Zorns Lemma + Wohlordnungssatz < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe MengetheoretikerInnen,
mir schwebt schon lange eine Konstruktion vor Augen, die in meinen Augen zu einem Widerspruch
zum Auswahlaxiom bzw. zur Aquivalenz zwischen Auswahlaxiom, Zorns Lemma und dem Wohlordnungssatz führt und den ich bisher alleine nicht auflösen konnte. Ich hatte mich schon einmal an einen meiner Professoren gewandt, aber der konnte erst einmal auch keinen Fehler finden. Dann wollte ich ihn aber auch nicht weiter damit beschäftigen. Daher wende ich mich an euch, vielleicht findet sich der ein oder andere Interessierte, der sich meine Idee anschauen mag. Ich habe alles recht ausführlich getecht und als Pdf angehängt.
Im Grundsatz geht es darum eine neue teilweise Ordnung über überabzählbaren Mengen zu definieren und den Unterschied zwischen abzählbaren und überabzählbaren Mengen auszunutzen...
Für Ideen, Anregungen, auch an wen ich mich wenden könnte, bin ich dankbar
Grüße
Skorpinus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Sa 27.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> http://rapidshare.com/files/356632982/zorns_lemma.pdf
Rapdishare ist der größte Schrott. Wenn das pdf wirklich von dir ist (du also die Urheberrehcte hast), lade es doch bitte als Anhang hoch.
> Im Grundsatz geht es darum eine neue teilweise Ordnung
> über überabzählbaren Mengen zu definieren und den
> Unterschied zwischen abzählbaren und überabzählbaren
> Mengen auszunutzen...
Ordnungen über alle überabzählbare Mengen? Das sind schnell Klassen ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Skorpinus |
Hallo SEcki,
ich hatte die Funktion tatsächlich nicht gesehen. Ich habs jetzt nachgeholt und direkt angehängt.
Grüße
Skorpinus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
vielen Dank für deinen interessanten Beitrag! Super, dass du das so ausführlich ausgearbeitet hast!
Wenn ich nichts übersehen habe, stimmt deine Argumentation mit einer Ausnahme, die alles kaputt macht: Satz 11 ist falsch. Dein Beweis scheitert am letzten Satz: I.A. ist nicht jedes [mm] $B\in [/mm] K$ ein [mm] $A_n$.
[/mm]
Bevor ich zu den Gründen komme, möchte ich eine Vereinfachung vornehmen:
Es steht $X$ kanonisch in Bijektion zur Menge [mm] $\{t\in R\;|\;T_t\mbox{ überabzählbar}\}$ [/mm] mittels [mm] $A\mapsto\operatorname{min}A$ [/mm] und [mm] $t\mapsto T_t$. [/mm] Indem wir diese Bijektion als Identifizierung auffassen (oder gleich X so definieren), vereinfacht sich die Ordnung [mm] $\prec$ [/mm] zu [mm] $t_1\prec t_2\gdw t_1\le t_2\wedge [t_1,t_2]\mbox{ höchstens abzählbar}$. [/mm] Dabei sei [mm] $[t_1,t_2]=\{t\in R\;|\;t_1\le t\le t_2\}$.
[/mm]
Nun zu einem Gegenbeispiel: Wir konstruieren also eine überabzählbare Kette, bei der der Abstand zwischen je zwei Elementen abzählbar ist.
Für [mm] $t\in [/mm] R$ sei [mm] $U_t:=\{r\in R\;|\;r\le t\}$ [/mm] die Menge aller Elemente von R, die [mm] $\le [/mm] t$ sind.
Wir betrachten nun die Kette (!) [mm] $K=\{t\in R\;|\;U_t\mbox{ höchstens abzählbar}\}\subset [/mm] X$. Sollte $K=R$ sein, wäre die Überabzählbarkeit von K schon gezeigt. Anderenfalls ist [mm] $R\setminus [/mm] K$ nicht leer und besitzt damit ein kleinstes Element [mm] $t\*$. [/mm] Es gilt [mm] $t\le t\*$ [/mm] für alle [mm] $t\in [/mm] K$, denn sonst wäre [mm] $t\*\le [/mm] t$ für ein [mm] $t\in [/mm] K$ und somit auch [mm] $t\*\in [/mm] K$. Damit prüft man [mm] $K=U_{t\*}\setminus \{t\*\}$ [/mm] nach. Da [mm] $U_{t\*}$ [/mm] überabzählbar ist, ist auch K überabzählbar, was zu zeigen war.
