Zins einer Rente berechnen < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es geht um die Effektivität einer Versicherung, angenommen man zahlt monatlich einen Betrag c=34,15 € über eine Laufzeit von n=25 Jahren. Nach Ablauf der Zahlung erhält man einen Betrag K=16203,67 € ausbezahlt.
Welchen Zinssatz r (p.A.) wurde das eingezahlte Kapital verzinst? |
Hallo Leute,
die o.g. Aufgabe bezieht sich auf einen reellen Fall welchen ich aus mir nicht bekannten Gründen einfach nicht schaffe zu lösen -.-
Das Ziel ist es also herauszufinden wie der nachträgliche Effektivzins einer (Lebens)-Versicherung war. Habe mir so in meinem Kopf gedacht, dass dies eigentlich ziemlich simpel mit Hilfe Endwertformel zu berechnen sein sollte, aber irgendwie komm ich nicht drauf.
Den Endwert einer konstanten Zahlung berechnet man ja wie folgt:
[mm] K_{t} [/mm] = c * [mm] \bruch{((1+r)^n -1)}{r} [/mm]
also sprachlich ausgedrückt: der Endwert einer Zahlung ist gleich die konstante Zahlung multipliziert mit dem Rentenendwertfaktor.
Da c, [mm] K_{t} [/mm] und n bekannt war dachte ich, ich löse einfach die Gleichung nach r auf und schon habe ich den Zinssatz mit dem die Versicherung mein Kapital verzinst hat!
Mein Ansatz war:
[mm] K_{t} [/mm] = c * [mm] \bruch{((1+r)^n -1)}{r} [/mm] [ /c
[mm] \bruch{K_{t}}{c} [/mm] = [mm] \bruch{((1+r)^n -1)}{r} [/mm] [ *r
[mm] \bruch{K_{t}}{c} [/mm] *r = [mm] (1+r)^n [/mm] -1 [ ^ [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] (\bruch{K_{t}}{c})^\bruch{1}{n} *r^\bruch{1}{n} [/mm] = (1+r) [mm] -1^\bruch{1}{n} [/mm] [ * [mm] r^-(\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] (\bruch{K_{t}}{c})^\bruch{1}{n}= r^1 [/mm] * [mm] r^-(\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] (\bruch{K_{t}}{c})^\bruch{1}{n}= r^{1-(\bruch{1}{n})} [/mm] [ ^n
[mm] \bruch{K_{t}}{c}= r^{n-1} [/mm] [ ^ [mm] \bruch{1}{n-1}
[/mm]
[mm] (\bruch{K_{t}}{c})^\bruch{1}{n-1}= [/mm] r
r = [mm] \wurzel[n-1]{\bruch{K_{t}}{c}} [/mm]
soweit so gut, aber wenn ich nun die Zahlen einsetze c=34,15 *12=409,80€ p.a.
r = [mm] \wurzel[24]{\bruch{16203,67}{409,8}} [/mm] kommt 1.165584 raus?!?!
was soll mir das sagen? der Zins müsste doch bei ca. 3,7% liegen?!
Kann mir jmd sagen welchen Fehler ich bei der Umformung gemacht habe bzw. ob und wenn nicht, weshalb das so nicht geht?
Vielen Dank schonmal vorab für eure Mühe
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ZZR = 25*12 = 300
RMZ = -34,15
BW = 0
EW = 16203,67
ZINS = ?
