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Gefangenenparadox:
Drei Personen A,B und C sind zum Tode verurteilt. Mit Hilfe eines Losentscheids, bei dem alle drei die gleichen Chancen haben, wird einer begnadigt. A, der eine Überlebenswahrsch. von 1/3 hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen B und C zu nennen, der sterben muss. Der Wärter antwortet "B". Nun kalkuliert A,dass entweder er oder C überleben werden, dann hat er eine Überlebenswahrsch. von 50%. Stimmt das? |
Hallo!
das Gefangenenparadox ist doch genau die Beschreibung des bekannten Ziegenproblems in der Stochastik. Ich habe versucht, die Aufgabe so wie das Ziegenproblem zu lösen, ich bin mir aber un sicher, ob ich auf die Frage mit ja oder nein antworten soll.
Ich habe mir drei Abbildungen definiert: A,B,C: [mm] \Omega \to [/mm] {0,1}, wobei 0 für " nicht begnadigt" steht und die 1 für "begnadigt".
Für jeden Gefangenen gilt also: P(A=k)=1/3, P(B=k)=1/3 und P(C=k)=1/3 wobei k=0,1.
Jetzt habe ich das Problem in der Formel von Bayes, die ja lautet: [mm] P(B_{i}|A)= \bruch{P(B_{i})P(A|B_{i})}{\summe_{k\in K}^{}P(B_{k})P(A|B_{k})}
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich mein Problem auf diese Formel anpassen soll. Nach dem Ziegenproblem, müsste ja A mit seiner Kalkulation recht haben, oder? Er hat 50% Überlebenschance. Oder lieg ich da falsch? ich würde mich über Hilfe freuen.
Der Wahrscheinlichkeitsraum lautet hier:
[mm] (\Omega= {0,1}^{3}, \mathcal{P}(\Omega), [/mm] P= [mm] U_{\Omega})
[/mm]
Danke!
Infinity
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 So 14.09.2008 | | Autor: | PI314 |
| Aufgabe | Wie kann am besten das Gefangenenparadoxon so erklären, dass es auch für einen Schüler verständlich ist?
Für schnelle Antwort wäre ich sehr dankbar.
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Wie kann am besten das Gefangenenparadoxon so erklären, dass es auch für einen Schüler verständlich ist?
Für schnelle Antwort wäre ich sehr dankbar.
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> Wie kann am besten das Gefangenenparadoxon so erklären,
> dass es auch für einen Schüler verständlich ist?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was hast Du denn nicht richtig verstanden?
Den Sachverhalt, die Rechnung oder das Paradoxe?
Vielleicht erklärst Du mal, wo Dein Problem liegt oder was Du Dir überlegt hast. Dann kann Dir sicher eher jemand helfen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Mo 15.09.2008 | | Autor: | PI314 |
Also verstanden habe ich es schon, aber ich würde es gerne einem anderem Schüler erklären und dieser versteht das einfach nicht, wie ich ihm des erklären will.
Weil alle sagen die Chance für den der fragt und den der übrig bleibt sei 50 % und wie soll ich erklären das das nicht stimmt.
Habt ihr eine Idee wie man das am besten Verständlich erklären könnte??
Danke schon mal im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Mo 15.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Jeder Gefangene hat eine Chance von 1:3.
Durch die Frage "Wer muss sterben?" wird der Wärter bereits veranlasst, nur Kandidaten zu nennen, die sterben müssen. Das ist eine Bedingung. Aber dadurch, dass man im Nachhinein eine Bedingung kann man nicht die Wahrscheinlichkeiten ändern, die vor dieser Bedingung galten.
Anders stellt sich folgender Fall dar:
Angenommen, die Kandidaten A, B, C, D, E und F sind zum Tode verurteilt.
Einer von Ihnen (es sei Kandidat E) wird per Losentscheid begnadigt.
Nun teilt der Wärter in zufälliger Reihenfolge mit, wer sterben muss:
B muss sterben
F muss sterben
A muss sterben
C muss sterben ....
Und jetzt gibt es eine 10-minütige Pause.
Während dieser Pause hat D (der ja in Wirklichkeit auch sterben muss), eine 50prozentige Hoffnung, zu überleben.
Denn jetzt sind die Chancen zwischen D und E wirklich Fifty-Fifty.
