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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl und [mm] a\in\mathbb{Q} [/mm] ein Element, dass keine [mm] p-\mbox{te} [/mm] Wurzel in [mm] \mathbb{Q} [/mm] besitzt. Sei [mm] K/\mathbb{Q} [/mm] der Zerfällungskörper von [mm] X^{p}-a\in\mathbb{Q}[X]. [/mm] Man zeige:
(i) [mm] K=\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p}), [/mm] wobei [mm] \zeta_{p} [/mm] eine p-te primitive Einheitswurzel ist und [mm] \alpha^{p}=a.
[/mm]
(ii) Für [mm] \sigma\in Gal(K/\mathbb{Q}) [/mm] gibt es Elemente [mm] b(\sigma),d(\sigma)\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} [/mm] mit [mm] \sigma(\alpha)=\alpha\zeta^{b(\sigma)} [/mm] und [mm] \sigma(\zeta)=\zeta^{b(\sigma)}. [/mm] |
Hallo,
ich sag mal was zu (i): Dass [mm] X^{p}-a [/mm] über [mm] \mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p}) [/mm] zerfällt, ist klar, schließlich hat die Nullstellenmenge die Form [mm] \{\alpha,\alpha\zeta_{p},\alpha\zeta_{p}^{2},...,\alpha\zeta_{p}^{p-1}\}. [/mm] Es bleibt zu zeigen, dass [mm] \mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p}) [/mm] minimal ist.
Dazu wird hier nun behauptet, dass [mm] X^{p}-a [/mm] irreduzibel über [mm] \mathbb{Q} [/mm] ist.
Beweis: Angenommen nicht. Dann gilt [mm] X^{p}-a=fg [/mm] mit [mm] degf,\deg [/mm] g>0. Da die Nullstellenmenge die oben angegebene Form hat, gilt für f betrachtet über dem Zerfällungskörper: [mm] f=\prod_{j\in I}(X-\alpha\zeta_{p}^{j}). [/mm] Daraus folgt, dass [mm] \prod_{j\in I}\alpha\zeta_{p}^{j}\in\mathbb{Q} [/mm] sein muss. Da ord(I)<p ist, gibt es ganze Zahlen [mm] x,y:x\cdot ord(I)+y\cdot [/mm] p=1. So und jetzt kommt ein Schritt, der mir unklar ist: Dann gilt: [mm] \alpha^{1}=\alpha^{x\cdot ord(I)+y\cdot p}\in\mathbb{Q}. [/mm] Warum das aber in [mm] \mathbb{Q} [/mm] sein soll sehe ich nicht. Wenn man p irgendwie ausklammern könnte, wäre es klar, aber so nicht. Auf jeden Fall soll das dann ein Widerspruch sein, und damit ist [mm] X^{p}-a [/mm] irreduzibel.
Jetzt steht da als Folgerung: [mm] [K:\mathbb{Q}]=\varphi(p)p, [/mm] wobei [mm] \varphi [/mm] die Eulersche Phi-Funktion sein soll. Ich sehe aber auch nicht, warum das jetzt aus der Irreduzibilität folgen soll. Es mag sein, dass [mm] [\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p}):\mathbb{Q}]=\varphi(p)p [/mm] daraus folgt, wenn man noch zeigt, dass das Polynom über [mm] \mathbb{Q}(\zeta_{p}) [/mm] irreduzibel ist, aber das hilft mir doch nicht weiter.
Ich sehe in keinem Fall wie aus diesem Ganzen nun folgen soll [mm] K=\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p}).
[/mm]
Zum Teil (ii): Da wir nun die Irreduzibilität gezeigt haben, können wir etwas über die Galoisgruppe aussagen. Es müssen Nullstellen auf Nullstellen abgebildet werden. Dann gilt doch für ein [mm] \sigma [/mm] aus der Galoisgruppe: [mm] \sigma(\alpha)=\alpha\zeta_{p}^{k} [/mm] für k=0,...,p-1 weil das die Nullstellen von [mm] X^{p}-a [/mm] sind und [mm] \sigma(\zeta_{p})=\zeta_{p}^{j} [/mm] mit j=1,...,p-1, weil das die Nullstellen des p-ten Kreisteilungspolynoms sind, also die des MiPos von [mm] \zeta_{p}. [/mm] Durch die entsprechenden k,j sind die [mm] \sigma [/mm] eindeutig bestimmt. Dann setzt man [mm] b:\mbox{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} [/mm] und bilde [mm] b(\sigma)\mapsto [/mm] k. Dann hab ich ja [mm] \sigma(\alpha)=\alpha\zeta_{p}^{k}=\alpha\zeta_{p}^{b(\sigma)}. [/mm] Analog für d, nur dass [mm] d:\mbox{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\ast}.