Mit der von dir im Beweis zu Satz 11 konstruierten Folge der [mm] $A_n$ [/mm] (identifiziert mit gewissen [mm] $t_n\in [/mm] R$) deckst du nur den Anfang von K ab: Schon das kleinste Element $t'$ von [mm] $R\setminus\{t_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] ist ein Element von R, dass keinem [mm] $t_n$ [/mm] entspricht, obwohl es in der Kette K liegen kann (in meinem Beispiel ist das der Fall). (Es lassen sich übrigens problemlos auch abzählbare Ketten K konstruieren, so dass [mm] $t'\in [/mm] K$ gilt.)
Viele Grüße
Tobias
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Lieber Tobias,
vielen Dank für deine Antworten, wir sind hier genau bei dem springenden Punkt angelangt. Ich bin ganz aufgeregt 
Zu erst zu deiner Identifizierung, das macht es natürlich um einiges angenehmer, das hätte ich auch direkt so schreiben können -.- :)
Zu erst zu deiner Anschauung. Genau diese habe ich auch genutzt, als ich mit dem Beweis angefangen habe. Allerdings ist es hier der fundamentale Unterschied zwischen endlich und abzählbar, den ich mir ja in meinem Beweis zu nutze mache:
Ich verstehe, warum man für den Fall endlichen Abstandes in den abzählbaren Bereich kommen kann, allerdings sehe ich noch nicht, dass wir mit abzählbar vielen abzählbaren Objekten in den überabzählbaren Bereich kommen können. Hierzu auch:
https://matheraum.de/read?t=509518
Was dein Gegenbeispiel angeht, so kann ich deiner Argumentation folgen, allerdings verstehe ich nicht warum "$ [mm] U_{t*} [/mm] $ überabzählbar" überhaupt sein kann!
Als erste Frage daher: Sehe ich das richtig, dass es hier tatsächlich überabzählbar viele Mengen [mm] $U_t$ [/mm] gibt (die jeweils nur höchstens abzählbar viele Elemente, die alle aufsteigend bis t sind, haben).
Da wäre mir die alternative, dass das Wohlordnungsprinzip falsch ist, und man an der Stelle einfach kein kleinstes Element wählen kann vom Gefühl her lieber...
Ohne den Grundgedanken, dass man da im abzählbaren Bereich bleibt, macht meine Konstruktion in der Tat wenig Sinn. Ich werd auf jeden Fall weiter darüber nachdenken.
Liebe Grüße
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> vielen Dank für deine Antworten, wir sind hier genau bei
> dem springenden Punkt angelangt. Ich bin ganz aufgeregt
>
Das war ich auch, als ich deine Argumentation las!
> Zu erst zu deiner Anschauung. Genau diese habe ich auch
> genutzt, als ich mit dem Beweis angefangen habe. Allerdings
> ist es hier der fundamentale Unterschied zwischen endlich
> und abzählbar, den ich mir ja in meinem Beweis zu nutze
> mache:
> Ich verstehe, warum man für den Fall endlichen Abstandes
> in den abzählbaren Bereich kommen kann, allerdings sehe
> ich noch nicht, dass wir mit abzählbar vielen abzählbaren
> Objekten in den überabzählbaren Bereich kommen können.
Tun wir das? Welche abzählbar vielen Objekte meinst du?
> Hierzu auch:
> https://matheraum.de/read?t=509518
Der Zusammenhang zu diesem Thread ist mir noch nicht klar.
> Was dein Gegenbeispiel angeht, so kann ich deiner
> Argumentation folgen, allerdings verstehe ich nicht warum "[mm] U_{t*}[/mm]
> überabzählbar" überhaupt sein kann!
>
> Als erste Frage daher: Sehe ich das richtig, dass es hier
> tatsächlich überabzählbar viele Mengen [mm]U_t[/mm] gibt (die
> jeweils nur höchstens abzählbar viele Elemente, die alle
> aufsteigend bis t sind, haben).
Ja. Genauso wie die Teilmengen [mm] $\{1,2,3,\ldots,n\}$ [/mm] der natürlichen Zahlen unendlich viele (im Sinne der Inklusion von Mengen) aufsteigend angeordnete Mengen sind, die jeweils nur endlich viele Elemente haben.
