Zerfaellungskoerper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 29.06.2010 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | | Sei [mm] f=(x^{2}-2)(x^{2}-3) [/mm] aus Q[x]. Der Zerfaellungskoerper ist [mm] L=Q(\sqrt{2},\sqrt{3}). [/mm] |
Der Zerfaellungkoerper ist doch die jene Koerpererweiterung, die Q enthaelt und die adjungierten Nullstellen. Doch von f ist ebenfalls [mm] -\sqrt{2}, -\sqrt{3} [/mm] ebenfalls eine Nullstelle. Warun ist den nun L der Zerfaellungskoerper, muessten das nicht [mm] L=Q(\sqrt{2},\sqrt{3},-\sqrt{2},-\sqrt{3}) [/mm] sein?.
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Ein einfaches Bsp:
[mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm]: Elemente darin haben folgende Gestalt:
[mm] \alpha + \beta\wurzel{2} [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta \in \IQ[/mm] sind. Jetzt überleg dir, wie ein Element aus deinem Zerfällungskörper aussieht. Dann siehst du leicht, dass auch [mm] -\wurzel{2} [/mm] und [mm] -\wurzel{3} [/mm] bereits in [mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}) [/mm] liegen.
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