[/mm]
Das müsste so richtig sein oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:00 Sa 25.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei p eine Primzahl und [mm]a\in\mathbb{Q}[/mm] ein Element, dass
> keine [mm]p-\mbox{te}[/mm] Wurzel in [mm]\mathbb{Q}[/mm] besitzt. Sei
> [mm]K/\mathbb{Q}[/mm] der Zerfällungskörper von
> [mm]X^{p}-a\in\mathbb{Q}[X].[/mm] Man zeige:
>
> (i) [mm]K=\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p}),[/mm] wobei [mm]\zeta_{p}[/mm] eine
> p-te primitive Einheitswurzel ist und [mm]\alpha^{p}=a.[/mm]
>
> (ii) Für [mm]\sigma\in Gal(K/\mathbb{Q})[/mm] gibt es Elemente
> [mm]b(\sigma),d(\sigma)\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/mm] mit
> [mm]\sigma(\alpha)=\alpha\zeta^{b(\sigma)}[/mm] und
> [mm]\sigma(\zeta)=\zeta^{b(\sigma)}.[/mm]
>
> ich sag mal was zu (i): Dass [mm]X^{p}-a[/mm] über
> [mm]\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p})[/mm] zerfällt, ist klar,
> schließlich hat die Nullstellenmenge die Form
> [mm]\{\alpha,\alpha\zeta_{p},\alpha\zeta_{p}^{2},...,\alpha\zeta_{p}^{p-1}\}.[/mm]
Genau.
> Es bleibt zu zeigen, dass [mm]\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p})[/mm]
> minimal ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dazu wird hier nun behauptet, dass [mm]X^{p}-a[/mm] irreduzibel
> über [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist.
Das brauchst du doch gar nicht. Zeige einfach, dass du aus den Nullstellen von [mm] $X^p [/mm] - a$ sowohl [mm] $\alpha$ [/mm] wie auch [mm] $\zeta_p$ [/mm] konstruieren kannst.
Die Aussage bzgl. Irreduziblitaet brauchst du fuer etwas, was nicht in der Aufgabenstellung steht.
> Beweis: Angenommen nicht. Dann gilt [mm]X^{p}-a=fg[/mm] mit
> [mm]degf,\deg[/mm] g>0. Da die Nullstellenmenge die oben angegebene
> Form hat, gilt für f betrachtet über dem
> Zerfällungskörper: [mm]f=\prod_{j\in I}(X-\alpha\zeta_{p}^{j}).[/mm]
> Daraus folgt, dass [mm]\prod_{j\in I}\alpha\zeta_{p}^{j}\in\mathbb{Q}[/mm]
> sein muss.
Das Produkt ist gleich [mm] $\beta [/mm] := [mm] \alpha^{ord(I)} \cdot \prod_{j\in I} \zeta_p^j$. [/mm] Dieses Element [mm] $\beta$ [/mm] erfuellt [mm] $\beta^p [/mm] = a$.
> Da ord(I)<p ist, gibt es ganze Zahlen [mm]x,y:x\cdot ord(I)+y\cdot[/mm]
> p=1. So und jetzt kommt ein Schritt, der mir unklar ist:
> Dann gilt: [mm]\alpha^{1}=\alpha^{x\cdot ord(I)+y\cdot p}\in\mathbb{Q}.[/mm]
> Warum das aber in [mm]\mathbb{Q}[/mm] sein soll sehe ich nicht.
Wenn du hier [mm] $\alpha$ [/mm] durch [mm] $\beta$ [/mm] ersetzt, macht es mehr Sinn (mit der obigen Eigenschaft [mm] $\beta^p [/mm] = a$). Dann bekommst du [mm] $\beta \in \IQ$, [/mm] was ein Widerspruch dazu ist, dass $a$ keine $p$-te Wurzel in [mm] $\IQ$ [/mm] hat.
> Wenn
> man p irgendwie ausklammern könnte, wäre es klar, aber so
> nicht. Auf jeden Fall soll das dann ein Widerspruch sein,
> und damit ist [mm]X^{p}-a[/mm] irreduzibel.
