Zerlegungen von Idealen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 So 18.03.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo zusammen,
ich habe einige Fragen bezüglich Zerlegungen von Idealen, und auch algebraischen Varietäten.
Sei A ein kommutativer Ring, p ein Primärideal in A. Nun gilt:
q ist Primärideal => [mm] \wurzel(q)=p [/mm] ist ein Primideal.
Aber gilt dies auch umgekehrt?
Wir hatten auch irreduzible Ideale (und die dazugehörigen Zerlegung von Idealen in irreduzible Komponenten).
Aber haben diese eine feste Bedeutung bezüglich algebraischen Varietäten?
Folgende Beziehungen kenne ich:
Wenn X [mm] \subseteq K^n [/mm] eine algebraische Menge, dann ist I(X) ein Radikalideal.
Wenn X eine algebraische Varietät ist, dann ist I(X) ein Primideal.
Wenn X nicht irreduzibel ist, dann gibt es eine Zerlegung von X in irreduzible algebraische Mengen (Varietäten). Und diese entspricht der Primzerlegung von I(X), [mm] I(X)=p_1 \cap...\cap p_n.
[/mm]
Für jede Primärzerlegung [mm] I(X)=q_1 \cap...\cap q_n [/mm] gilt [mm] \wurzel(q_1) \cap...\cap \wurzel(q_n)=p_1 \cap...\cap p_n.
[/mm]
Passt nun auch die irreduzible Zerlegung in dieses Bild? Welche Beziehungen gibt es zu algebraischen Mengen?
Und gibt es bezüglich Primäridealen und algebraische Varietäten noch weitere wichtige Beziehungen welche ich noch nicht erwähnt habe? Gibt es eine genaue Characterisierung dafür, dass die Nullstellenmenge Z(I) eines Ideals I [mm] \subseteq [/mm] A irreduzibel ist? (z.Bsp. genau dann wenn I irreduzibel oder primär ist?)
Ich freue mich auf Eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 So 18.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Vilietha!
> ich habe einige Fragen bezüglich Zerlegungen von Idealen,
> und auch algebraischen Varietäten.
>
> Sei A ein kommutativer Ring, p ein Primärideal in A. Nun
> gilt:
> q ist Primärideal => [mm]\wurzel(q)=p[/mm] ist ein Primideal.
> Aber gilt dies auch umgekehrt?
Nein: ist $P$ ein Primideal, so gilt [mm] $\sqrt{P^n} [/mm] = P$ fuer jedes $n [mm] \ge [/mm] 1$.
Jetzt gibt es jedoch Beispiele von Ringen $A$ samt Primideal $P [mm] \subseteq [/mm] A$ und Exponenten $n [mm] \ge [/mm] 1$, so dass [mm] $P^n$ [/mm] kein Primaerideal ist (siehe ![[]](/images/popup.gif) Punkt 5 hier).
> Wir hatten auch irreduzible Ideale (und die dazugehörigen
> Zerlegung von Idealen in irreduzible Komponenten).
Meinst du die Definition hier?
> Aber haben diese eine feste Bedeutung bezüglich
> algebraischen Varietäten?
> Folgende Beziehungen kenne ich:
> Wenn X [mm]\subseteq K^n[/mm] eine algebraische Menge, dann ist
> I(X) ein Radikalideal.
> Wenn X eine algebraische Varietät ist, dann ist I(X) ein
> Primideal.
> Wenn X nicht irreduzibel ist, dann gibt es eine Zerlegung
> von X in irreduzible algebraische Mengen (Varietäten). Und
> diese entspricht der Primzerlegung von I(X), [mm]I(X)=p_1 \cap...\cap p_n.[/mm]
>
> Für jede Primärzerlegung [mm]I(X)=q_1 \cap...\cap q_n[/mm] gilt
> [mm]\wurzel(q_1) \cap...\cap \wurzel(q_n)=p_1 \cap...\cap p_n.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Passt nun auch die irreduzible Zerlegung in dieses Bild?
> Welche Beziehungen gibt es zu algebraischen Mengen?
