Zinsrechnung: Monatlich sparen < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Peter möchte 10.000 Euro in 50 Monaten sparen. Der Guthabenzins beträgt 0,2% p.m. (ca. 2,40 p.a).
a) Welche Rate muss er monatlich anlegen um nach den 50 Monaten die 10.000 Euro gespart zu haben.
b) Peter sind die Raten zu hoch. Wie lange müsste er sparen wenn er 50 Euro pro Monat sparen möchte?
c) Welchen Betrag würde Peter erreichen wenn er jeden Monat 60 Euro für 50 Monate spart?
Hinweis: Die Zinserträge werden zum Ende eines jeden Monats gutgeschrieben. |
Hi,
leider habe ich keine Ahnung wie ich bei der Aufgabe anfangen soll.
Die erste Frage die sich mir stellt ist bei einem Zinssatz von 0,2% p.m. kann 2,40 p.a. nicht ganz stimmen (steht ja auch ca. in der Aufgabenstellung), da die Zinsen am Ende eines Monats gutgeschrieben werden und man somit Zinseszins erhält. Ich hätte daher [mm] $1,002^{12}$ [/mm] gerechnet und komme auf 1,024265768 (-1=Zinssatz pro Jahr). Mit diesem Zinssatz würde ich dann rechnen um es genau zu machen. Das müsste stimmen oder?
a) Wie kann ich jetzt den monatlich zu zahlenden Betrag ausrechnen, dass Peter auf 10.000 Euro kommt.
Mir bereiten die Zinseszinen probleme. Über einen Tipp würde ich mich freuen! Ich denke, wenn ich das weiß, kann ich durch umstellen auch Aufgabenteil b+c) lösen.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mo 27.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da die Zinsen monatlich zugerechnet werden ist der effektive Jahreszins für dich nicht interressant, da du ja in Monaten rechnest, statt in Jahren.
du hast doch sicher eine Rechnung gelernt (für Jahre oder Monate, mit der man das Endkapital ausrechnet?
sonst musst du die Formel herleiten: Ende des ersten M 60*1,002
2.M (60+60*1.002)*1.002
[mm] 3.M(60+(60+60*1.002)*1.002))*1.002=60*(1+1.002+1.002^2+1.002^3)
[/mm]
50. Monat ?
bei unbekannter Rate setze statt 60 die Unbekannte r ein
Gruss leduart
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Hi leduart,
zunächst Danke für deine Antwort und die Herleitung! Doch diese Schreibweise kenne ich bzw. hab ich ja sogar mit der eigenen "Herleitung" (zwar nicht so mathematisch korrekt wie du es gemacht hast bzw. von beginn an) der jährlichen Zinsen fast beantwortet.
Ich würde es dann so rechnen:
Aufgabe a) Welche Rate muss er monatlich anlegen um nach den 50 Monaten die 10.000 Euro gespart zu haben (bei 0,2%p.m.)
50 Monate sparen => [mm] $1,002^{50}=1,105060554$
[/mm]
[mm] $\frac{10.000\ EUR}{1,105060554}=9049,277858\ [/mm] EUR$
[mm] $\frac{9049,277858\ EUR}{50\ Monate} \approx [/mm] 180,99\ EUR$
Aufgabe b) Peter sind die Raten zu hoch. Wie lange müsste er sparen wenn er 50 Euro pro Monat sparen möchte? (bei 0,2% p.m.)
[mm] $\frac{10.000\ EUR}{1,002^{x}}=50\ [/mm] EUR$
[mm] $\frac{10.000\ EUR}{50\ EUR}=1,002^{x}$
[/mm]
x sind die gesuchten Jahre. Wie ich das ganze jetzt aber auflösen kann, hab ich leider keine Ahung :( ggf. mit dem Logarithmus? Aber wie das geht, weiß ich leider nicht mehr.
Aufgabe c) Welchen Betrag würde Peter erreichen wenn er jeden Monat 60 Euro für 50 Monate spart? (bei 0,2 % Zinsen p.m.)
[mm] $1,002^{50} [/mm] = 1,105060554$
$1,105060554 * 60\ EUR * 50\ Monate [mm] \approx [/mm] 3315,18\ EUR$
Sind meine Rechnungen soweit richtig?