>
> Jetzt steht da als Folgerung: [mm][K:\mathbb{Q}]=\varphi(p)p,[/mm]
> wobei [mm]\varphi[/mm] die Eulersche Phi-Funktion sein soll. Ich
> sehe aber auch nicht, warum das jetzt aus der
> Irreduzibilität folgen soll. Es mag sein, dass
> [mm][\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p}):\mathbb{Q}]=\varphi(p)p[/mm]
> daraus folgt, wenn man noch zeigt, dass das Polynom über
> [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{p})[/mm] irreduzibel ist, aber das hilft mir
> doch nicht weiter.
Das folgt aus dieser Aufgabe zusammen mit [mm] $[\IQ(\zeta_p) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \varphi(p)$ [/mm] und [mm] $[\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = p$ (da [mm] $X^p [/mm] - a$ irreduzibel ist).
> Ich sehe in keinem Fall wie aus diesem Ganzen nun folgen
> soll [mm]K=\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p}).[/mm]
Das geht auch viel einfacher als so kompliziert. Du hast hier gezeigt, dass $[K : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] p^2 [/mm] - p$ ist.
> Zum Teil (ii): Da wir nun die Irreduzibilität gezeigt
> haben, können wir etwas über die Galoisgruppe aussagen.
Das brauchst du nicht.
> Es müssen Nullstellen auf Nullstellen abgebildet werden.
Das ist das einzige was du brauchst. [mm] $\alpha$ [/mm] wird auf eine Nullstelle von [mm] $X^p [/mm] - a$ abgebildet, und [mm] $\zeta_p$ [/mm] auf eine Nullstelle von [mm] $X^{p-1} [/mm] + [mm] X^{p-2} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + X + 1$ (das Minimalpolynom von [mm] $\zeta_p$). [/mm] Dieses Wissen reicht voellig aus, um (ii) zu beantworten.
> Dann gilt doch für ein [mm]\sigma[/mm] aus der Galoisgruppe:
> [mm]\sigma(\alpha)=\alpha\zeta_{p}^{k}[/mm] für k=0,...,p-1
Du meinst: [mm] $\sigma(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha \zeta_p^k$ [/mm] fuer ein $k [mm] \in \{ 0, \dots, p - 1\}$! [/mm] Das ist eine voellig andere Aussage als die, die du hingeschrieben hast!
> weil
> das die Nullstellen von [mm]X^{p}-a[/mm] sind und
Genau.
> [mm]\sigma(\zeta_{p})=\zeta_{p}^{j}[/mm] mit j=1,...,p-1, weil das
> die Nullstellen des p-ten Kreisteilungspolynoms sind,
Genau.
> also
> die des MiPos von [mm]\zeta_{p}.[/mm] Durch die entsprechenden k,j
> sind die [mm]\sigma[/mm] eindeutig bestimmt.
Ja.
> Dann setzt man
> [mm]b:\mbox{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/mm]
> und bilde [mm]b(\sigma)\mapsto[/mm] k. Dann hab ich ja
> [mm]\sigma(\alpha)=\alpha\zeta_{p}^{k}=\alpha\zeta_{p}^{b(\sigma)}.[/mm]
> Analog für d, nur dass
> [mm]d:\mbox{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\ast}.[/mm]
>
> Das müsste so richtig sein oder?
Ja.
LG Felix
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> Moin!
>
> > Sei p eine Primzahl und [mm]a\in\mathbb{Q}[/mm] ein Element, dass
> > keine [mm]p-\mbox{te}[/mm] Wurzel in [mm]\mathbb{Q}[/mm] besitzt. Sei
> > [mm]K/\mathbb{Q}[/mm] der Zerfällungskörper von
> > [mm]X^{p}-a\in\mathbb{Q}[X].[/mm] Man zeige:
> >
> > (i) [mm]K=\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p}),[/mm] wobei [mm]\zeta_{p}[/mm] eine
> > p-te primitive Einheitswurzel ist und [mm]\alpha^{p}=a.[/mm]
> >
> > (ii) Für [mm]\sigma\in Gal(K/\mathbb{Q})[/mm] gibt es Elemente
> > [mm]b(\sigma),d(\sigma)\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/mm] mit
> > [mm]\sigma(\alpha)=\alpha\zeta^{b(\sigma)}[/mm] und
> > [mm]\sigma(\zeta)=\zeta^{b(\sigma)}.[/mm]
> >
> > ich sag mal was zu (i): Dass [mm]X^{p}-a[/mm] über
> > [mm]\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p})[/mm] zerfällt, ist klar,
> > schließlich hat die Nullstellenmenge die Form
> >
> [mm]\{\alpha,\alpha\zeta_{p},\alpha\zeta_{p}^{2},...,\alpha\zeta_{p}^{p-1}\}.[/mm]
>
> Genau.
