"Zinsrechnen" < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bei welchem Zinssatz verdoppelt sich ein Kapital nach 20 JAhren? |
Keine Ahnung. Hab schon alles mögliche versucht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Di 03.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
was weist du denn über Zinsen und sowas?
Du kennst doch bestimmt die Formel für die Zinseszinsen:
[mm] $K(t)=K_0\cdot p^t$
[/mm]
Diese Funktion gibt dir das Kapital nach t Jahren an.
Den Rest musst du jetzt nur noch logisch weiterdenken!
Wenn du noch Fragen hast, melde dich mit konkreten Fragen.
LG
Kroni
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Wir haben Zinseszinsen noch nicht gemacht, dass ist es ja.
Die Antwort von unserem Lehrer war: 1 Kapital und 1% Prozentsatz
Aber wie er darauf kommt weiß ich nicht, da man ja ne allgemeine Rechnung braucht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Di 03.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
na dann geb ich dir mal eine kurze Einführung, wie man auf die Formel kommt:
Du hast ein Konto, auf das du jährlich sagen wir 5% Zinsen bekommst.
Du Zahlst zum Zeitpunkt t=0 (also sozusagen heute) 100 ein und lässt das Geld einfach auf deinem Konto liegen, ohne etwas einzuzahlen oder auszuzahlen.
Nach einem Jahr (also t=1) bekommst du dann die 5% Zinsen auf dein Konto eingezahlt:
Das Kapital nach einem Jahr ist dann:
[mm] $K(1)=100+100\cdot 0.05=100(1+0.05)=100\cdot1.05=105$
[/mm]
Also letztendlich multiplizierst du einfach mit 1.05, damit du direkt das neue Kapital inklusive 5% Zinsen bekommst.
Am Ende des zweiten Jahres bekommst du wieder 5% Zinsen, allerdings jetzt nicht mehr auf die 100 sondern auf die 105!
Es gilt dann:
[mm] $K(2)=105\cdot [/mm] 1.05$
Die 105 sind doch durch die obige Rechnung entstanden, also:
[mm] $K(2)=\underbrace{100\cdot 1.05}_{=105}\cdot 1.05=100\cdot 1.05^2$
[/mm]
Diese Überlegung kannst du jetzt für drei vier fünf Jahre fortführen, und du wirst feststellen, dass sich dein Kapital nach der Formel
[mm] $K(t)=K_0\cdot p^t$ [/mm]
verhält.
Wenn du Zinsen auf dein Konto bekommmst, dann ist p>1 (denn sonst würde dein Kapital nicht wachsen).
p=1.05 heißt z.B., dass du 5% Zinsen bekommst, p=1.08 wäre dann 8% und 1.15 entsprechend 15% usw.
Jetzt versuch mal eine Rechnung zu starten.
Du hast also t=20 gegeben, und du suchst p.
Was weist du über K(20), also über das Kapital nach 20 Jahren?
LG
Kroni
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Also
K(20) = 100 x [mm] 120^{20} [/mm] = 3,83%?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Di 03.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
fast:
Dein Ansatz sollte lauten:
[mm] $K(20)=K_0\cdot p^20=2\cdot K_0$
[/mm]
[mm] K_0 [/mm] ist dein Startkapital und das soll sich ja nach 20 Jahren verdoppelt haben, so dass gilt:
[mm] $K(20)=2K_0$
[/mm]
Du siehst, p ist unabhängig von [mm] K_0!
[/mm]
Jetzt einfach mit der 20.ten Wurzel auflösen nach p.
LG
Kroni
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Also
K(20) = 200 und die 20 Wurzel ist ca. 1%
p = 1%?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Di 03.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, so kannst du das nicht sagen:
Es gilt doch:
[mm] $K(20)=2K_0$, [/mm] also in Worten: nach t=20 Jahren soll sich das Startkapital von [mm] K_0 [/mm] verdoppelt haben.
Es gilt:
[mm] $K(t)=K_0\cdot p^t$ [/mm] (s.h. erster Post).
Also hast du jetzt zwei Aussagen über K(20):
[mm] $K(20)=K_0\cdot p^{20}=2K_0 \gdw p^{20}=2 \gdw p=\sqrt[20]{2}$
[/mm]
Wenn du das mit dem [mm] K_0 [/mm] nicht so abstrakt siehst, dann denk dir für [mm] K_0 [/mm] meintwegen 100, dann stünde da:
[mm] $K(20)=100\cdot p^{20}=200$
[/mm]
Also im Endeffekt dann auch: [mm] $p^{20}=2$
[/mm]
LG
Kroni
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aha, d.h.
100 x [mm] p^{20} [/mm] = 200 |:100
[mm] p^{20} [/mm] = 2
also ist p= 2%
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 03.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
Nein, p ist der Prozensatz!
Es gilt doch
[mm] $p^{20}=2$ [/mm] Wie bekommst du jetzt das "hoch 20" weg? Genau, indem du auf beiden Seiten die 20.te Wurzel ziehst!
[mm] $\sqrt[20]{p^{20}}=\sqrt[20]{2} \gdw p=\sqrt[20]{2}$
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran!
LG
Kroni
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ach so,
also ist p = 1%
Wie gibt man die 20 Wurzel eigentlich in den Taschenrechner ein? Habs jetzt immer mit [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] gemacht
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Hallo,
ich denke, du hast jetzt verstanden: [mm] p^{20}=2, [/mm] das bdeutet [mm] p=\wurzel[20]{2}, [/mm] jetzt forme um [mm] p=2^{\bruch{1}{20}}, [/mm] benutze jetzt die Taste " [mm] y^{x} [/mm] " auf dem Taschenrechner, x ist dein Exponent [mm] \bruch{1}{20}, [/mm] setze ihn aber in Klammern oder rechne mit 0,05, du erhälst p [mm] \approx [/mm] 1,03526.... , damit erhälst du den Faktor, somit [mm] \apprndeox [/mm] 3,526.. % (Danke an Kroni, ich hatte es nicht zu Ende formuliert)
Steffi
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:23 Di 03.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
durch die Rechnugn ergibt sich, dass [mm] $p\approx1.0352649...$ [/mm] ist.
Das heißt aber nicht, dass der Zinssatz dann um die 1% ist! Das bedeutet, dass ich das Kapital bei einem Zinssatz von ca 3.53% nach 20 Jahren verdoppelt!
LG
Kroni
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