> Da wäre mir die alternative, dass das Wohlordnungsprinzip
> falsch ist, und man an der Stelle einfach kein kleinstes
> Element wählen kann vom Gefühl her lieber...
Das gleiche Problem wirst du auch ohne Wohlordnungsprinzip haben. Auch ohne Wohlordnungsprinzip gibt es Ordinalzahlen (spezielle wohlgeordnete Mengen) und darunter auch überabzählbare. Eine solche kann dann die Rolle von R einnehmen und du stehst vor dem gleichen Problem.
Aufgrund der Analogie zur Situation im Endlichen statt Abzählbaren, empfinde ich die Gegebenheiten gar nicht mal als kontraintuitiv. Aber betrachte mal folgendes Beispiel, dass ich sehr wohl als überraschend empfinde, da man diese Situation vom Endlichen her nicht kennt. Es braucht nur die reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Ordnung und hat nichts mit dem Auswahlaxiom zu tun!
[mm] $\IQ$ [/mm] ist bekanntlich abzählbar. Wir betrachten die Potenzmenge von [mm] $P(\IQ)$ [/mm] von [mm] $\IQ$ [/mm] mit der Inklusion von Mengen als partieller Ordnung. Dann gibt es in [mm] $P(\IQ)$ [/mm] eine überabzählbare Kette! Obwohl wir nur abzählbar viele rationale Zahlen zur Verfügung haben, können wir also überabzählbar viele Mengen rationaler Zahlen angeben, so dass von je zweien eine der beiden die andere umfasst! Ich hätte das vermutlich nicht geglaubt, wenn ich nicht gesehen hätte, wie einfach man eine solche Kette erhält:
Sei [mm] $\le$ [/mm] die übliche Ordnung auf den reellen Zahlen. Wir definieren für [mm] $x\in\IR$ [/mm] die Menge [mm] $C_x:=\{q\in\IQ\;|\;q\le x\}$. [/mm] Tatsächlich bildet [mm] $K=\{C_x\;|\;x\in\IR\}$ [/mm] eine Kette in [mm] $P(\IQ)$, [/mm] die überabzählbar ist, da [mm] $\IR\to K,x\mapsto C_x$ [/mm] eine Bijektion liefert.
Hat das deine Irritationen beseitigt oder verstärkt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Sa 27.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]\le[/mm] die übliche Ordnung auf den reellen Zahlen. Wir
> definieren für [mm]x\in\IR[/mm] die Menge [mm]C_x:=\{q\in\IQ\;|\;q\le x\}[/mm].
> Tatsächlich bildet [mm]K=\{C_x\;|\;x\in\IR\}[/mm] eine Kette in
> [mm]P(\IQ)[/mm], die überabzählbar ist, da [mm]\IR\to K,x\mapsto C_x[/mm]
> eine Bijektion liefert.
Ich finde das ein tolles Beispiel.
SEcki
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tobias,
vielen Dank für deine weitere Antwort. Das ist ja absolute Zauberei, was mit der Kette in $ P(\IQ) $ passiert! Das hätte ich so nicht für möglich gehalten.
Ich habe jetzt noch einmal eine Nacht darüber geschlafen und mir folgendes überlegt:
Zu ersteinmal ist meine Widerspruchsidee ziemlich äquivalent zu deinem Gegenbeispiel, in beidem läuft es darauf hinaus das Wohlordnungsprinzip auszunutzen um ein kleinstes Element zu finden, nachdem man abzählbar viele Elemente entfernt hat. Ich bin nur nie auf die Idee gekommen, die nach unten abzählbaren Mengen zu betrachten...
Dein Kettenbeispiel in $ P(\IQ) $ leuchtet mir ein, allerdings ist hier anders als bei den $U_t$ meiner Meinung nach noch nicht der Trumpf der Wohlordnung vollständig ausgespielt.
Vielleicht lässt die Konstruktion $ U_t:=\{r\in R\;|\;r\le t\} $ ja nur endliche bzw überabzählbare Mengen zu und es gibt keine t bzw genau ein t so dass $U_t$ abzählbar ist, insbesondere wenn man nicht ausschließt, dass $r \neq t$, aber auch sonst...
Ich beziehe mich jetzt wieder auf deine ursprüngliche Antwort:
Gegeben sei auf der einen Seite der Beweis $ U_{t*} $ ist überabzählbar und damit auch K überabzählbar.