>
> > Es bleibt zu zeigen, dass [mm]\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_{p})[/mm]
> > minimal ist.
>
>
>
> > Dazu wird hier nun behauptet, dass [mm]X^{p}-a[/mm] irreduzibel
> > über [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist.
>
> Das brauchst du doch gar nicht. Zeige einfach, dass du aus
> den Nullstellen von [mm]X^p - a[/mm] sowohl [mm]\alpha[/mm] wie auch [mm]\zeta_p[/mm]
> konstruieren kannst.
Ja gut, dann sollte ich aber vielleicht die Argumentation komplett anders aufbauen. Die Nullstellenmenge hatte ich angegeben. Also zerfällt [mm] X^p-a [/mm] über [mm] \mathbb{Q}(N), [/mm] wobei das bedeuten soll, dass ich zu [mm] \mathbb{Q} [/mm] alle Nullstellen aus der Nullstellenmenge N hinzuadjungiere.
Jetzt zeige ich einfach, dass [mm] \mathbb{Q}(N)=\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_p),
[/mm]
was doch für die Minimalität ausreichen sollte?
Und da ist offensichtlich [mm] \mathbb{Q}(N)\subseteq \mathbb{Q}(\alpha,\zeta_p). [/mm] Da [mm] \alpha [/mm] schon in N ist, reicht es nun zu zeigen, dass [mm] \zeta_p [/mm] in [mm] \mathbb{Q}(N) [/mm] ist. Aber das ist doch eigentlich klar, weil in [mm] \mathbb{Q}(N), \alpha [/mm] drin ist und [mm] \alpha [/mm] ein Inverses hat. Außerdem ist da ja auch [mm] \alpha \zeta_p [/mm] drin. Wenn ich das mit dem Inversen multipliziere erhalte ich [mm] \zeta_p. [/mm] Also Gleichheit.
Reicht das so aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 So 26.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Dazu wird hier nun behauptet, dass [mm]X^{p}-a[/mm] irreduzibel
> > > über [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist.
> >
> > Das brauchst du doch gar nicht. Zeige einfach, dass du aus
> > den Nullstellen von [mm]X^p - a[/mm] sowohl [mm]\alpha[/mm] wie auch [mm]\zeta_p[/mm]
> > konstruieren kannst.
>
> Ja gut, dann sollte ich aber vielleicht die Argumentation
> komplett anders aufbauen. Die Nullstellenmenge hatte ich
> angegeben. Also zerfällt [mm]X^p-a[/mm] über [mm]\mathbb{Q}(N),[/mm] wobei
> das bedeuten soll, dass ich zu [mm]\mathbb{Q}[/mm] alle Nullstellen
> aus der Nullstellenmenge N hinzuadjungiere.
> Jetzt zeige ich einfach, dass
> [mm]\mathbb{Q}(N)=\mathbb{Q}(\alpha,\zeta_p),[/mm]
> was doch für die Minimalität ausreichen sollte?
Ja, das reicht voellig aus.
> Und da ist offensichtlich [mm]\mathbb{Q}(N)\subseteq \mathbb{Q}(\alpha,\zeta_p).[/mm]
> Da [mm]\alpha[/mm] schon in N ist, reicht es nun zu zeigen, dass
> [mm]\zeta_p[/mm] in [mm]\mathbb{Q}(N)[/mm] ist. Aber das ist doch eigentlich
> klar, weil in [mm]\mathbb{Q}(N), \alpha[/mm] drin ist und [mm]\alpha[/mm] ein
> Inverses hat. Außerdem ist da ja auch [mm]\alpha \zeta_p[/mm] drin.
> Wenn ich das mit dem Inversen multipliziere erhalte ich
> [mm]\zeta_p.[/mm] Also Gleichheit.
Exakt.
> Reicht das so aus?
Ja.
LG Felix
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