f(i) = 16203,67 + 0 * (1+i)^300 + -34,15 [(1+i)^300 - 1]/i
f'(i) = 300 * 0 * (1+i)^299 + -34,15 * (300 i (1 + i)^299 - (1 + i)^300 + 1) / [mm] (i^2)
[/mm]
i = 0,1
f(i) = -8,9370925518181E+14
f'(i) = -2,3480179522939E+17
i1 = 0,1 - -8,9370925518181E+14/-2,3480179522939E+17 = 0,096193771626368
Fehler Bound = 0,096193771626368 - 0,1 = 0,003806 > 0,000001
i1 = 0,096193771626368
f(i1) = -3,2842998699685E+14
f'(i1) = -8,6468573703756E+16
i2 = 0,096193771626368 - -3,2842998699685E+14/-8,6468573703756E+16 = 0,092395513219539
Fehler Bound = 0,092395513219539 - 0,096193771626368 = 0,003798 > 0,000001
i2 = 0,092395513219539
f(i2) = -1,2070135228666E+14
f'(i2) = -3,1841351224769E+16
i3 = 0,092395513219539 - -1,2070135228666E+14/-3,1841351224769E+16 = 0,088604802472541
Fehler Bound = 0,088604802472541 - 0,092395513219539 = 0,003791 > 0,000001
i3 = 0,088604802472541
f(i3) = -44361601863208
f'(i3) = -1,172459536323E+16
i4 = 0,088604802472541 - -44361601863208/-1,172459536323E+16 = 0,084821166407595
Fehler Bound = 0,084821166407595 - 0,088604802472541 = 0,003784 > 0,000001
i4 = 0,084821166407595
f(i4) = -16305403868624
f'(i4) = -4,3169170943024E+15
i5 = 0,084821166407595 - -16305403868624/-4,3169170943024E+15 = 0,081044071894906
Fehler Bound = 0,081044071894906 - 0,084821166407595 = 0,003777 > 0,000001
i5 = 0,081044071894906
f(i5) = -5993621725712,9
f'(i5) = -1,5893318822596E+15
i6 = 0,081044071894906 - -5993621725712,9/-1,5893318822596E+15 = 0,07727291384251
Fehler Bound = 0,07727291384251 - 0,081044071894906 = 0,003771 > 0,000001
i6 = 0,07727291384251
f(i6) = -2203360382000,9
f'(i6) = -5,850799219032E+14
i7 = 0,07727291384251 - -2203360382000,9/-5,850799219032E+14 = 0,073507000333064
Fehler Bound = 0,073507000333064 - 0,07727291384251 = 0,003766 > 0,000001
i7 = 0,073507000333064
f(i7) = -810076889810,91
f'(i7) = -2,1536197721553E+14
i8 = 0,073507000333064 - -810076889810,91/-2,1536197721553E+14 = 0,069745533707039
Fehler Bound = 0,069745533707039 - 0,073507000333064 = 0,003761 > 0,000001
i8 = 0,069745533707039
f(i8) = -297864580013,74
f'(i8) = -79262570504872
i9 = 0,069745533707039 - -297864580013,74/-79262570504872 = 0,065987586190116
Fehler Bound = 0,065987586190116 - 0,069745533707039 = 0,003758 > 0,000001
i9 = 0,065987586190116
f(i9) = -109539955634,68
f'(i9) = -29167734565527
i10 = 0,065987586190116 - -109539955634,68/-29167734565527 = 0,062232068071676
Fehler Bound = 0,062232068071676 - 0,065987586190116 = 0,003756 > 0,000001
i10 = 0,062232068071676
f(i10) = -40290141784,542
f'(i10) = -10731496247278
i11 = 0,062232068071676 - -40290141784,542/-10731496247278 = 0,058477685564693
Fehler Bound = 0,058477685564693 - 0,062232068071676 = 0,003754 > 0,000001
i11 = 0,058477685564693
f(i11) = -14822180076,263
f'(i11) = -3947527056816,1
i12 = 0,058477685564693 - -14822180076,263/-3947527056816,1 = 0,054722884175638
Fehler Bound = 0,054722884175638 - 0,058477685564693 = 0,003755 > 0,000001
i12 = 0,054722884175638
f(i12) = -5454200152,0381
f'(i12) = -1451699917984,8
i13 = 0,054722884175638 - -5454200152,0381/-1451699917984,8 = 0,050965771507609
Fehler Bound = 0,050965771507609 - 0,054722884175638 = 0,003757 > 0,000001
i13 = 0,050965771507609
f(i13) = -2007613107,7176
f'(i13) = -533689737651,64
i14 = 0,050965771507609 - -2007613107,7176/-533689737651,64 = 0,047204010757718
Fehler Bound = 0,047204010757718 - 0,050965771507609 = 0,003762 > 0,000001
i14 = 0,047204010757718
f(i14) = -739249308,6596
f'(i14) = -196121795724,86
i15 = 0,047204010757718 - -739249308,6596/-196121795724,86 = 0,043434672903516
