Ziehen von Kugeln aus Urne < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer Urne befinden sich 9 Kugeln, die von 1-9 nummeriert sind. Es wird 4 mal nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.
a) Gebe die Wahrscheinlichkeit an, nur gerade Zahlen zu ziehen.
b) Gebe die Wahrscheinlichkeit an, dass die Summe [mm] \le [/mm] 11 ist. |
Hi, mein Lösungsvorschlag:
a) Wenn die Kugeln nur gerade Zahlen haben sollen, so haben wir den Ereignisraum [mm] A=\{2,4,6,8 \}. [/mm] Jetzt interessiert uns die Reihenfolge auch, alsi ist #A=4!. somit folgt:
[mm] P(A)=\bruch{\# A}{\# \Omega}=\bruch{4!}{9*8*7*6}
[/mm]
b) Damit die Sume der Zahlen [mm] \le [/mm] 11 sein soll, bekommen wir den Ereignisraum [mm] B=\{(1,2,3,4);(1,2,3,5) \}, [/mm] da uns auch die Reihenfolge interessiert, bekommen wir hier: #B=4!+4! und somit:
[mm] P(B)=\bruch{\# B}{\# \Omega}=\bruch{4!+4!}{9*8*7*6}
[/mm]
was haltet ihr von dieser Lösung? Ich bin mir ehrlich gesagt bei der b) nicht ganz sicher, ob die so richtig ist.
danke für hilfe.
grüße
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Hallo jaruleking,
> was haltet ihr von dieser Lösung? Ich bin mir ehrlich
> gesagt bei der b) nicht ganz sicher, ob die so richtig
> ist.
Ich würde sagen, daß deine Lösungen für a) und b) richtig sind. Ich habe sie empirisch mit zwei Python-Programmen überprüft. Hier ist das Programm für a):
| 1: | from random import sample
| | 2: | from math import floor,ceil
| | 3: |
| | 4: | c = 0
| | 5: | for nexps in range(100000):
| | 6: | bevennums = True
| | 7: | for n in sample(range(1,10), 4):
| | 8: | if floor(n/2.0) != ceil(n/2.0):
| | 9: | bevennums = False
| | 10: | if bevennums:
| | 11: | c = c+1
| | 12: |
| | 13: | print(c/100000.0) |
und dies ist das Programm für b):
| 1: | from random import sample
| | 2: |
| | 3: | c = 0
| | 4: | for nexps in range(100000):
| | 5: | if sum(sample(range(1,10), 4)) <= 11:
| | 6: | c = c+1
| | 7: |
| | 8: | print(c/100000.0) |
Viele Grüße
Karl
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Hi karl,
super vielen dank.
dann nochmal eine kleine Frage. Hier in der Aufgabe war ja die Reihenfolge wichtig. Wenn da jetzt stehen würde, ohne Berücksichtigung, wären dann die Ereignisräume auch so:
[mm] A=\{2,4,6,8 \} [/mm] mit #A=1 und
[mm] B=\{(1,2,3,4);(1,2,3,5) \} [/mm] mit #B=2 ?????
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 So 28.03.2010 | | Autor: | jaruleking |
keiner mehr eine idee hier???
wäre echt nett.
grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 So 28.03.2010 | | Autor: | Blech |
> Hi karl,
>
> super vielen dank.
>
> dann nochmal eine kleine Frage. Hier in der Aufgabe war ja
> die Reihenfolge wichtig. Wenn da jetzt stehen würde, ohne
> Berücksichtigung, wären dann die Ereignisräume auch so:
Bei der Wahrscheinlichkeit spielt die Reihenfolge keine Rolle, wo ist bei "Gebe die Wahrscheinlichkeit an, nur gerade Zahlen zu ziehen" auch eine Reihenfolge zu erkennen?
Du hast jeweils sowohl im Zähler als auch im Nenner die Reihenfolge drinnen gelassen, man könnte sie auch jeweils rausdividieren. Das kürzt sich in Zähler und Nenner weg, also kommt das gleiche raus.
Mit Reihenfolge:
So wie das Modell beschrieben ist ("nacheinander gezogen"), ist das das "richtige" Modell
[mm] $\Omega=\{(x_1,x_2,x_3,x_4);\ x_i\in\{1,\ldots,9\},\ x_i\neq x_j,\ \forall i\neq j\},\ |\Omega|=9!/5!$
[/mm]
[mm] $A=\{(x_1,x_2,x_3,x_4);\ x_i\in\{2,4,6,8\},\ x_i\neq x_j, \forall i\neq j\},\ [/mm] |A|=4!$
(Die Menge der günstigen Ergebnisse enthält 4! Elemente, nämlich die Tupel $(1,2,3,4), (1,2,4,3), [mm] \ldots$)
[/mm]
[mm] $B=\{(x_1,x_2,x_3,x_4);\ x_i\in\{1,2,3,4,5\},\ x_i\neq x_j,\ x_i+x_j<9,\ \forall i\neq j\}$
[/mm]
[mm] ($x_i+x_j<9$ [/mm] verhindert, daß die Tupel 4 und 5 gleichzeitig enthalten)
Ohne Reihenfolge:
für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten funktioniert das genauso und ist eleganter:
[mm] $\Omega=\{C\subseteq \{1,\ldots,9\};\ |C|=4\},\ |\Omega|={9\choose 4}$
[/mm]
Man kann das auch salopp als [mm] $\Omega={\{1,\ldots,9\}\choose 4}$ [/mm] schreiben. =)
[mm] $A=\{\{2,4,6,8\}\},\ [/mm] |A|=1$
(Die Menge der günstigen Ergebnisse enthält exakt ein Element, nämlich die Menge [mm] $\{2,4,6,8\}$)
[/mm]
[mm] $B=\{\{1,2,3,4\},\{1,2,3,5\}\}$
[/mm]
a)
1 günstiges Ergebnis und [mm] ${9\choose 4}$ [/mm] mögliche:
[mm] $\frac1{{9\choose 4}}=\frac{4!*5!}{9!}$
[/mm]
b)
2 günstige, gleiche Anzahl mögliche, das Doppelte von a)
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Fr 02.04.2010 | | Autor: | jaruleking |
danke für deine erklärung!!!!!
grüße
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