Danke für die Hilfe!
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Hallo KnockDown,
> Aufgabe c) Welchen Betrag würde Peter erreichen wenn er
> jeden Monat 60 Euro für 50 Monate spart? (bei 0,2 % Zinsen
> p.m.)
>
> [mm]1,002^{50} = 1,105060554[/mm]
>
> [mm]1,105060554 * 60\ EUR * 50\ Monate \approx 3315,18\ EUR[/mm]
>
>
> Sind meine Rechnungen soweit richtig?
Deine Berechnungen sind leider falsch.
Du rechnest hier das Guthaben aus, das man erhält, wenn man einmalig 3000 Euro (= [mm] 50*60 [/mm] Euro) für 50 Monate anlegt.
Den gleichen Fehler machst du auch bei den Aufgabenteilen a) und b).
Bei einem monatlichen Sparbetrag von 60 Euro hat man nach n Monaten mit Zinseszins folgenden Betrag angespart:
Sparbetrag nach n Monaten = 60 Euro [mm] * (1,002 + 1,002^1 + 1,002^2 + 1,002^3 + ... + 1,002^n) [/mm]
Tipp: Verwende jetzt die endliche geometrische Reihe, um diesen Ausdruck zu vereinfachen.
Endliche geometrische Reihe: [mm] \summe_{i=0}^{n} x^i [/mm] = 1 + x + [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + ... + [mm] x^n [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] 1
Noch ein Tipp: Beginne mit Aufgabenteil c). Dieser scheint mir ein bisschen einfacher zu sein als die anderen beiden. (Das Ergebnis von c) zur Kontrolle für dich: 3.158,12 Euro) Wenn du c) gelöst hast, sollten die anderen beiden Aufgabenteile auch kein Problem mehr sein...
Schöne Grüße
franzzink
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Hi franzzink,
danke für deine ausführliche Erklärung!
Leider weiß ich wirklich nicht wie ich den Ausdruck mithilfe der endlichen geom. Reihe vereinfachen soll.
Wenn ich Zahlen einsetze, komme ich bei deiner Reihe für n=50 und für x = 1,002 einsetze komme ich auf 53,63. Was ich damit aber anfangen kann, weiß ich nicht.
Kannst du mir bitte die Formel für a) und b) geben? Ich hab wirklich keine Ahnung wie ich das rechnen soll!
Ich würde mich darüber wirklich freuen, da mir die Zeit im Nacken sitzt.
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> Hi franzzink,
>
> danke für deine ausführliche Erklärung!
>
> Leider weiß ich wirklich nicht wie ich den Ausdruck
> mithilfe der endlichen geom. Reihe vereinfachen soll.
Du musst jetzt eben keine 50 Summanden mehr ausrechnen, sondern nur noch den Wert der geometrischen Reihe ausrechnen und davon dann eine "1" subtrahieren. Das ist doch eine Vereinfachung oder nicht?
> Wenn ich Zahlen einsetze, komme ich bei deiner Reihe für
> n=50 und für x = 1,002 einsetze komme ich auf 53,63. Was
> ich damit aber anfangen kann, weiß ich nicht.
Wenn du es noch nicht verstehst, empfehle ich dir nochmals ganz systematisch aufzuschreiben, welches Guthaben man nach 1 Monat, nach 2 Monaten, nach 3 Monaten usw. und schließlich nach n Monaten angespart hat - ganz so, wie es leduart in seiner Antwort schon angedeutet hat.
Das Ergebnis für das Sparguthaben nach n Monaten kannst du dann mit der endlichen geometrischen Reihe vergleichen. Dann sollte sich auch erschließen, wie sich die Rechnung vereinfacht.
Tipp: In der geometrischen Reihe steht - wie schon angedeutet - ein Summand "1" "zuviel". Der Wert 53,63 ist - bis auf einen Rundungsfehler - richtig. Davon musst du jetzt eben noch 1 subtrahieren.
> Kannst du mir bitte die Formel für a) und b) geben? Ich
> hab wirklich keine Ahnung wie ich das rechnen soll!
Für a) und b) gibt es keine neuen Formeln. Es funktioniert genauso mit der endlichen geometrischen Reihe.
