Zerlegung eines Vektorfeldes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 06.06.2011 | | Autor: | feelx86 |
Hallo,
in einer Übungsaufgabe soll ich ein Vektorfeld in einen Quellen- und einen Wirbelfreien Anteil zerlegen. Leider habe ich keinen schimmer wie ich das machen soll. Ich wäre dankbar wenn mir jemand einen allgemeinen Ansatz liefern könnte.
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> in einer Übungsaufgabe soll ich ein Vektorfeld in einen
> Quellen- und einen Wirbelfreien Anteil zerlegen. Leider
> habe ich keinen schimmer wie ich das machen soll. Ich wäre
> dankbar wenn mir jemand einen allgemeinen Ansatz liefern
> könnte.
Schau mal hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Vektoranalysis
unter "Fundamentalzerlegung"
FRED
>
> Danke schonmal
>
>
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:53 Mo 06.06.2011 | | Autor: | feelx86 |
Auf Wikipedia bin ich während meiner Recherche schon gestoßen, allerdings werde ich als nichtmathematiker daraus nicht schlau. Gegeben ist nur ein Vektorfeld also wüsste ich nicht, wie ich daraus ein Volumenintegral zaubern soll, einen Aufpunkt für |r-r'| habe ich ebenfalls nicht. Das Vektorfeld lautet
[mm] F=\vektor{xy \\ yz \\ zx}
[/mm]
Wie fange ich nun an?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Mi 08.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 08.06.2011 | | Autor: | feelx86 |
Hallo,
hat noch irgenwer einen Tipp für mich? Ich weiß nicht, wie ich das Integral
[mm] \vec F(\vec r)\equiv -\operatorname{grad}\left\{\iiint_{\R^3}\,\mathrm dV'\,\frac{\mathrm{div}'\vec F(\vec r^{\,'})}{4\pi|\vec r -\vec r^{\,'}|}\right\}+\operatorname{rot}\left\{\iiint_{\R^3}\,\mathrm dV'\,\frac{\operatorname{rot}'\vec F(\vec r^{\,'})}{4\pi|\vec r -\vec r^{\,'}|}\right\}. [/mm]
mit den gegebenen Informationen lösen soll von daher denke ich, dass es noch irgendwie anders gehen muss.
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Hallo feelx86,
> Hallo,
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> hat noch irgenwer einen Tipp für mich? Ich weiß nicht,
> wie ich das Integral
>
> [mm]\vec F(\vec r)\equiv -\operatorname{grad}\left\{\iiint_{\R^3}\,\mathrm dV'\,\frac{\mathrm{div}'\vec F(\vec r^{\,'})}{4\pi|\vec r -\vec r^{\,'}|}\right\}+\operatorname{rot}\left\{\iiint_{\R^3}\,\mathrm dV'\,\frac{\operatorname{rot}'\vec F(\vec r^{\,'})}{4\pi|\vec r -\vec r^{\,'}|}\right\}.[/mm]
>
> mit den gegebenen Informationen lösen soll von daher denke
> ich, dass es noch irgendwie anders gehen muss.
>
Zerlege das Vektorfeld F zunächst so:
[mm]F=F_{1}+F_{2}[/mm]
,wobei
[mm]F_{1}=\pmat{v_1\left(x,y,z\right) \\ v_2\left(x,y,z\right) \\ v_3\left(x,y,z\right)}[/mm]
[mm]F_{2}=\pmat{w_1\left(x\right) \\ w_2\left(y\right) \\ w_3\left(z\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 09.06.2011 | | Autor: | feelx86 |
Hallo,
erstmal danke für eine Anwort, aber ich verstehe nicht ganz wie du das meinst.
mir ist nicht ganz klar wie ich
[mm] F=\vektor{xy \\ yz \\ zx} [/mm]
in eine Summe zerlegen soll, ausser einfach mit [mm] \vektor{+x -x \\ +y -y \\ +z -z} [/mm] zu ergänzen zu [mm] F=\vektor{xy-x \\ yz-y \\ zx-z} +\vektor{x \\ y \\ z} [/mm]
oder was meinst du damit? Ich sehe da grad nicht, wie mir das weiterhilft.
Gruß
feelx
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Hallo feelx86,
> Hallo,
> erstmal danke für eine Anwort, aber ich verstehe nicht
> ganz wie du das meinst.
> mir ist nicht ganz klar wie ich
> [mm]F=\vektor{xy \\ yz \\ zx}[/mm]
>
> in eine Summe zerlegen soll, ausser einfach mit [mm]\vektor{+x -x \\ +y -y \\ +z -z}[/mm]
> zu ergänzen zu [mm]F=\vektor{xy-x \\ yz-y \\ zx-z} +\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> oder was meinst du damit? Ich sehe da grad nicht, wie mir
> das weiterhilft.
>
Mit der vorgeschlagenen Zerlegung ist das Vektorfeld
[mm]F_{2}=\pmat{w_{1}\left(x\right) \\ w_{2}\left(y\right) \\ w_{3}\left(z\right)[/mm]
wirbelfrei.
