Zueinander konjugierte Matrize < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Di 24.06.2008 | | Autor: | CH22 |
| Aufgabe | a.)Seien A, B [mm] \in [/mm] M(n,k) zueinander konjugierte Matrizen . Zeigen sie, dass tr(A)=tr(B).
b.)Sei A [mm] \in [/mm] SO(3) eine Drehung um den Winkel [mm] \alpha \in [/mm] [0, [mm] 2\pi). [/mm] Zeigen sie [mm] tr(L)=1+2cos(\alpha) [/mm] |
Ich hätte da mal ein paar Fragen:
zur a.)
Könnte mir vielleicht jemand sagen was zueinander konjugierte Matrizen bedutet?
zur b.)
Ich habe mir schon alle Drehmatrizen im [mm] \IR [/mm] ^{3} angeschaut.
also
Drehung um die x- Achse
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha \\0 & sin\alpha & cos\alpha }
[/mm]
Drehung um die y-Achse
[mm] \pmat{ cos\alpha & 0 & sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\-sin\alpha & 0 & cos\alpha }
[/mm]
Drehung um z- Achse
[mm] \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Und dann kann ich ja bei jeder Matrix ablesen dass spur(L)= [mm] 1+2cos\alpha
[/mm]
ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Di 24.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> a.)Seien A, B [mm]\in[/mm] M(n,k) zueinander konjugierte Matrizen .
> Zeigen sie, dass tr(A)=tr(B).
> b.)Sei A [mm]\in[/mm] SO(3) eine Drehung um den Winkel [mm]\alpha \in[/mm]
> [0, [mm]2\pi).[/mm] Zeigen sie [mm]tr(L)=1+2cos(\alpha)[/mm]
> Ich hätte da mal ein paar Fragen:
>
> zur a.)
> Könnte mir vielleicht jemand sagen was zueinander
> konjugierte Matrizen bedutet?
Steht das nicht in eurem Skript? Schau da doch mal bitte zuerst nach.
Tipp: es hat was damit zu tun, dass es eine invertierbare Matrix gibt.
> zur b.)
>
> Ich habe mir schon alle Drehmatrizen im [mm]\IR[/mm] ^{3}
> angeschaut.
> also
>
> Drehung um die x- Achse
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha \\0 & sin\alpha & cos\alpha }[/mm]
>
> Drehung um die y-Achse
>
>
> [mm]\pmat{ cos\alpha & 0 & sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\-sin\alpha & 0 & cos\alpha }[/mm]
>
> Drehung um z- Achse
>
> [mm]\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Wie kommst du da drauf, dass dies alle Drehmatrizen sind? Was ist z.B. mit der Drehmatrix, die um den Vektor $(1, 1, 0)$ dreht? Oder die um den Vektor $(1, 2, 3)$?
Ueberleg dir dochmal, ob und, wenn ja, warum jede Drehmatrix zu einer (sogar allen!) obigen Matrizen konjugiert ist. Und dann benutz a).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 24.06.2008 | | Autor: | CH22 |
Also ich habe mal im Internet nachgeschaut und da stand dann dass zueinader koonjugiert das gleiche sei wie ähnlich.
Also mein Ansatz wäre dann ja B= [mm] SAS^{-1}.
[/mm]
So spur (B) kann ich ja ganz leicht bestimmen, aber das S und [mm] S^{-1} [/mm] kann ich doch gar nicht bestimmen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Di 24.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also ich habe mal im Internet nachgeschaut und da stand
> dann dass zueinader koonjugiert das gleiche sei wie
> ähnlich.
Genau. Allerdings solltest du sowas demnaechst ruhig erstmal im Skript nachschauen.
> Also mein Ansatz wäre dann ja B= [mm]SAS^{-1}.[/mm]
> So spur (B) kann ich ja ganz leicht bestimmen, aber das S
> und [mm]S^{-1}[/mm] kann ich doch gar nicht bestimmen.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Also $S$ und [mm] $S^{-1}$ [/mm] brauchst du nicht konkret zu wissen.
Weisst du was die Spur mit dem charakteristischen Polynom zu tun hat?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Di 24.06.2008 | | Autor: | CH22 |
Also das charakteristische Polynom ist ja von der Form:
[mm] T^{n}-c_1T^{n-1}\pm.....\pm (-1)^{n} c_n
[/mm]
wobei [mm] c_1 [/mm] die spur ist.
Soll ich dann quasi von beiden das charakteristische Polynom ausrechen ?
Sorry aber ich steh echt gerade auf dem schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Mi 25.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also das charakteristische Polynom ist ja von der Form:
>
> [mm]T^{n}-c_1T^{n-1}\pm.....\pm (-1)^{n} c_n[/mm]
>
> wobei [mm]c_1[/mm] die spur ist.
> Soll ich dann quasi von beiden das charakteristische
> Polynom ausrechen ?
Ja. Und zeige dass sie gleich sind. Das kannst ganz allgemein mit Determinantenrechnung machen.
LG Felix
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