> Ich würde mich darüber wirklich freuen, da mir die Zeit
> im Nacken sitzt.
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@franzzink: Ich finde es wirklich nett von dir, dass du mir so lange ausführliche Erlärungen schreibst, aber ich kann damit wirklich nichts anfangen. Ich weiß nicht wo ich ansetzen muss. Ich hab noch nicht mit geometrischen Reihen gearbeitet.
Zu Aufgabenteil a) hab ich jetzt ne Formel gefunden:
[mm] $r=K_n*\frac{i}{(1+i)*((1+i)^{n})-1}$
[/mm]
$r=10.000\ EUR * [mm] \frac{0,002}{(1+0,002)*((1+0,002)^{50})-1}=189,99\ [/mm] EUR$
Stimmt das Ergebnis?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mo 27.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du die formel denn eingesehen?
wir hatten doch dass nach 50Monaten mit der Rate r man hat
[mm] K=\r*summe_{n=0}^{50}1.002^n [/mm] -1
die Summe hat dir fr. aufgeschrieben. warum schreibst du [mm] 1.002^{51} [/mm] so auf, [mm] 1.002^1*1.002^{50}??
[/mm]
die -1 steht nicht im Nenner!
du hast [mm] r=K/(summe_{n=0}^{50}1.002^n [/mm] -1)
da hast du mit den Klammern was falsch, dein Ergebnis ist aber richtig.
warum gehst du nicht auf psts ein?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Mo 27.08.2012 | | Autor: | KnockDown |
Hi leduart,
stimmt ich bin nicht auf jede Frage eingegangen. Ich rechne jetzt nochmal alles in Ruhe nach und versuche eure Herleitung zu verstehen. Ist wohl wirklich das Beste anstelle Formeln zu verwenden, bei denen ich nicht mal weiß wie diese zustande gekommen sind.
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| Aufgabe | Peter möchte 10.000 Euro in 50 Monaten sparen. Der Guthabenzins beträgt 0,2% p.m. (ca. 2,40 p.a).
c) Welchen Betrag würde Peter erreichen wenn er jeden Monat 60 Euro für 50 Monate spart?
Hinweis: Die Zinserträge werden zum Ende eines jeden Monats gutgeschrieben. |
Ich danke euch Beiden für die Hilfe! So jetzt nochmal in Ruhe nachgedacht und "nachvollzogen"
Jeweiliger Kontostand am Ende eines Monats:
1. Monat: $60\ EUR [mm] \cdot{}1,002=60\ [/mm] EUR,12\ EUR$
2. Monat: $(60\ EUR [mm] \cdot{}1,002)*1,002 [/mm] + 60\ EUR [mm] \cdot{}1,002=60\ [/mm] EUR [mm] \cdot{}1,002^{2} [/mm] + 60\ EUR [mm] \cdot{}1,002 [/mm] = 60\ [mm] EUR*(1,002^2+1,002)=120,36\ [/mm] EUR$
3. Monat: $(60\ EUR [mm] \cdot{}1,002^{2})*1,002 [/mm] + (60\ EUR [mm] \cdot{}1,002)*1,002 [/mm] + 60\ EUR [mm] \cdot{}1,002 [/mm] = 60\ [mm] EUR*1,002^3 [/mm] + 60\ [mm] EUR*1,002^2 [/mm] + 60\ EUR*1,002 = [mm] (1.002+1.002^2+1.002^3) [/mm] * 60\ EUR = 180,72\ EUR$
Jetzt sehe ich, dass dies einem "Muster" entspricht:
$60\ EUR * [mm] \summe_{i=0}^{n} x^i [/mm] $
Der oben stehende Summenausdruck entspricht diesem Bruch:
$Betrag * [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] = 60\ EUR * [mm] \bruch{1-1,002^{50+1}}{1-1,002} [/mm] = 3218,12\ EUR$ Da jedoch die "1" zu viel ist, ziehe ich diese 60 EUR wieder ab und erhalte das Kontrollergebnis von franzzink i. H. v. 3158,12 EUR
Stimmt das soweit?