Weil: Hier gab es nicht die Bedingung, dass man D bis zum Schluss sein Ergebnis nicht mitteilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mo 15.09.2008 | | Autor: | PI314 |
aber im Gefangenenparadoxon hat doch in diesem fall D eine kleinere Chance begnadigt zu werden als der begnadigte tatsächlich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Mo 15.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> aber im Gefangenenparadoxon hat doch in diesem fall D eine
> kleinere Chance begnadigt zu werden als der begnadigte
> tatsächlich?
Diesen Satz verstehe ich nicht. Warum sollte D eine kleinere Chance haben? Es sind doch nur noch D und E übrig.
In dem von mir geschilderten Fall hat ganz am Anfang jeder eine Chance von 1:6 = 16 %, begnadigt zu werden.
Wenn nun aber öffentlich mitgeteilt wird, dass Kandidat B sterben muss, dann sind es nur noch 5 Kandidaten, von denen einer begnadigt wird. Also hat nun jeder der Restlichen eine Chance von 1:5 = 20 %. Und dafür hat B eine Chance von 0 %. Die Summe muss ja immer 100 % ergeben.
Bei dem urprünglichen Sachverhalt war es dagegen anders: Da wollte ein Todeskandidat gar nicht wissen, ob er selber sterben muss, sondern er wollte einen Namen außer seinem eigenen hören.
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> Wie kann am besten das Gefangenenparadoxon so erklären,
> dass es auch für einen Schüler verständlich ist?
Hallo,
ich will Dir mal erklären, wie ich es mir erklärt habe:
Wir haben also A,B,C, von denen genau einer per Losentscheid begnadigt wird. Die Chancen eines jeden auf Begnadigung stehen 1:3.
Die Lose sind bereits gezogen, das Ergebnis noch nicht verkündet.
A möchte nun Genaueres wissen, und er bittet den Wärter, ihm den Namen eines der Leidensgenossen zu sagen, der sterben wird. (Der Wärter antwortet: B.)
Ist diese Antwort zum Berechnen der Überlebenswahrscheinlichkeit für A irgendwie von Belang?
Nein, denn die Information, ob nun B oder C sterben wird, ist völlig unerheblich für A, da er keinerlei Möglichkeit hat, mit dieser Information irgendetwas zu seinen Gunsten zu ändern.
Er ist so schlau wie vorher, denn daß mindestens einer der Leidensgenossen bei den Toten ist, war ihm doch bereits vorher klar, das ist überhaupt keine neue Information.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Di 16.09.2008 | | Autor: | PI314 |
Das ist aber nicht das Gefangenenparadoxon, weil wenn der Wärter B antwortet weiß A (also der der gefragt hat) doch das sich seine Chancen verringert haben zum mindest nach der Formel von Bayes. Also stehen für A die Überlebenschancen 1/3, obwohl nur noch 2 übrig sind. Oder irre ich mich da?
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> Also stehen für A die Überlebenschancen 1/3,
> obwohl nur noch 2 übrig sind
JA. genau so ist es.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Di 16.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Man kann sogar noch eine Schritt weiter gehen:
Die Chancen für A stehen bei 1/3.
Die Chancen für denjenigen, der vom Wärter als "nicht begnadet" geoutet wurde, stehen bei NULL.
Ergo => stehen die Chancen für denjenigen, der vom Wärter als "begnadet" geoutet wurde bei 2/3.
Sie sind also doppelt so groß wie die Chancen von A !!!
Und nun bist du an der Reihe zu beantworten, WARUM das denn wohl so ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Di 16.09.2008 | | Autor: | PalOne89 |
Seine Chance zu Überleben ist auf die Situation bezogen klar 50:50... Es sind 3 Personen... und 2 müssen sterben, d.h. es ist klar das entweder B oder C stirbt.. Somit bleiben A & (B oder C) noch im rennen. Und da B sicher stirbt, kann man direkt sagen es stirbt A oder C
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Di 16.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Und da B sicher stirbt,
> kann man direkt sagen, es stirbt A oder C
Es ist zwar richtig, dass entweder A oder C stibt (bzw., dass entweder A oder C nicht stirbt).
Aber A hat eine Überlebenschance von 33 %, während C eine Überlebenschance von 67 % hat.
Natürlich sind das alles nur Wahrscheinlichkeitsmodelle. Es gibt nicht "ein bisschen tot" genauso wenig, wie es "ein bisschen schwanger" gibt.
