Zerlegung in irreduzible Poly. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:06 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Finde eine Zerlegung in irreduzible Elemente:
1. In [mm]\IZ[i]: 420-65i[/mm]
2. In [mm]\IZ[\sqrt{-3}]: 162+11\sqrt{-3}[/mm] |
Hallo zusammen,
Bisher habe ich derartige Aufgaben immer durch finden einer Nullstelle und Polynomdivision gelöst. Mich wundert jedoch, dass es hier kein Polynomring ist, in dem ich eine Variable zum einsetzen habe. Wie löse ich derartige Aufgaben?
Ich würde mich über eine Erklärung bzw. ein Lösungsverfahren /-ansatz freuen.
Vielen Dank & Gruß
Lyrn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mo 06.02.2012 | | Autor: | hippias |
Ich wuerde erst einmal soweit Faktorisieren wie es geht und mir dann um die Irreduzibilitaet der Faktoren Gedanken machen. Dazu ist es oftmals hilfreich die Norm der Zahl zu berechnen - also [mm] $zz^{\*}$. [/mm] Aus der Primfaktorzerlegung der Norm kann man schon viel ablesen: Gelingt es naemlich eine der Primzahlen wiederum als Norm eines Ringelementes auszudruecken, so muss es irreduzibel sein und steckt als Faktor in der Zahl drin.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Lyrn |
Hey, danke für die Antwort.
Ich habe jetzt die Normabbildung angewendet und das Ergebnis in Primfaktoren zerlegt. Diese widerrum als Ringelemente dargestellt:
[mm]N(420-65i)=420^2+65^2=180625=1*5^4*17^2[/mm]
[mm]5=a^2+b^2 \Rightarrow a=1, b=2[/mm]
[mm]17=a^2+b^2 \Rightarrow a=1, b=4[/mm]
[mm]420-65i=((1+2i)(1-2i))^4*((1+4i)(1-4i))^2[/mm]
So nun bin ich doch aber nicht fertig, weil ich ja nur die 180625 als Produkt irreduzibler Zahlen dargestellt habe. Was mich ich jetzt machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Di 07.02.2012 | | Autor: | hippias |
> Hey, danke für die Antwort.
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> Ich habe jetzt die Normabbildung angewendet und das
> Ergebnis in Primfaktoren zerlegt. Diese widerrum als
> Ringelemente dargestellt:
>
> [mm]N(420-65i)=420^2+65^2=180625=1*5^4*17^2[/mm]
> [mm]5=a^2+b^2 \Rightarrow a=1, b=2[/mm]
> [mm]17=a^2+b^2 \Rightarrow a=1, b=4[/mm]
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> [mm]420-65i=((1+2i)(1-2i))^4*((1+4i)(1-4i))^2[/mm]
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> So nun bin ich doch aber nicht fertig, weil ich ja nur die
> 180625 als Produkt irreduzibler Zahlen dargestellt habe.
> Was mich ich jetzt machen?
Na, Du hast doch sogar mehr geschafft: [mm] $420-65i=((1+2i)(1-2i))^4*((1+4i)(1-4i))^2$. [/mm] Damit hast Du $420-65i$ faktorisiert und brauchst Dir nur noch zu ueberlegen, dass saemtliche auftretenden Faktoren irreduzibel im Ring sind. Das geht uebrigen recht leicht, wenn Du annimmst sie haetten einen echten Teiler und dann wieder die Norm bildest.
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