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| Aufgabe | Peter möchte 10.000 Euro in 50 Monaten sparen. Der Guthabenzins beträgt 0,2% p.m. (ca. 2,40 p.a).
a) Welche Rate muss er monatlich anlegen um nach den 50 Monaten die 10.000 Euro gespart zu haben. |
Ausgehend von dem (hoffentlich) richtig hergeleiteten Teil der Aufgabe c) berechne ich jetzt nun Aufgabenteil a).
Die "Gleichung" aus dem Teil c)
$ Betrag [mm] \cdot{} (\bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] - 1) = 60\ EUR [mm] \cdot{} (\bruch{1-1,002^{50+1}}{1-1,002} [/mm] - 1) = 3158,12 EUR $
schreibe ich jetzt um in (r = Rate --> gesucht):
$ [mm] \red{r} [/mm] \ EUR [mm] \cdot{} (\bruch{1-1,002^{50+1}}{1-1,002} [/mm] - 1) =10.000\ EUR $
$ [mm] \red{r} [/mm] \ EUR = [mm] \bruch{10.000\ EUR}{(\bruch{1-1,002^{50+1}}{1-1,002} - 1)} [/mm] = 189,99\ EUR$
Wenn der Taschenrechner Summenformeln ausrechnen kann genügt auch:
$ [mm] \red{r}\ [/mm] EUR = [mm] \bruch{10.000\ EUR}{\summe_{i=0}^{n} x^i} [/mm] = 189,99\ EUR$
Dieses Ergebnis stimmt jetzt! :)
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> Peter möchte 10.000 Euro in 50 Monaten sparen. Der
> Guthabenzins beträgt 0,2% p.m. (ca. 2,40 p.a).
> c) Welchen Betrag würde Peter erreichen wenn er jeden
> Monat 60 Euro für 50 Monate spart?
> Hinweis: Die Zinserträge werden zum Ende eines jeden
> Monats gutgeschrieben.
>
> Ich danke euch Beiden für die Hilfe! So jetzt nochmal in
> Ruhe nachgedacht und "nachvollzogen"
> Jeweiliger Kontostand am Ende eines Monats:
> 1. Monat: [mm]60\ EUR \cdot{}1,002=60\ EUR,12\ EUR[/mm]
>
> 2. Monat: [mm](60\ EUR \cdot{}1,002)*1,002 + 60\ EUR \cdot{}1,002=60\ EUR \cdot{}1,002^{2} + 60\ EUR \cdot{}1,002 = 60\ EUR*(1,002^2+1,002)=120,36\ EUR[/mm]
>
> 3. Monat: [mm](60\ EUR \cdot{}1,002^{2})*1,002 + (60\ EUR \cdot{}1,002)*1,002 + 60\ EUR \cdot{}1,002 = 60\ EUR*1,002^3 + 60\ EUR*1,002^2 + 60\ EUR*1,002 = (1.002+1.002^2+1.002^3) * 60\ EUR = 180,72\ EUR[/mm]
>
>
> Jetzt sehe ich, dass dies einem "Muster" entspricht:
>
> [mm]60\ EUR * \summe_{i=0}^{n} x^i[/mm]
>
> Der oben stehende Summenausdruck entspricht diesem Bruch:
>
> [mm]Betrag * \bruch{1-x^{n+1}}{1-x} = 60\ EUR * \bruch{1-1,002^{50+1}}{1-1,002} = 3218,12\ EUR[/mm]
> Da jedoch die "1" zu viel ist, ziehe ich diese 60 EUR
> wieder ab und erhalte das Kontrollergebnis von franzzink i.
> H. v. 3158,12 EUR
>
> Stimmt das soweit?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Stimmt soweit.
Du kannst es dir noch ein wenig einfacher machen und schreiben:
[mm]Betrag * (\bruch{1-x^{n+1}}{1-x} - 1) = 60\ EUR * (\bruch{1-1,002^{50+1}}{1-1,002} - 1) = 3158,12 EUR[/mm]
Jetzt steht der Ausdruck "- 1" an der richtigen Stelle in der Gleichung und du tust dir damit wahrscheinlich auch bei den anderen beiden Aufgabenteilen leichter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mo 27.08.2012 | | Autor: | leduart |
Jallo
es stimmt nur fast, die summe fängt nicht bei 0 an also mit [mm] 1.002^0 [/mm] sondern bei i=1. deshalb musst du bei der Summenformel die bei i=1 anfängt noch ne 1 abziehen.