Auf der anderen Seite möchte ich doch ganz frech behaupten (wenn wir die endlichen $U_t$ obda ignorieren), dass es überhaupt nur eine Menge $U$ gibt, derart, dass U abzählbar ist und jedes Element, das in der Ordnung kleiner einem $u \in U$ ist, auch enthalten ist, also $\forall u \in U : \forall r \in R, r \leq u : r \in U$.
$U$ ist ja jetzt derart, dass $Min(U) = Min(R)$ und $Min(U-Min(U)) = Min(R-Min(R))$ und induktiv so weiter, nur dass U nur die ersten abzählbar vielen Elemente der Totalordnung enthält. In jedem Fall finden wir nach Definition eine Bijektion zwischen U und den natürlichen Zahlen. Angenommen es gäbe eine weitere unterschiedliche Menge $U'$ mit diesen Eigenschaften, dann folgt aus der eindeutigen Reihenfolge durch die Totalordnung, dass $Min(U') = Min(U)$ usw. Dadurch dass wir jeweils eine Bijektion zu den natürlichen Zahlen haben, sollten hier beide Mengen gleich sein. Denn jedes Element aus $U$ bzw $U'$ ist bijektiv zu ein und der selben natürlichen Zahl und damit gilt für jedes Element, dass es in beiden enthalten ist.
Dass die Konstruktion $U_t:=\{r\in R\;|\;r\le t\}$ tatsächlich mehr als eine Menge liefern kann, bereitet mir gerade ziemliches Kopfzerbrechen.
Wenn alles totalgeordnet unten anfängt, jeweils vollständig alle Elemente die folgen enthält und ich dann $U$ und $U'$ respektive ein abzählbares $U_t$ von unten vergleiche, wieso komme ich dann nicht darauf, dass die Mengen gleich sind?
Ich will es noch mal komplett sauber aufschreiben. Abzählbar heiße immer abzählbar unendlich, endliche Mengen bringen keine Erkenntnis.
Sei $R$ überabzählbar, es gelte Wohlordnungsprinzip, so dass jede nichtleere TM ein eindeutiges kleinstes Element hat.
Betrachte die Elemente $1:\hat= Min(R)$, $2:\hat= Min(R \setminus Min(R))$, usw.
Definiere $U:= \bigcup_{n=1}^{\infty}n$, U ist abzählbar.
Also $R \setminus U$ überabzählbar, hat kleinstes Element $u:= Min(R \setminus U)$
Also $U = \{r \in R, r \leq u , r \neq u\}$ ist abzählbar.
Betrachte nun alle $U_{t} = \{r \in R ; r \leq t, r \neq t\}$ mit $U_t \mbox{ abzählbar}$:
$\overline{K} := \{t\in R ; U_t \mbox{ abzählbar} \}$, $u \in \overline{K}$
Betrachte $u \in \overline{K}$ und $t' \in \overline{K}$, mit $t' \neq u$.
Fall 1 Es sei bzgl Totalordnung $t' \leq u$. Dann folgt dass $t' \in U_{u}$, aber $t' \not\in U_{t'}$ nach Definition. $t' \in U_{u}$ heißt, $t'$ steht in der Totalordnung bzgl der Bijektion an endlicher Stelle $\exist n$ mit $t' =n$, also ist $U_{t'}$ endlich. Daher $t' \not\in \overline{K}$.
Fall 2 Es sei bzgl Totalordnung $u \leq t'$.
Also $u \in U_{t'}$.
Da $U_{t'}$ abzählbar ist, existiert eine Bijektion zu den natürlichen Zahlen, so dass $Min(U_{t'}) \hat= 1 \hat= Min(U)$ usw. Aber $U_{t'} = \bigcup_{n=1}^{\infty}n$ ist Widerspruch dazu, dass $u = Min(R \setminus U) = Min(R \setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}n) \in U_{t'}$
Daher $\overline{K} = \{u\}$.
Betrachte aber $R \setminus \overline{K}$. Es hat kleinstes Element $\overline{t} := Min(R \setminus \overline{K})$, also $U_{\overline{t}$ nach Definition nicht abzählbar. Somit ist auch $\overline{K} = U_{\overline{t}} \setminus \overline{t}$ überabzählbar. Widerspruch zu $\overline{K}$ endlich.
Gäbe es keine oder nur eine abzählbare Menge $U$ bzw $U_t$, dann hätten wir es mit abzählbar vielen endlichen Mengen + einer abzählbaren Menge zu tun und wir hätten, dass K abzählbar ist.
