [/mm] ist: [mm] H(r) = \integral_{a}^{r} {h(r) dr} [/mm]. Damit ex. ein [mm] U(||x||) [/mm] mit [mm] U'(||x||)=f(x) [/mm], d. h. [mm] f(x) [/mm] ist Potentialfeld. Ein Potential ist z. B. [mm] U(x) =H(||x||) = \integral_{a}^{||x||} {h(r) dr} [/mm] mit [mm]||x|| \in (a,b) [/mm]
Es wär allerdings schön, wenn das nochmal jemand bestätigen könnte, denn absolut sicher bin ich nicht,
Baylan
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