Aber wenn du das Experiment gaaaanz oft (sagen wir 100 Mal) durchführst, dann wirst du sehen, dass derjenige, den der Wärter als "eventuell benadigt" nennt, in zwei Drittel aller Fälle wirklich überlebt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Di 16.09.2008 | | Autor: | bazzzty |
> Seine Chance zu Überleben ist auf die Situation bezogen
> klar 50:50... Es sind 3 Personen... und 2 müssen sterben,
> d.h. es ist klar das entweder B oder C stirbt.. Somit
> bleiben A & (B oder C) noch im rennen. Und da B sicher
> stirbt, kann man direkt sagen es stirbt A oder C
Das ist aber exakt nicht das, was Angela schrub. Die Chancen ändern sich durch die Information nicht. Dieses Problem ist eben nicht äquivalent zum Ziegenproblem.
Wie sollte das auch gehen: Der Wärter sagt dem Gefangenen unterm Strich nur etwas, das er schon weiß: Einer seiner Kollegen stirbt. Welcher, ist doch egal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Mo 22.09.2008 | | Autor: | amoxys |
Hallo bazzzty,
> Das ist aber exakt nicht das, was Angela schrub. Die
> Chancen ändern sich durch die Information nicht. Dieses
> Problem ist eben nicht äquivalent zum Ziegenproblem.
verhält es sich hier wirklich nicht wie beim Ziegenproblem?
Nur ist es beim Ziegenproblem natürlich so, dass der Kandidat die Möglichkeit hat zu wechseln. Das ist hier nicht möglich. Und das ist doch der einzige Unterschied?
Wenn der Kandidat sich beim Ziegenproblem entscheidet nicht zu wechseln, ändert sich seine Gewinnchance ja auch nicht. Es verhält sich dann also doch genauso wie hier.
> Wie sollte das auch gehen: Der Wärter sagt dem Gefangenen
> unterm Strich nur etwas, das er schon weiß: Einer seiner
> Kollegen stirbt. Welcher, ist doch egal.
Und das gleiche gilt für den Moderator. Er sagt dem Kandidaten bloss, dass hinter einem der anderen Tore eine Ziege steht. Aber das wusste der Kandidat schon. Wenn er also nicht wechselt, bleibt seine Chance von 1/3 bestehen.
Der Kandidat bzw. Gefangene, sollte diese Gelegenheit nun nutzen, das Tor bzw. die Identität wechseln.
Gruß,
Robert
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Hallo,
nein, Du stimmst mir nicht zu, sondern Du widersprichst mir:
Denn ich habe oben versucht darzulegen, warum die Information, daß der Kollege stirbt, völlig unerheblich für die Wahrscheinlichkeit von A's Überleben ist. Sie bleibt trotz der Information bei [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Mo 22.09.2008 | | Autor: | PalOne89 |
Wollte auch "stimme nicht zu" schreiben". :) passiert ...
Dadurch das er aber schon von anfang an weiß das er oder einer der anderen stirbt ist die chance 50:50...
schließlich kann man doch person b und c zu einer zusammen nehmen da einer eh weg vom fenster is..?
Es heisst doch dann von anfang an, bevor er gefragt hat entweder A oder B bzw. A oder C
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Hallo,
also eigentlich ist bzgl . der Gefangenen inzwischen alles geklärt.
> Dadurch das er aber schon von anfang an weiß das er oder
> einer der anderen stirbt ist die chance 50:50...
Na, hör mal!
Wenn du mit 49 anderen dastehst und weißt, daß einer von Euch 50 einen Eimer grüne Farbe über den Kopf bekommen wird, ist Deine Chance, der "Glückliche" zu sein, 1:50.
Und wenn Du nur mit mir und meiner Katze dastehst, weißt Du, daß die Wahrscheinlichkeit, den Eimer übergestülpt zu kriegen, 1:3 ist.
> schließlich kann man doch person b und c zu einer zusammen
> nehmen da einer eh weg vom fenster is..?
Willst Du oben aus 48 oder 49 Personen eine machen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Do 23.10.2008 | | Autor: | PalOne89 |
> Na, hör mal!
>
> Wenn du mit 49 anderen dastehst und weißt, daß einer von
> Euch 50 einen Eimer grüne Farbe über den Kopf bekommen
> wird, ist Deine Chance, der "Glückliche" zu sein, 1:50.