Du siehst, meine Versuche laufen wieder darauf hinaus die Wohlordnung zu widerlegen, bzw einen inneren Widerspruch in dem Mengensystem zu finden, nur dass man hier dann noch nicht mal den Zorn bräuchte
Grüße
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 So 28.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> vielen Dank für deine weitere Antwort. Das ist ja absolute
> Zauberei, was mit der Kette in [mm]P(\IQ)[/mm] passiert! Das hätte
> ich so nicht für möglich gehalten.
naja, Zauberei ist das nicht, das ist einfach die Konstruktion der reellen Zahlen ueber ![[]](/images/popup.gif) Dedekindsche Schnitte.
Zum Rest kann ich nichts sagen, ich wuerde erstmal den ganzen Thread durchlesen wollen und das ist mir grad zuviel :)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mo 01.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas,
sorry, dass ich erst jetzt antworten kann. Steckte aufgrund des gestern eingestellten Zugverkehrs bis heute morgen in Wuppertal fest.
> vielen Dank für deine weitere Antwort. Das ist ja absolute
> Zauberei, was mit der Kette in [mm]P(\IQ)[/mm] passiert! Das hätte
> ich so nicht für möglich gehalten.
Ich würde es so formulieren: Da passiert etwas, was uns überrascht, weil wir gewöhnlicherweise nur in endlichen Kardinalitäten denken. Und man kann nun mal mithilfe von endlich vielen Objekten auch nur endliche Ketten basteln. Mit abzählbar anstatt endlich gilt die analoge Eigenschaft eben nicht.
> Zu ersteinmal ist meine Widerspruchsidee ziemlich
> äquivalent zu deinem Gegenbeispiel, in beidem läuft es
> darauf hinaus das Wohlordnungsprinzip auszunutzen um ein
> kleinstes Element zu finden, nachdem man abzählbar viele
> Elemente entfernt hat.
Ich glaube, du hast in beiden Fällen eine falsche Vorstellung: Mein [mm] $t\*$ [/mm] war das kleinste Element von [mm] $R\setminus [/mm] K$, also das kleinste Element, nachdem mit K eine ÜBERabzählbare Teilmenge aus R entfernt wurde!
In deiner Widerspruchsidee ist (nach der von mir eingeführten Identifizierung) [mm] $X\subset [/mm] R$, also [mm] $X=R\setminus [/mm] L$ für eine eindeutig bestimmte Teilmenge [mm] $L\subset [/mm] R$. Diese Teilmenge L ist höchstens abzählbar. Sie kann aber durchaus endlich und sogar leer sein! In diesem Sinne werden bei deiner Widerspruchsidee gar nicht notwendig abzählbar unendlich viele Elemente entfernt.
> Dein Kettenbeispiel in [mm]P(\IQ)[/mm] leuchtet mir ein, allerdings
> ist hier anders als bei den [mm]U_t[/mm] meiner Meinung nach noch
> nicht der Trumpf der Wohlordnung vollständig ausgespielt.
Die gewöhnliche Ordnung auf [mm] $\IR$ [/mm] ist ja auch gar keine Wohlordnung. Im Kettenbeispiel in [mm] $P(\IQ)$ [/mm] kommt gar keine Wohlordnung vor.
> Vielleicht lässt die Konstruktion [mm]U_t:=\{r\in R\;|\;r\le t\}[/mm]
> ja nur endliche bzw überabzählbare Mengen zu und es gibt
> keine t bzw genau ein t so dass [mm]U_t[/mm] abzählbar ist,
> insbesondere wenn man nicht ausschließt, dass [mm]r \neq t[/mm],
> aber auch sonst...
Egal ob man [mm] $U_t$ [/mm] so oder so erklärt: [mm] $U_t$ [/mm] ist abzählbar unendlich für überabzählbar viele [mm] $t\in [/mm] R$ (genauso wie [mm] $U_t$ [/mm] endlich ist für unendlich viele [mm] $t\in [/mm] R$). Ein paar Beispiele für solche t gebe ich dir weiter unten. Falls du an einem Beweis meiner Behauptung interessiert bist, kann ich ihn dir geben.
