Zerlegung einer Funktion < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zerlegen Sie die Funktion [mm] y=x^4+2x^2+x-1 [/mm] / [mm] 4x^2 [/mm] +4x +1
in eine ganze Funktion und eine echt gebrochen rationale Funktion. Die echt gebrochen rationale Funktion soll danach in Partialbrüche zerlegt werden. |
Kann mir einer von euch helfen und mir sagen wie man das richtig macht!
Zuerst muss man ja die Polynomdivision machen(??)!
dazu habe ich den Nenner durch 4 geteilt!
Ich weiß garnicht ob ich das einfach machen darf???
Somit ergibt sich!
[mm] x^4+2x^2+x-1 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] +x +1/4 ==
Dort bekomme ich als Ergebnis -> [mm] x^2+x [/mm] + (1/2) / [mm] x^2 [/mm] +x + 1/4
Jetzt ist die Frage, ist das soweit richtig oder falsch!
Wenn es falsch ist, wo ist der Fehler??
Wenn es richtig ist, wie muss ich jetzt weiter machen??
DANKE
|
|
| |
|
Hallo Stillmatic,
Ich habe ein anderes Ergebnis raus.
Schreibe deine Aufgabe etwas länger hin. Dadurch wird sie leichter lösbar:
[mm]\left(\textcolor{magenta}{1}\cdot{x^{\textcolor{green}{4}}+\textcolor{magenta}{0}\cdot{x^{\textcolor{green}{3}}+\textcolor{magenta}{2}\cdot{x^{\textcolor{green}{2}}+\textcolor{magenta}{1}\cdot{x^{\textcolor{green}{1}}+\textcolor{magenta}{(-1)}\cdot{x^{\textcolor{green}{0}}\right):\left(4x^{\textcolor{red}{2}} + 4x^{\textcolor{red}{1}} + 1\cdot{x^{\textcolor{red}{0}}}\right)=\dotsm[/mm]
Und jetzt denke mal einen Moment nicht an die [mm]x\![/mm]. Sie sind für die Überlegung erstmal nicht so wichtig. Wenn man dies tut, erhält man folgendes Schema:
[mm]\begin{array}{ccccccccccc}
{}&\textcolor{green}{4}&\textcolor{green}{3}&\textcolor{green}{2}&\textcolor{green}{1}&\textcolor{green}{0}&{}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{0}&{}\\\cline{2-6}\cline{8-10}
{}&\mathbf{(1}&\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{1}&\mathbf{-1)}&\mathbf{:}&\mathbf{(4}&\mathbf{4}&\mathbf{1)}&\mathbf{\Rightarrow \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x^1 \dotsm}\\
\mathbf{-}&\mathbf{(1}&\mathbf{1}&\mathbf{\frac{1}{4}}&\mathbf{0}&\mathbf{\ \ 0)}&{}&{}&{}&{}&{}\\\cline{2-6}
{}&{}&\mathbf{(-1}&\mathbf{1.75}&\mathbf{1}&\mathbf{-1)}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&\mathbf{-}&\mathbf{(-1}&\mathbf{-1}&\mathbf{-\frac{1}{4}}&\mathbf{\quad 0)}&{}&{}&{}&{}&{}\\\cline{3-6}
{}&{}&{}&\mathbf{(2.75}&\mathbf{1.25}&\mathbf{-1)}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&\mathbf{\vdots}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array}[/mm]
Oben habe ich die Potenzen der x'e stehen. Du überlegst dir in der ersten Zeile: Wieviel muß ich zu der Potenz 2 noch dazuzählen damit daraus die Potenz 4 wird? Offensichtlich 2! Und mit was muß ich die 4 unter der 2 multiplizieren damit daraus die 1 unter der 4 wird? Offenbar ist [mm]4\cdot{\tfrac{1}{4}}=1[/mm]! Nun multiplizierst du 4 4 1 mit 0.25 und schreibst die Ergebnisse in die linken Spalten, wobei du die übrigen mit Nullen füllst. Anschließend subtrahierst du immer jew. eine Ziffer von der Anderen und machst dann in der nächsten Zeile weiter.
Und so machst du dann weiter... Anschließend kannst du dir die ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung anschauen.
Grüße
Karl
|
|
|
|
