Zornsche Lemma Ideale < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:09 Sa 28.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | Benutzen Sie das Zornsche Lemma, um zu zeigen, dass wenn R ein
Ring und I [mm] \subset [/mm] R ein von R verschiedenes Ideal ist, dann gibt es ein
maximales Ideal in R, welches I enthält. (Die Menge M ist hier die
Menge aller von R verschiedenen Ideale, die I enthalten |
Hallo,
das Zornsche Lemma geht doch davon aus, dass es bei einer geordneten Menge stets eine obere Schranke gibt und dass das max. Element eben kein echt größeres Element besitzt, richtig?!
Ich habe hier leider einige Probleme, mir die Aufgabe richtig vorzustellen. Ich soll also beweisen, dass es ein Ideal gibt, dass größer als I ist, aber dennoch in R liegt?
Bitte um Hilfe bei der Aufgabe
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Du betrachtest die Menge aller Ideale, die I enthalten, d.h [mm] $$\Omega:=\{J\subsetneq R\mid J\text{ Ideal und }I\subset J\}$$ [/mm] zusammen mit der Halbordnung [mm] "$\subset$" [/mm] und musst zeigen:
1) [mm] \Omega [/mm] ist nicht-leer.
2) Jede total geordnete Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] besitzt eine obere Schranke in [mm] $\Omega$
[/mm]
Das Lemma von Zorn sagt dir dann, dass es ein maximales Element [mm] $J^\star\in\Omega$ [/mm] gibt. Dies ist ein Maximalideal, das $I$ enthält!
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Sa 28.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
Hallo Robert,
danke für deine schnelle Antwort. Also, dass $ [mm] \Omega [/mm] $ nicht leer ist, habe ich nun bewiesen. Allerdings bin ich mir bei der oberen Schranke nicht sicher. Wenn ich mir das so anschaue, dass muss R doch eins enthalten, damit ich ein Element finde, dass in R, aber nicht in meinem max. Ideal ist, oder? - Kann ich denn davon ausgehen? Also weiß ich, dass mein Ring ein Ring mit eins ist?!
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Also, dass [mm]\Omega[/mm] nicht leer ist, habe ich nun bewiesen.
Ich nehme an es ist [mm] $I\in\Omega$? [/mm] 
>Allerdings bin ich mir bei der oberen Schranke nicht sicher. Wenn ich mir das so
> anschaue, dass muss R doch eins enthalten, damit ich ein
> Element finde, dass in R, aber nicht in meinem max. Ideal
> ist, oder?
Hä? Bist du noch bei dem Schritt 2)? Also du hast eine totalgeordnete Teilmenge von [mm] $\Omega$, [/mm] d.h. eine Familie [mm] (J_i)_{i\in I} [/mm] (I ist irgendeine Indexmenge) und totalgeordnet heißt dass für zwei beliebige [mm]i,j\in I[/mm] gilt [mm] $J_i\subset J_j$ [/mm] oder [mm] $J_j\subset J_i$ [/mm] (dazu sagt man manchmal auch "Kette", denn anschaulich ist das nichts weiter als sowas: [mm]J_1\subset J_2\subset J_3\subset ...[/mm], nur dass es im Allgemeinen nicht abzählbar sein muss). Nun musst du zeigen dass es eine obere Schranke in [mm] $\Omega$ [/mm] gibt, d.h. ein Element [mm] $J\in\Omega$ [/mm] mit [mm]J_i\subset J[/mm] für alle [mm]i\in I[/mm]. Tipp: [mm] $$J:=\bigcup_{i\in I}J_i.$$ [/mm] Aber ist dies ein Element aus [mm] $\Omega$?
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Sa 28.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
Genau das meine ich ja. Also wenn ich $ [mm] J:=\bigcup_{i\in I}J_i. [/mm] $ zeigen will, so nehme ich z.B. a [mm] \in J_{1} [/mm] und b [mm] \in J_{2}. [/mm] Da beides Ideal sind, ist die Addition und die Multiplikation mit einem r [mm] \in [/mm] R auch wieder darin, also auch in J.
Mir fehlt jetzt nur noch die Erklärung, warum ich denn jetzt auch J als echt maximales Element schreiben kann, also warum J [mm] \subset [/mm] R ist. Da dachte ich halt, dass wenn 1 [mm] \in [/mm] J --> J = R, ein Widerspruch.
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Genau das meine ich ja. Also wenn ich [mm]J:=\bigcup_{i\in I}J_i.[/mm] zeigen will
Da gibt es nichts zu zeigen. J haben wir einfach so definiert. Was zu zeigen ist, dass dieses definierte J ein Element in [mm] $\Omega$ [/mm] ist.
> so nehme ich z.B. a [mm]\in J_{1}[/mm] und b [mm]\in J_{2}.[/mm]
> Da beides Ideal sind, ist die Addition und die
> Multiplikation mit einem r [mm]\in[/mm] R auch wieder darin, also
> auch in J.
Nee. Warum ist [mm] $a+b\in [/mm] J$, wenn [mm] $a\in J_1$ [/mm] und [mm] $b\in J_2$?
[/mm]
Du musst das so machen: Sei [mm]r\in R[/mm] und [mm] $x\in [/mm] J$. Dann ist [mm] $x\in J_i$ [/mm] für ein [mm]i\in I[/mm] (das ist die Definition der Vereinigung: alle Elemente die in einem der [mm] $J_i$ [/mm] liegen). Dann ist [mm] $r\cdot x\in J_i$ [/mm] (da [mm] J_i [/mm] ein Ideal ist), also [mm] $r\cdot x\in [/mm] J$, da [mm] $J_i\subset [/mm] J$ ist.
Jetzt überlege dir warum [mm] $x,y\in J\Rightarrow x+y\in [/mm] J$. Hier brauchst du, dass die [mm] $(J_i)_{i\in I}$ [/mm] totalgeordnet sind!
> Mir fehlt jetzt nur noch die Erklärung, warum ich denn
> jetzt auch J als echt maximales Element schreiben kann,
> also warum J [mm]\subset[/mm] R ist.
Also mal zur Info: [mm] $A\subset [/mm] B$ bedeutet nicht, dass A eine echte Teilmenge von B ist, sondern eben nur Teilmenge. Echte Teilmenge schreibt man so: [mm]A\subsetneq B[/mm].
> Da dachte ich halt, dass wenn 1
> [mm]\in[/mm] J --> J = R, ein Widerspruch.
Hä? Wozu ist das ein Widerspruch?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 28.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
hmm, aber hat denn ein maximales Ideal nicht genau die Definition, dass es das größte Ideal in R ist, dass eben nicht ganz R ist?! - Deswegen darf doch 1 nicht drin sein, oder? Aber ich weiß doch eig. gar nicht, dass die 1 in R liegt?! Verstehst du mein Problem?
Den Rest habe ich soweit...
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Nein, ein maximales Ideal [mm] $\mathfrak{m}$ [/mm] ist, ein echtes Ideal, so dass für jedes echte Ideal $I$ gilt [mm] $\mathfrak{m}\subset I\Rightarrow I\subset\mathfrak{m}$. [/mm] Es gibt im allgemeinen viele maximale Ideale. Ein maximales Ideal enthält auch nicht alle anderen Ideale oder sowas. z.B. sind im Ring der ganzen Zahlen die Maximalideale die Ideale der Form [mm] $p\IZ$, [/mm] wobei $p$ eine Primzahl ist.
Was natürlich stimmt ist, dass ein echtes Ideal nicht die 1 (allgemein: keine Einheit) enthalten kann.
Gruß, Robert
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