>
> Und wenn Du nur mit mir und meiner Katze dastehst, weißt
> Du, daß die Wahrscheinlichkeit, den Eimer übergestülpt zu
> kriegen, 1:3 ist.
>
> > schließlich kann man doch person b und c zu einer zusammen
> > nehmen da einer eh weg vom fenster is..?
>
> Willst Du oben aus 48 oder 49 Personen eine machen?
>
> Gruß v. Angela
>
>
nein aber hier geht es darum das 2 von 3 was bekommen und nicht 1 von 49 bzw 50 -.- oder 1 von 3...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Do 23.10.2008 | | Autor: | PalOne89 |
eins hab ich noch vergessen.... und zwar..
wenn 1 von 49 nen eimer übern kopf bekommt, dann steht die chance 1 zu 49 das du derjenige bist...
bekommen aber 48 von 49 steht deine chance nur noch 1 zu 2, weil entweder du oder irgendein anderer ihn abbekommt. Welcher der restlichen 48 das ist, ist völlig uninteressant.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Do 23.10.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> wenn 1 von 49 nen eimer übern kopf bekommt, dann steht die
> chance 1 zu 49 das du derjenige bist...
Das ist richtig
> bekommen aber 48 von 49, steht deine chance nur noch 1 zu 2,
> weil entweder du oder irgendein anderer ihn abbekommt.
Nein, dann hast du eine Chance von 48:49, also etwa 98 %, dass du einen Eimer über den Kopf kriegst...
> Welcher der restlichen 48 das ist, ist völlig uninterresant
Da hast du zwar Recht, dass es egal ist, wer deine Mit-Leidensgenossen sind. Trotzdem wirst du (fast) immer zu den Opfern gehören.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Di 16.09.2008 | | Autor: | bazzzty |
Da hier im Thread so viel Unordnung herrscht, fürs Protokoll noch die Antwort:
> Nun kalkuliert A,dass entweder er
> oder C überleben werden, dann hat er eine
> Überlebenswahrsch. von 50%. Stimmt das?
Nein, das stimmt nicht.
> [..]
>
> das Gefangenenparadox ist doch genau die Beschreibung des
> bekannten Ziegenproblems in der Stochastik.
Es ist ähnlich, aber nicht dasselbe. Damit die Probleme äquivalent werden, müßte A danach mit C tauschen dürfen. Das sollte er dann tun, denn ohne Tausch bleibt es bei einer Überlebenswahrscheinliuchkeit von 1/3, durch den Tausch verdoppelt sie sich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Di 16.09.2008 | | Autor: | PI314 |
trotz allem steht die Wahrscheinlichkeit bei 1/3, dass x also der der den Wärter fragt überlebt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Di 16.09.2008 | | Autor: | bazzzty |
> trotz allem steht die Wahrscheinlichkeit bei 1/3, dass x
> also der der den Wärter fragt überlebt.
Ich verstehe das "trotz" nicht. Im beschriebenen Szenario besteht die Wahrscheinluchkeit von 1/3. Dürfte der Gefangene nach der Frage mit demjenigen tauschen, dessen Tod der Wärter nicht verraten hat, *dann* wären wir beim Ziegenproblem und der Fragende könnte seine Überlebenswahrscheinlichkeit auf 67% steigern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Mi 17.09.2008 | | Autor: | PI314 |
aber das Gefangenenparadoxon wird nicht als Ziegenproblem gewertet da hierbei ganz andere Faktoren mitspielen.
z.B. wenn es 50 Leute wären und 1 davon begnadigt werden würde und einer der Leute (A) dem Wärter die Frage stellen würde wer ganz sicher nicht begnadigt wird bleibt x = B ( also einer ) und A übrig somit weiß A mit 2/3 = 66%-iger Wahrscheinlichkeit das er es nicht ist der begnadigt wird.
daraus folgt: x also B ist mit 66%-iger Wahrscheinlichkeit der Begnadigte.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:50 Sa 04.10.2008 | | Autor: | PI314 |
Ich hätte mal ne andere Frage.
Kann mir mal jemand eine Algorithmusrechnung erklären hab irgendwie keinen Plan was das sein soll bzw. wie das gerechnet wird.
Danke für die Antwort im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Mo 06.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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