> Auf der anderen Seite möchte ich doch ganz frech behaupten
> (wenn wir die endlichen [mm]U_t[/mm] obda ignorieren), dass es
> überhaupt nur eine Menge [mm]U[/mm] gibt, derart, dass U abzählbar
> ist und jedes Element, das in der Ordnung kleiner einem [mm]u \in U[/mm]
> ist, auch enthalten ist, also [mm]\forall u \in U : \forall r \in R, r \leq u : r \in U[/mm].
Nennen wir ein solches U (ohne die Abzählbarkeits-Forderung) ein Anfangsstück von R. Mit den obigen [mm] $U_t$ [/mm] gibt es überabzählbar viele abzählbar unendliche Anfangsstücke von R.
Es gibt übrigens nur zwei Arten von Anfangsstücken von R: [mm] [t_0,t) [/mm] für ein [mm] $t\in [/mm] R$ und ganz R.
> [mm]U[/mm] ist ja jetzt derart, dass [mm]Min(U) = Min(R)[/mm] und
> [mm]Min(U-Min(U)) = Min(R-Min(R))[/mm] und induktiv so weiter
O.K.
> nur dass U nur die ersten abzählbar vielen Elemente der
> Totalordnung enthält.
S.o.: Es gibt überabzählbar viele Anfangsstücke von R, die abzählbar unendlich viele Elemente enthalten.
> In jedem Fall finden wir nach
> Definition eine Bijektion zwischen U und den natürlichen
> Zahlen.
Ja.
> Angenommen es gäbe eine weitere unterschiedliche
> Menge [mm]U'[/mm] mit diesen Eigenschaften, dann folgt aus der
> eindeutigen Reihenfolge durch die Totalordnung, dass
> [mm]Min(U') = Min(U)[/mm] usw.
Ja.
> Dadurch dass wir jeweils eine
> Bijektion zu den natürlichen Zahlen haben, sollten hier
> beide Mengen gleich sein.
I.A. nein. Diese Bijektionen müssen ja nicht ordnungserhaltend sein.
> Denn jedes Element aus [mm]U[/mm] bzw [mm]U'[/mm]
> ist bijektiv zu ein und der selben natürlichen Zahl
I.A. nein.
> Dass die Konstruktion [mm]U_t:=\{r\in R\;|\;r\le t\}[/mm]
> tatsächlich mehr als eine Menge liefern kann, bereitet mir
> gerade ziemliches Kopfzerbrechen.
Beispiele s.u.
> Sei [mm]R[/mm] überabzählbar, es gelte Wohlordnungsprinzip, so
> dass jede nichtleere TM ein eindeutiges kleinstes Element
> hat.
Wir benötigen für deine Argumentation gar nicht das Wohlordnungsprinzip. Wir benötigen nur, dass R eine überabzählbare wohlgeordnete Menge ist. Eine solche existiert auch ohne Wohlordnungsprinzip.
> Betrachte die Elemente [mm]1:\hat= Min(R)[/mm], [mm]2:\hat= Min(R \setminus Min(R))[/mm], usw.
Ich glaube, dass dir diese Bezeichnungen sehr weiterhelfen können. Daher führe ich sie noch ein bisschen fort: Sei [mm] $t_\omega\in [/mm] R$ das kleinste Element von R, für das [mm] $U_{t_\omega}$ [/mm] unendlich ist. Sei [mm] $t_{\omega+1}\in [/mm] R$ das kleinste Element von R größer [mm] $t_\omega$, [/mm] sei [mm] $t_{\omega+2}\in [/mm] R$ das kleinste Element von R größer [mm] $t_{\omega+1}$ [/mm] usw.
Damit es keine Verwechslungen zwischen natürlichen Zahlen und Elementen von R gibt und damit unsere Bezeichnungen besser zur Theorie der Ordinalzahlen passen, würde ich gerne die ersten Elemente von R in [mm] $t_0,t_1,t_2$ [/mm] usw. umtaufen.
Dann kann man sich "den Anfang" von R so veranschaulichen:
[mm] $t_0,t_1,t_2,\ldots,t_\omega,t_{\omega+1},t_{\omega+2},\ldots$.
[/mm]
[mm] $U_{t_\omega}$, $U_{t_{\omega+1}}$ [/mm] und [mm] $U_{t_{\omega+2}}$ [/mm] sind Beispiele für Anfangsstücke von R, die abzählbar unendlich sind.
> Definiere [mm]U:= \bigcup_{n=1}^{\infty}n[/mm], U ist abzählbar.
Ja.