also
[mm] $\summe_{i=1}^{50}x^i= \bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] -1$
Gruss leduart
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| Aufgabe | Peter möchte 10.000 Euro in 50 Monaten sparen. Der Guthabenzins beträgt 0,2% p.m. (ca. 2,40 p.a).
b) Peter sind die Raten zu hoch. Wie lange müsste er sparen wenn er 50 Euro pro Monat sparen möchte? |
So in diesem Aufgabenteil ist jetzt die Dauer gesucht.
Ich gehe wieder von dieser Formel aus:
$ 50\ EUR [mm] \cdot{} (\bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] - 1) = 10.000\ EUR $
$ [mm] x^{n+1} [/mm] = [mm] -(((\bruch{10.000\ EUR}{50\ EUR } [/mm] + 1) * (1-x)) -1)$
Gesucht ist jetzt das $n$
Hm, ab hier weiß ich leider nicht wie ich auf $n$ umstelle. Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Alternativer Weg: Da die meisten Taschenrechner mittlerweile mit Summenformeln umgehen und es in einem Test vorallem um die Geschwindigkeit geht würde ich gerne die Aufgabe alternativ mit
$ [mm] \summe_{i=0}^{n} x^i [/mm] = [mm] \bruch{10.000\ EUR}{50\ EUR}$ [/mm] lösen. Auch hier ist n gesucht, jedoch wüsste ich nicht wie ich die Summenformel umstellen kann.
Danke für eure Hilfe!
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Hallo,
vorweg mal eine kleine Anmerkung:
ich hab' den Thread überflogen und den Eindruck gewonnen, daß Dir überhaupt nicht klar ist, unter welches Thema der zugehörigen Unterrichtsreihe/Vorlesung die Aufgabe einzuordnen ist.
Diese Einordnung ist aber wichtig, denn Ihr Wiwis u.ä. tickt ja i.d.R. so, daß Ihr Fertigformeln parat habt, in welche Ihr dann einsetzt.
Und um die richtige Formel zu zücken, braucht man das richtige Schlagwort.
Schauen wir die Aufgabe also nochmal an:
es werden hier über einen längeren Zeitraum in regelmäßigen Abständen gleichbleibende Beträge eingezahlt.
Das ist Rentenrechnung!
Und zur Rentenrechnung habt Ihr in der Vorlesung unter Garantie Formeln notiert und zwar für Rentenbarwert und Rentenendwert, jeweils vorschüssig und nachschüssig.
Diese Formeln kommen natürlich aus den im Thread vorgestellten Überlegungen mit der geometrischen Reihe, aber Du brauchst diese Herleitung nicht jedesmal zu machen - Du mußt sie im Grunde noch nicht einmal verstehen für die Lösung der Dir vorliegenden Aufgabe.
Wichtig ist die Erkenntnis, daß es sich um Rentenrechnung handelt, und das Zücken der passenden Formel.
> Peter möchte 10.000 Euro in 50 Monaten
in jeweils gleichen Raten von r Euro
> sparen. Der
> Guthabenzins beträgt 0,2% p.m. (ca. 2,40 p.a).
[...]
> b) Peter sind die Raten zu hoch. Wie lange müsste er
> sparen wenn er 50 Euro pro Monat sparen möchte?
> So in diesem Aufgabenteil ist jetzt die Dauer gesucht.
Ja.
Er spart in gleichen Raten von r=50€, möchte einen Rentenendwert von [mm] R_n=10000€ [/mm] erreichen.
Der Zinssatz pro Zinsperiode (hier:1 Monat) beträgt i=0.2%,
und er möchte wissen wie lange er sparen muß, also die Anzahl n der Zinsperioden.
Wir dürfen davon ausgehen, daß er die Raten jeweils am Monatsanfang einzahlt.
Zu arbeiten ist hier also mit der Formel für den Rentenendwert/vorschüssig, welche nach n umgestellt werden muß.
Du solltest jetzt unbedingt mal schauen, ob Du hierzu in Deinen Unterlagen Passendes findest - möglicherweise gibt's ja sogar ein Formelblatt, welches Dich zur Klausur begleiten darf.
