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| Aufgabe | | Sei [mm] f=x^4+x^2+1 \in \IQ[x]. [/mm] Bestimme einen ZFK L von f über [mm] \IQ. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe mal wieder ein Problem und zwar weiss ich nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Was ich weiss, ist z.B. wenn ich das Polynom [mm] x^3 [/mm] -2 dann ist mein ZFK
[mm] \IQ(\wurzel[3]{2}, e^{\bruch{2\pi i}{3}}
[/mm]
Aber da sehe ich ja auch ganz klar meine Nullstellen.
Bei meinem gegebenen Polynom finde ich aber doch keine Nullstellen, sondern nur Nullstellen in [mm] \IC [/mm] und noch nichtmal die finde ich, denn selbst i ist keine...
Könnt ihr mit weiter helfen?
Lg steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo Steffi,
versuch doch mal die Nullstellen von [mm] X^4+X^2+1=0 [/mm] zu bestimmen, in dem du [mm] X^2 [/mm] durch Z substituierst. Dann kannst du p-q-Formel anwenden und bekommst du auch auch alle Lösungen in [mm] \IC,wenn [/mm] du wieder rücksubstituierst.
Eine Methode den Zerfällungskörper L zu einem Polynom [mm] \in [/mm] K[X] zu bestimmen ist folgende: Du bestimmst alle Nullstellen des Polynoms in einem algebraischen Abschluss [mm] \overline{K},z.B. a_{1},...a_{n}. [/mm] Wenn man Polynome aus [mm] \IQ[X] [/mm] oder [mm] \IR[X] [/mm] hat, sucht man also die Nullstellen in [mm] \IC (\IC [/mm] ist zwar kein algebr. Abschluss von [mm] \IQ, [/mm] aber immerhin ist [mm] \IC [/mm] algebraisch abgeschlossen, man wird also fündig :)) Dann adjungierst du alle Nullstellen zu K. Dann ist [mm] L=K(a_{1},...,a_{n}). [/mm] Oft kann man die Darstellung von L noch vereinfachen.
z.B. würde man mit obiger Methode [mm] L=\IQ(\wurzel{2},-\wurzel{2}) [/mm] als Zerfällungskörper von [mm] X^2-2 [/mm] über [mm] \IQ [/mm] bestimmen, denn [mm] \wurzel{2},-\wurzel{2} [/mm] sind die Nullstellen von [mm] X^2-2 [/mm] (wenn iman von DEN Nullstellen spricht meint man immer die in einem algebr. Abschluss) Da aber [mm] -\wurzel{2}\in\IQ(\wurzel{2}) [/mm] ist, lässt sich L vereinfachen zu [mm] \IQ(\wurzel{2}). [/mm]
Gruß
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Sa 29.11.2008 | | Autor: | stofffffel |
Hallo Christian,
erst mal, danke für deine hilfe!!!
aber ich versteh nicht, was du mit der p-q-formel meinst.... ich hab davon noch nie etwas gehört!!! wahrscheinlich ist das auch der grund, warum ich keine nullstellen finde.... ;-(
wäre schön wenn du mir nochmal helfen könntest!
grüße,
steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fry |
Schau mal hier und Lösung quadratische Gleichung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformeln
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Sa 29.11.2008 | | Autor: | stofffffel |
achso, die mitternachtsformel  ) ok, hätt ich selber auch drauf kommen können...
ich habe jetzt die nullstellen ausgerechnet: [mm] z_{1}=\bruch{-1+\wurzel{-3}}{2} [/mm] und eben [mm] z_{2}=\bruch{-1-\wurzel{-3}}{2}
[/mm]
durch rücksubstitution erhalte ich dann [mm] x_{1}=\wurzel{z_{1}} [/mm]
[mm] x_{2}=-\wurzel{z_{1}} [/mm] uns für x3 und x4 ebene enstprechend mit z2.... ist das dann schon mein ZFK oder wie muss ich jetz mit der adjunktion umgehen????
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hi Steffi,
der Text beantwortet deine Frage mit ja ; ).
In diesem Fall ist also [mm] \IQ(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}) [/mm] der ZFK von f über [mm] \IQ.
[/mm]
Sieht zwar nicht schön aus, ist aber auf jeden Fall schonmal richtig.
Jetzt kann man wieder gesagt nur noch "Verschönerungen" vornehmen.
z.B. kann ich die Nullstellen in "Polarkoordinatenschreibweise" umformen.
Hab mir mal die Mühe gemacht. Das sind dann [mm] e^{i\bruch{\pi}{3}},-e^{i\bruch{\pi}{3}},i*e^{i\bruch{\pi}{3}} [/mm] und [mm] -i*e^{i\bruch{\pi}{3}}.
[/mm]
Man sieht auch wieder sofort, dass die zweite Nullstelle und die vierte Nullstelle weggelassen werden können (Argument siehe Methodentext)
Jetzt könnte man noch schauen, ob z.B. [mm] i*e^{i\bruch{\pi}{3}}\in \IQ(e^{i\bruch{\pi}{3}}) [/mm] oder umgekehrt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 So 30.11.2008 | | Autor: | stofffffel |
Hallo christian,
sorry, dass du erst jetzt von mir hörst, aber ich hab den ganzen tag brav gelernt...
danke dir echt tausendfach, dass du mir so geholfen hast, hätt ich ohne dich glaub ich nicht so schnell und einfach verstanden...
den rest krieg ich dann morgen noch selber mit der übung hin glaube ich...
danke noch und noch einen schönen abend!
lg steffi
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