> Also [mm]R \setminus U[/mm] überabzählbar, hat kleinstes Element
> [mm]u:= Min(R \setminus U)[/mm]
Ja. Es gilt mit den neuen Bezeichnungen: [mm] $u=t_\omega$.
[/mm]
> Also [mm]U = \{r \in R, r \leq u , r \neq u\}[/mm]
> ist abzählbar.
Ja.
> Betrachte nun alle [mm]U_{t} = \{r \in R ; r \leq t, r \neq t\}[/mm]
Nennen wir diese Mengen lieber [mm] $V_t$, [/mm] damit es nicht zu Verwechslungen mit [mm] $U_t$ [/mm] im von mir definierten Sinne kommt. Oder einfach [mm] $[t_0,t]$ [/mm] für [mm] $U_t$ [/mm] und [mm] $[t_0,t)$ [/mm] für [mm] $V_t$. [/mm] (Wenn wir dann noch [mm] $[t,\infty)$ [/mm] für [mm] $T_t$ [/mm] schreiben, muss man sich nicht so viele Buchstaben merken.)
> [mm]\overline{K} := \{t\in R ; U_t \mbox{ abzählbar} \}[/mm],
>
> Betrachte [mm]u \in \overline{K}[/mm] und [mm]t' \in \overline{K}[/mm], mit
> [mm]t' \neq u[/mm].
> Fall 1 Es sei bzgl Totalordnung [mm]t' \leq u[/mm]. Dann folgt dass
> [mm]t' \in U_{u}[/mm], aber [mm]t' \not\in U_{t'}[/mm] nach Definition.
Anscheinend möchtest du [mm] $t'\not=u$ [/mm] voraussetzen.
> [mm]t' \in U_{u}[/mm] heißt,...
...einfach nur, dass $t'$ bezüglich der Ordnung von R vor u kommt (damit meine ich $t'<u$, was wiederum für [mm] $t'\le [/mm] u$ und [mm] $t'\not=u$ [/mm] steht).
> [mm]t'[/mm] steht in der Totalordnung bzgl der Bijektion an
> endlicher Stelle [mm]\exist n[/mm] mit [mm]t' =n[/mm]
I.A. nein. Gegenbeispiel: [mm] $t'=t_\omega$ [/mm] und [mm] $u=t_{\omega+1}$.
[/mm]
> , also ist [mm]U_{t'}[/mm]
> endlich. Daher [mm]t' \not\in \overline{K}[/mm].
Folgerichtig und falsch, wie das gleiche Gegenbeispiel zeigt.
> Fall 2 Es sei
> bzgl Totalordnung [mm]u \leq t'[/mm].
(Eigentlich völlig symmetrisch zu Fall 1, oder?)
> Also [mm]u \in U_{t'}[/mm].
> Da [mm]U_{t'}[/mm]
> abzählbar ist, existiert eine Bijektion zu den
> natürlichen Zahlen, so dass [mm]Min(U_{t'}) \hat= 1 \hat= Min(U)[/mm]
> usw.
Unter der Bijektion zu den natürlichen Zahlen muss nicht [mm] $Min(U_{t'})$ [/mm] der natürlichen Zahl 1 entsprechen. Es gilt aber [mm] $Min(U_{t'})=t_0=Min(U)$.
[/mm]
> Aber [mm]U_{t'} = \bigcup_{n=1}^{\infty}n[/mm]
I.A. nein. Gegenbeispiel [mm] $t'=t_{\omega+2}$, $u=t_{\omega+1}$.
[/mm]
> ist Widerspruch dazu, dass [mm]u = Min(R \setminus U)[/mm]
I.A. nein. Gleiches Gegenbeispiel. Auf der rechten Seite steht [mm] $t_\omega$.
[/mm]
> [mm]= Min(R \setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}n) \in U_{t'}[/mm]
[mm] $t_\omega\in U_{t'}$ [/mm] folgt aus [mm] $t_\omega\le [/mm] u<t'$.
> Daher [mm]\overline{K} = \{u\}[/mm].
Folgerichtig und falsch. Es gilt [mm] $\overline{K}\supset\{U=[t_0,t_\omega),[t_0,t_{\omega+1}),[t_0,t_{\omega+1}),\ldots\}$.