Es sind daher nur noch die einzelnen Komponenten des Vektorfeldes [mm]F_{2}[/mm]
so zu bestimmen, daß das Vektorfeld [mm]F-F_{2}[/mm] quellenfrei ist.
>
>
> Gruß
>
> feelx
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 09.06.2011 | | Autor: | feelx86 |
Hallo,
ich glaube ich habe jetzt verstanden was du meintest.
Ich habe jetzt wie du gesagt hast das Vektorfeld aufgeteilt in
[mm] F=\vektor{xy \\ yz \\ zx}
[/mm]
und anschließend nach dem Vektor V umgestellt
[mm] \pmat{v_1\left(x,y,z\right) \\ v_2\left(x,y,z\right) \\ v_3\left(x,y,z\right)} [/mm] = [mm] \vektor{xy \\ yz \\ zx} [/mm] - [mm] \pmat{w_{1}\left(x\right) \\ w_{2}\left(y\right) \\ w_{3}\left(z\right)}
[/mm]
anschließend habe ich die divergenz dieses Vektors =0 gesetzt
div( [mm] \vektor{xy \\ yz \\ zx} [/mm] - [mm] \pmat{w_{1}\left(x\right) \\ w_{2}\left(y\right) \\ w_{3}\left(z\right)}) [/mm] = [mm] y-w'_{1}\left(x\right) [/mm] + z - [mm] w_{2}\left(y\right) [/mm] + x - [mm] w_{3}\left(z\right)=0 [/mm]
und daraus dann die Komponenten bestimmt
[mm] w'_{1}\left(x\right) [/mm] = x => [mm] w_{1}\left(x\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm]
[mm] w'_{2}\left(y\right) [/mm] = y => [mm] w_{2}\left(y\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}y^2 [/mm]
[mm] w'_{3}\left(z\right) [/mm] = z => [mm] w_{3}\left(z\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}z^2 [/mm]
daraus ergibt sich dann schließlich das zerlegte Vektorfeld
[mm] F=\vektor{xy \\ yz \\ zx} [/mm] = [mm] \vektor{xy - \bruch{1}{2}x^2 \\ yz - \bruch{1}{2}y^2 \\ zx - \bruch{1}{2}z^2} [/mm] + [mm] \vektor{\bruch{1}{2}x^2 \\ \bruch{1}{2}y^2 \\ \bruch{1}{2}z^2}
[/mm]
Lässt sich das so als "Kochrezept" auch auf kompliziertere Vektorfelder anwenden oder gibt es da noch eine andere Vorgehensweise?
Gruß
Felix
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Hallo feelx86,
> Hallo,
> ich glaube ich habe jetzt verstanden was du meintest.
>
> Ich habe jetzt wie du gesagt hast das Vektorfeld aufgeteilt
> in
>
> [mm]F=\vektor{xy \\ yz \\ zx}[/mm]
>
> und anschließend nach dem Vektor V umgestellt
>
> [mm]\pmat{v_1\left(x,y,z\right) \\ v_2\left(x,y,z\right) \\ v_3\left(x,y,z\right)}[/mm]
> = [mm]\vektor{xy \\ yz \\ zx}[/mm] - [mm]\pmat{w_{1}\left(x\right) \\ w_{2}\left(y\right) \\ w_{3}\left(z\right)}[/mm]
>
> anschließend habe ich die divergenz dieses Vektors =0
> gesetzt
>
> div( [mm]\vektor{xy \\ yz \\ zx}[/mm] - [mm]\pmat{w_{1}\left(x\right) \\ w_{2}\left(y\right) \\ w_{3}\left(z\right)})[/mm]
> = [mm]y-w'_{1}\left(x\right)[/mm] + z - [mm]w_{2}\left(y\right)[/mm] + x -
> [mm]w_{3}\left(z\right)=0[/mm]
>
> und daraus dann die Komponenten bestimmt
>
> [mm]w'_{1}\left(x\right)[/mm] = x => [mm]w_{1}\left(x\right)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm]
>
> [mm]w'_{2}\left(y\right)[/mm] = y => [mm]w_{2}\left(y\right)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}y^2[/mm]
>
> [mm]w'_{3}\left(z\right)[/mm] = z => [mm]w_{3}\left(z\right)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}z^2[/mm]
>
> daraus ergibt sich dann schließlich das zerlegte
> Vektorfeld
>
> [mm]F=\vektor{xy \\ yz \\ zx}[/mm] = [mm]\vektor{xy - \bruch{1}{2}x^2 \\ yz - \bruch{1}{2}y^2 \\ zx - \bruch{1}{2}z^2}[/mm]
> + [mm]\vektor{\bruch{1}{2}x^2 \\ \bruch{1}{2}y^2 \\ \bruch{1}{2}z^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Lässt sich das so als "Kochrezept" auch auf kompliziertere
> Vektorfelder anwenden oder gibt es da noch eine andere
> Vorgehensweise?
Als Kochrezept läßt sich das auf kompliziertere Vektorfelder
nicht anwenden.
Hier gibt es sicherlich eine andere Vorgehensweise.
>
> Gruß
>
> Felix
>
Gruss
MathePower
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