Fehler Bound = 0,043434672903516 - 0,047204010757718 = 0,003769 > 0,000001
i15 = 0,043434672903516
f(i15) = -272336765,7952
f'(i15) = -72034571180,746
i16 = 0,043434672903516 - -272336765,7952/-72034571180,746 = 0,039654033117214
Fehler Bound = 0,039654033117214 - 0,043434672903516 = 0,003781 > 0,000001
i16 = 0,039654033117214
f(i16) = -100388120,1718
f'(i16) = -26440664341,098
i17 = 0,039654033117214 - -100388120,1718/-26440664341,098 = 0,035857300974755
Fehler Bound = 0,035857300974755 - 0,039654033117214 = 0,003797 > 0,000001
i17 = 0,035857300974755
f(i17) = -37033212,559
f'(i17) = -9697103127,3617
i18 = 0,035857300974755 - -37033212,559/-9697103127,3617 = 0,032038303479054
Fehler Bound = 0,032038303479054 - 0,035857300974755 = 0,003819 > 0,000001
i18 = 0,032038303479054
f(i18) = -13674703,8439
f'(i18) = -3552747755,8306
i19 = 0,032038303479054 - -13674703,8439/-3552747755,8306 = 0,028189253452501
Fehler Bound = 0,028189253452501 - 0,032038303479054 = 0,003849 > 0,000001
i19 = 0,028189253452501
f(i19) = -5055122,0351
f'(i19) = -1300137124,4549
i20 = 0,028189253452501 - -5055122,0351/-1300137124,4549 = 0,024301108163847
Fehler Bound = 0,024301108163847 - 0,028189253452501 = 0,003888 > 0,000001
i20 = 0,024301108163847
f(i20) = -1870631,9435
f'(i20) = -475388940,7999
i21 = 0,024301108163847 - -1870631,9435/-475388940,7999 = 0,020366157678163
Fehler Bound = 0,020366157678163 - 0,024301108163847 = 0,003935 > 0,000001
i21 = 0,020366157678163
f(i21) = -692180,1145
f'(i21) = -173984009,0588
i22 = 0,020366157678163 - -692180,1145/-173984009,0588 = 0,016387745419295
Fehler Bound = 0,016387745419295 - 0,020366157678163 = 0,003978 > 0,000001
i22 = 0,016387745419295
f(i22) = -255048,8976
f'(i22) = -64126630,0924
i23 = 0,016387745419295 - -255048,8976/-64126630,0924 = 0,012410475801362
Fehler Bound = 0,012410475801362 - 0,016387745419295 = 0,003977 > 0,000001
i23 = 0,012410475801362
f(i23) = -92369,2812
f'(i23) = -24239508,5989
i24 = 0,012410475801362 - -92369,2812/-24239508,5989 = 0,0085997846397363
Fehler Bound = 0,0085997846397363 - 0,012410475801362 = 0,003811 > 0,000001
i24 = 0,0085997846397363
f(i24) = -31653,3015
f'(i24) = -9850924,0669
i25 = 0,0085997846397363 - -31653,3015/-9850924,0669 = 0,0053865529410427
Fehler Bound = 0,0053865529410427 - 0,0085997846397363 = 0,003213 > 0,000001
i25 = 0,0053865529410427
f(i25) = -9225,3149
f'(i25) = -4758764,5601
i26 = 0,0053865529410427 - -9225,3149/-4758764,5601 = 0,0034479584144186
Fehler Bound = 0,0034479584144186 - 0,0053865529410427 = 0,001939 > 0,000001
i26 = 0,0034479584144186
f(i26) = -1707,2854
f'(i26) = -3121281,8689
i27 = 0,0034479584144186 - -1707,2854/-3121281,8689 = 0,0029009762911042
Fehler Bound = 0,0029009762911042 - 0,0034479584144186 = 0,000547 > 0,000001
i27 = 0,0029009762911042
f(i27) = -95,7457
f'(i27) = -2778438,1608
i28 = 0,0029009762911042 - -95,7457/-2778438,1608 = 0,0028665160268461
Fehler Bound = 0,0028665160268461 - 0,0029009762911042 = 3,4E-5 > 0,000001
i28 = 0,0028665160268461
f(i28) = -0,3482
f'(i28) = -2758258,3326
i29 = 0,0028665160268461 - -0,3482/-2758258,3326 = 0,0028663898013544
Fehler Bound = 0,0028663898013544 - 0,0028665160268461 = 0 < 0,000001
Zins = 0,287%
Jahren Zins = 3,44%
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Hallo marcell-89,
> Es geht um die Effektivität einer Versicherung, angenommen
> man zahlt monatlich einen Betrag c=34,15 € über eine
> Laufzeit von n=25 Jahren. Nach Ablauf der Zahlung erhält
> man einen Betrag K=16203,67 € ausbezahlt.