> Und gibt es bezüglich Primäridealen und algebraische
> Varietäten noch weitere wichtige Beziehungen welche ich
> noch nicht erwähnt habe? Gibt es eine genaue
> Characterisierung dafür, dass die Nullstellenmenge Z(I)
> eines Ideals I [mm]\subseteq[/mm] A irreduzibel ist? (z.Bsp. genau
> dann wenn I irreduzibel oder primär ist?)
Die Nullstellenmenge $Z(I)$ ist genau dann irreduzibel, wenn [mm] $\sqrt{I} [/mm] = I(Z(I))$ irreduzibel ist, was genau dann der Fall ist, wenn [mm] $\sqrt{I}$ [/mm] ein Primideal ist. (Ich nehm hier an, dass der Koerper alg. abgeschlossen ist.)
Weiterhin gilt: ist $I$ irreduzibel, so ist $Z(I)$ irreduzibel. Die Umkehrung muss nicht umbedingt gelten: moeglicherweise ist $I$ nicht irreduzibel, aber die Radikalideale aller in der Primaerdekomposition von $I$ auftauchenden Primaerideale sind dann gleich.
(Die Antworten hier koennten dich auch interessieren.)
LG Felix
PS: Sorry das ich noch nicht auf dein Mail geantwortet hab. Kommt noch :)
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Hallo Felix,
es ist sehr schön wieder eine Antwort von dir lesen zu dürfen. 
Vielen Dank für sie, sie war wie immer sehr hilfreich.
Ja genau, mit den irreduziblen Idealen habe ich genau jene gemeint über welche du geschrieben hast.
Auch die Infos auf Stackexchange.com waren sehr informativ.
Da habe ich eigentlich im Moment nur noch die folgende Frage:
Sind die irreduziblen Ideale genau die Primideale in [mm] K[x_1,...,x_n] [/mm] (K algebraisch abgeschlossen)?
Wenn ja, welche Eigenschaft genau ist es welche dies verursacht?
Viele Grüße,
Vilietha
Ps: Das mit der Mail ist kein Problem, Hauptsache sie ist bei dir angekommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Di 20.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Vilietha!
> es ist sehr schön wieder eine Antwort von dir lesen zu
> dürfen.
> Vielen Dank für sie, sie war wie immer sehr hilfreich.
Das freut mich zu hoeren :)
> Ja genau, mit den irreduziblen Idealen habe ich genau jene
> gemeint über welche du geschrieben hast.
> Auch die Infos auf Stackexchange.com waren sehr
> informativ.
>
> Da habe ich eigentlich im Moment nur noch die folgende
> Frage:
> Sind die irreduziblen Ideale genau die Primideale in
> [mm]K[x_1,...,x_n][/mm] (K algebraisch abgeschlossen)?
Nein. Primideale sind irreduzibel, aber die Umkehrung stimmt i.A. nicht.
In [mm] $K[x_1]$ [/mm] ist das Ideal [mm] $(x_1^2)$ [/mm] etwa irreduzibel, jedoch nicht prim.
> Wenn ja, welche Eigenschaft genau ist es welche dies
> verursacht?
Es ist die Eigenschaft, ein irreduzibles Ideal zu sein 
Ich glaub, genauer kann man es nicht beschreiben.
Laut dem Artikel hier sind irreduzible Ideale immer Primaerideale. In Hauptidealbereichen gilt auch die Umkehrung (da sind es gerade die Ideale, die von Potenzen von Primelementen erzeugt werden, und das Nullideal; die Aussage hier ist uebrigens falsch).
In [mm] $K[x_1, \dots, x_n]$ [/mm] mit $n > 1$ kann es aber wohl durchaus Primaerideale geben, die nicht irreduzibel sind. (Frag mich aber nicht nach Beispielen, so genau kenn ich mich mit dem Thema auch wieder nicht aus...)
Liebe Gruesse,
Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Do 22.03.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Felix,
vielen Dank für Deine sehr ausführliche Antwort!
Nun sind wirklich all meine Fragen zu dem Thema beantwortet.
Liebe Grüße,
Vilietha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 20.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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