Unter "Rentenrechnung" findest Du die Formeln auch in Form einer übersichtlichen Tabelle in der wikipedia.
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Ich gehe nun auf das ein, was Du bisher getan hast.
>
> Ich gehe wieder von dieser Formel aus:
>
> [mm]50\ EUR \cdot{} (\bruch{1-x^{n+1}}{1-x} - 1) = 10.000\ EUR[/mm]
Ja, diese Formel stimmt, anzumerken wäre, daß x=1.002 und daß n in Monaten gemessen wird.
>
> [mm]x^{n+1} = -(((\bruch{10.000\ EUR}{50\ EUR } + 1) * (1-x)) -1)[/mm]
=$-(200 + 1) * (1-1.002) +1$
=201*0.002 +1
=1.402
Zu lösen ist also [mm] 1.002^{n+1} [/mm] = 1.402.
Wenn man an die Hochzahl will, geht das immer mit dem Logarithmus:
[mm] ln(1.002^{n+1}) [/mm] = ln(1.402)
Logarithmusgesetze:
(n+1)*ln(1.002)=ln(1.402),
und zu Ende kannst Du es jetzt selbst bringen.
LG Angela
>
> Gesucht ist jetzt das [mm]n[/mm]
>
> Hm, ab hier weiß ich leider nicht wie ich auf [mm]n[/mm] umstelle.
> Könnt ihr mir einen Tipp geben?
>
>
> Alternativer Weg: Da die meisten Taschenrechner
> mittlerweile mit Summenformeln umgehen und es in einem Test
> vorallem um die Geschwindigkeit geht würde ich gerne die
> Aufgabe alternativ mit
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} x^i = \bruch{10.000\ EUR}{50\ EUR}[/mm] lösen.
> Auch hier ist n gesucht, jedoch wüsste ich nicht wie ich
> die Summenformel umstellen kann.
>
>
> Danke für eure Hilfe!
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Hi Angela,
vielen vielen Dank für diese super Erklärung! So http://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung mit der Formel und dem Vorgehen beim Umstellen bzw. den ln-Gesetzen... komme ich zu folgendem Ergebnis!
Renten vorschüssig eingezahlt:
[mm] $EW=r*\bruch{q*(q^n-1)}{q-1}$
[/mm]
[mm] $q^n=\bruch{EW*(q-1)}{r*q}+1$
[/mm]
[mm] $ln(q)*n=ln(\bruch{EW*(q-1)}{r*q}+1)$
[/mm]
[mm] $n=\bruch{ln(\bruch{EW*(q-1)}{r*q}+1)}{ln(q)}$
[/mm]
[mm] $n=\bruch{ln(\bruch{10.0000*(1,002-1)}{50\ EUR*1,002}+1)}{ln(1,002)} [/mm] = 168,12\ Monate$ also 169 Monate sparen.
Stimmt das?
Danke nochmal für die viele gute Hilfe!
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> Hi Angela,
>
> vielen vielen Dank für diese super Erklärung! So
> http://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung mit der Formel
> und dem Vorgehen beim Umstellen bzw. den ln-Gesetzen...
> komme ich zu folgendem Ergebnis!
>
> Renten vorschüssig eingezahlt:
>
> [mm]EW=r*\bruch{q*(q^n-1)}{q-1}[/mm]
>
> [mm]q^n=\bruch{EW*(q-1)}{r*q}+1[/mm]
>
> [mm]ln(q)*n=ln(\bruch{EW*(q-1)}{r*q}+1)[/mm]
>
> [mm]n=\bruch{ln(\bruch{EW*(q-1)}{r*q}+1)}{ln(q)}[/mm]
>
> [mm]n=\bruch{ln(\bruch{10.0000*(1,002-1)}{50\ EUR*1,002}+1)}{ln(1,002)} = 168,12\ Monate[/mm]
> also 169 Monate sparen.
>
> Stimmt das?
Hallo,
ja, das hatte ich vorhin auch ausgerechnet.