>
> Welchen Zinssatz r (p.A.) wurde das eingezahlte Kapital
> verzinst?
> Hallo Leute,
>
> die o.g. Aufgabe bezieht sich auf einen reellen Fall
> welchen ich aus mir nicht bekannten Gründen einfach nicht
> schaffe zu lösen -.-
>
> Das Ziel ist es also herauszufinden wie der nachträgliche
> Effektivzins einer (Lebens)-Versicherung war. Habe mir so
> in meinem Kopf gedacht, dass dies eigentlich ziemlich
> simpel mit Hilfe Endwertformel zu berechnen sein sollte,
> aber irgendwie komm ich nicht drauf.
>
> Den Endwert einer konstanten Zahlung berechnet man ja wie
> folgt:
>
> [mm]K_{t}[/mm] = c * [mm]\bruch{((1+r)^n -1)}{r}[/mm]
>
> also sprachlich ausgedrückt: der Endwert einer Zahlung ist
> gleich die konstante Zahlung multipliziert mit dem
> Rentenendwertfaktor.
>
> Da c, [mm]K_{t}[/mm] und n bekannt war dachte ich, ich löse einfach
> die Gleichung nach r auf und schon habe ich den Zinssatz
> mit dem die Versicherung mein Kapital verzinst hat!
>
> Mein Ansatz war:
>
> [mm]K_{t}[/mm] = c * [mm]\bruch{((1+r)^n -1)}{r}[/mm] [ /c
>
>
> [mm]\bruch{K_{t}}{c}[/mm] = [mm]\bruch{((1+r)^n -1)}{r}[/mm] [ *r
>
>
> [mm]\bruch{K_{t}}{c}[/mm] *r = [mm](1+r)^n[/mm] -1 [ ^ [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
>
> [mm](\bruch{K_{t}}{c})^\bruch{1}{n} *r^\bruch{1}{n}[/mm] = (1+r)
> [mm]-1^\bruch{1}{n}[/mm] [ * [mm]r^-(\bruch{1}{n})[/mm]
>
>
> [mm](\bruch{K_{t}}{c})^\bruch{1}{n}= r^1[/mm] * [mm]r^-(\bruch{1}{n})[/mm]
>
>
>
> [mm](\bruch{K_{t}}{c})^\bruch{1}{n}= r^{1-(\bruch{1}{n})}[/mm] [
> ^n
>
>
>
> [mm]\bruch{K_{t}}{c}= r^{n-1}[/mm] [ ^ [mm]\bruch{1}{n-1}[/mm]
>
>
>
> [mm](\bruch{K_{t}}{c})^\bruch{1}{n-1}=[/mm] r
>
>
>
> r = [mm]\wurzel[n-1]{\bruch{K_{t}}{c}}[/mm]
>
>
> soweit so gut, aber wenn ich nun die Zahlen einsetze
> c=34,15 *12=409,80€ p.a.
>
> r = [mm]\wurzel[24]{\bruch{16203,67}{409,8}}[/mm] kommt 1.165584
> raus?!?!
>
> was soll mir das sagen? der Zins müsste doch bei ca. 3,7%
> liegen?!
>
> Kann mir jmd sagen welchen Fehler ich bei der Umformung
> gemacht habe bzw. ob und wenn nicht, weshalb das so nicht
> geht?
>
Die Gleichung läßt sich nicht explizit nach r auflösen.
> Vielen Dank schonmal vorab für eure Mühe
>
Gruss
MathePower
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Danke für die schnelle Antwort!! Könnten Sie mir auch noch ganz grob erklären weshalb man die Gleichung nicht nach r auflösen kann?
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Hallo marcell-89,
> Danke für die schnelle Antwort!! Könnten Sie mir auch
Wir sind hier alle per Du.
> noch ganz grob erklären weshalb man die Gleichung nicht
> nach r auflösen kann?
Das Polynom, welches aufzulösen ist, hat einen Grad größer als 4.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Sa 26.01.2013 | | Autor: | marcell-89 |
Klingt logisch! Danke dir :)
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