[/mm]
> Betrachte aber [mm]R \setminus \overline{K}[/mm]. Es hat kleinstes
> Element [mm]\overline{t} := Min(R \setminus \overline{K})[/mm]
Dann gilt [mm] $\overline{t}=t_0$! [/mm] Aber du meintest sicherlich die Teilmenge [mm] $R\setminus(\overline{K}\cup [/mm] U)$. Diese kann aber durchaus die leere Menge sein! Aber gut, nehmen wir mal an, dass das nicht der Fall sei, also so ein [mm] \overline{t} [/mm] existiert.
> , also [mm]U_{\overline{t}[/mm] nach Definition nicht abzählbar. Somit ist
> auch [mm]\overline{K} = \red(U_{\overline{t}} \setminus\red\{ \overline{t}\red{\})\cup U}[/mm] überabzählbar.
Ja.
> Gäbe es keine oder nur eine abzählbare Menge [mm]U[/mm] bzw [mm]U_t[/mm],
Es gibt aber überabzählbar viele.
> dann hätten wir es mit abzählbar vielen endlichen Mengen
> + einer abzählbaren Menge zu tun und wir hätten, dass K
> abzählbar ist.
Wenn das so wäre, ja.
(Falls du dich näher für Wohlordnungen interessierst: Das Studium von Ordinalzahlen ist ein Schlüssel dazu, Wohlordnungen besser zu verstehen.)
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Mir ist gerade noch folgender Vergleich eingefallen, der vielleicht der Anschauung hilft:
Wir betrachten [mm] $\IN$ [/mm] mit der gewöhnlichen Ordnung. Dann bildet ganz [mm] $\IN$ [/mm] eine Kette, die nicht endlich ist, aber deren Elemente endlichen Abstand (im von dir definierten Sinne) voneinander haben.
Genauso gibt es Ketten, die nicht abzählbar sind, aber deren Elemente abzählbaren Abstand voneinander haben.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 01.03.2010 | | Autor: | gfm |
Haben Gödel und Cohen nicht bewiesen, dass das weder Auswahlaxiom noch sein Gegenteil einen Widerspruch zu den anderen ZF-Axiomen ergeben?
Darüberhinaus ist das Auswahlaxiom - so habe ich es gelernt - äquivalent zu einer ganzen Reihe von Aussagen (z.B. Zorn, Wohlordnung, Vektoraumbasen, Maximalketten), ist doch richtig, oder?
Heißt das jetzt Gödel, Cohen, Hausdorff und die anderen haben was übersehen oder verstehe ich nicht woraus du hinauswillst?
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mo 01.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Haben Gödel und Cohen nicht bewiesen, dass das weder
> Auswahlaxiom noch sein Gegenteil einen Widerspruch zu den
> anderen ZF-Axiomen ergeben?
Ja.
> Darüberhinaus ist das Auswahlaxiom - so habe ich es
> gelernt - äquivalent zu einer ganzen Reihe von Aussagen
> (z.B. Zorn, Wohlordnung, Vektoraumbasen, Maximalketten),
> ist doch richtig, oder?
Ja.
> Heißt das jetzt Gödel, Cohen, Hausdorff und die anderen
> haben was übersehen oder verstehe ich nicht woraus du
> hinauswillst?
Wenn seine Behauptung stimmen würde, dann ja.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Skorpinus |
Ja, das war mir alles bewusst, aber ändert nichts daran, dass ich die Konstruktionen sehr interessant finde. Im Übrigen rechne ich nicht ernsthaft damit, dass ich jetzt hier irgendeinen großen Beweis gefunden hätte ;)
Grüße
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Mo 01.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Es wollte deine Arbeit in keinster Weise geringschätzen. Ich finds gut wenn Leute sich ihre eigenen Gedanken machen und sich auch mal Hinsetzen und ne Idee zuende denken. Meinen Respekt jedenfalls.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 02.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Haben Gödel und Cohen nicht bewiesen, dass das weder
> Auswahlaxiom noch sein Gegenteil einen Widerspruch zu den
> anderen ZF-Axiomen ergeben?
Unter der Prämisse, dass die ZF-Axiome selbst nicht widersprüchlich sind.
> Heißt das jetzt Gödel, Cohen, Hausdorff und die anderen
> haben was übersehen oder verstehe ich nicht woraus du
> hinauswillst?
Entsprechend: Im Falle eines aus dem Auswahlaxiom korrekt hergeleiteten Widerspruchs könnte Gödels Behauptung trotzdem stimmen und ZF widersprüchlich sein.
Viele Grüße
Tobias
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