LG Angela
>
>
> Danke nochmal für die viele gute Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Di 28.08.2012 | | Autor: | KnockDown |
Danke! :)
Es gibt noch eine Erweiterung der Aufgabe und zwar um Steuern die zu zahlen sind, das versuche ich jetzt noch selbst auf dem Block zu rechnen und werde es auch nochmal online stellen. Vllt. hast du nochmal Zeit dann da einen Blick drüber zu werfen :)
Danke nochmal!!!
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| Aufgabe | c) Welchen Betrag würde Peter erreichen wenn er jeden Monat 60 Euro für 50 Monate spart? Jetzt die Belastung durch Steuern berücksichtigt werden. Er stellt keinen Freistellungsauftrag!
Der Abgeltungsteuersatz beträgt 25 % zuzüglich Solidaritätszuschlag (5,5 % der Abgeltungsteuer). |
Meine Überlegungen:
1. Die Zinsen werden monatlich von der Bank an das Finanzamt abgeführt.
2. Daher kann ich die Sache nicht mehr Vorschüssig betrachten, da ja die Steuern am Ende eines Monats abgeführt werden.
3. Komisch finde ich aber, dass man sozusagen der Sparbetrag i. H. v. 50 Euro jeden Monat am Anfang eingezahlt wird. d. h. es werden die Steuern für nachschüssig abgezogen, die Zinsen aber vorschüssig berechnet?
4. Die Höhe der Abgaben (ohne Kirchensteuer) ist [mm] $25\% [/mm] + [mm] 25\%*5,5\% [/mm] = [mm] 26,375\%$
[/mm]
5. Man möchte den Betrag, der am Ende der 50 Monate erreicht (aber jetzt mit den Steuern die monatlich abgezogen werden)
http://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung
Ich hätte jetzt die Formel für den Endwert, nachsüssig verwendet.
$EW = [mm] r*\bruch{q^n - 1}{p - 1}$
[/mm]
Das Problem: Wie erreiche ich eine Kombination aus vorschüssiger Einzahlung des monatlichen Sparbetrags und eines Abzugs der Steuer am Ende des Monats wenn die Zinsen gut geschrieben werden?
Eine Idee wäre es wieder Hand zu Fuß zu machen:
Da man ja von den 2% Zinsen 26,375% abdrücken muss, erhält man nur noch (0,002 *(1-0,26375)) = 0,0014725 = 1,4725% Zinsen)
3. Monat: $ (60\ EUR [mm] \cdot{}1,0014725^{2})\cdot{}1,0014725+ [/mm] (60\ EUR [mm] \cdot{}1,0014725)\cdot{}1,0014725+ [/mm] (60\ EUR [mm] \cdot{}1,0014725) [/mm] = 60\ [mm] EUR\cdot{}1,0014725^3 [/mm] + 60\ [mm] EUR\cdot{}1,0014725^2 [/mm] + 60\ [mm] EUR\cdot{}1,0014725= (1.0014725+1.0014725^2+1.0014725^3) \cdot{} [/mm] 60\ EUR$
Allgemein:
$60\ EUR [mm] \cdot{} \summe_{i=1}^{50} 1.0014725^i [/mm] = 3115,40\ EUR$
Bin mir nur nicht 100%ig sicher ob die Summe so läuft, wegen dem Nachschüssig.
Wenn ich die Formel nehme:
$EW = [mm] r*\bruch{q^n - 1}{p - 1} [/mm] = 60\ EUR * [mm] \bruch{1.0014725^50 - 1}{1.0014725 - 1} [/mm] = 3110,82\ EUR$
Ich hab auch versucht die Summen-Formel die Anzahl der "i" zu ändern, jedoch komme ich nicht drauf, so dass die Ergebnisse übereinstimmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Di 28.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sowohl die Zinsen, als auch die Steuer werden jeweils am Monatsende fällig. Deshalb kannst du einfach die Zinsen um die 26,..%vermindern
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Di 28.08.2012 | | Autor: | KnockDown |
Hi.
danke für deine Antwort. Doch leider weiß ich immer noch nicht, ob und welche Rechnung richtig ist bzw. warum eine falsch ist.
Danke aber für deine Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 28.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig ist die Summe von i=1 bis 50.
das ergebnis hab ich nicht nachgerechnet.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Mi 29.08.2012 | | Autor: | KnockDown |
Danke!
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