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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:23 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Brina19 |
| Aufgabe | Es seien X; Y : $ [mm] \Omega \to [/mm] $ R unabhängige N(0,1)- bzw. N(0, [mm] \sigma^2_{y})-verteilte [/mm] Zufallsvariablen auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum ($ [mm] \Omega $;\mathcal{F};\IP), \sigma^2_{y} [/mm] > 0.
Zeigen Sie, dass X + Y N(0,1 [mm] +\sigma^2_{y} [/mm] )-verteilt ist. |
Hallo,
ich weiß gar nicht, wie ich zeigen kann, dass X + Y
N(0,1 [mm] +\sigma^2_{y} [/mm] )-verteilt ist.
Kann mir bitte jemand helfen, da ich keinen Ansatz finde.
Für eine Hilfe wäre ich dankbar.
Viele Grüße
Brina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du kennst die Verteilung von X und von Y, wie sieht dann die von X+Y aus? Faltung habt Ihr sicher gemacht, entweder explizit, oder mit dem Transformationssatz für Dichten.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Brina19 |
Hallo,
> Du kennst die Verteilung von X und von Y,
ich kenne:
X [mm] \xim N[µ_{x},\sigma^2_{x}] [/mm] und Y [mm] \xim N[µ_{y},\sigma^2_{y}]
[/mm]
(N ist die Normalverteilung).Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist mir auch bekannt.
wie sieht dann
> die von X+Y aus?
X+Y kenne ich nicht.
etwa so? X+Y [mm] \xim N[µ_{x}*\sigma^2_{x}+µ_{y}*\sigma^2_{y}]
[/mm]
>Faltung habt Ihr sicher gemacht, entweder
> explizit, oder mit dem Transformationssatz für Dichten.
Die Faltung sagt mir nichts.
Nur wie kann ich weiter kommen?
Viele Grüße
Brina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
die Aufgabe ist sicher nicht vom Himmel gefallen, also werdet Ihr Euch mit irgendwas wohl beschäftigt haben. Luis und ich haben jetzt denk ich die nicht-esoterischen Wege aufgezählt, bis auf die direkte Herleitung über totale Wkeit, aber ich kann mir nicht vorstellen, daß das so völlig ohne Hinweise gefragt sein sollte.
Wenn Du das alles nicht kennst, was kennst Du?
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Sa 02.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
kannst du etwas mit dem Begriffen "momenterzeugende Funktion" oder "charakteristische Funktion" anfangen?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Brina19 |
Hallo,
> kannst du etwas mit dem Begriffen "momenterzeugende
> Funktion" oder "charakteristische Funktion" anfangen?
Die Begriffe "momenterzeugende Funktion" oder "charakteristische Funktion"
sagen mir leider noch nichts.
Viele Grüße
Brina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Brina19 |
Hallo
> kannst du etwas mit dem Begriffen "momenterzeugende
> Funktion" oder "charakteristische Funktion" anfangen?
ist der Beweis mittels charakteristischer Funktion möglich?
Viele Grüße
Brina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Sa 02.07.2011 | | Autor: | luis52 |
> ist der Beweis mittels charakteristischer Funktion
> möglich?
>
Was weisst du darueber? Der Begriff ist nicht eindeutig.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 03.07.2011 | | Autor: | Brina19 |
Hallo,
kann man es so zeigen:
Sind X, Y unabhängige Zufallsgrößen, so ist
fX+Y = fX * fY
Daraus folgt: Das Produkt von charakteristischen Funktionen ist wieder eine
charakteristische Funktion.
Aus X und Y unabhängig folgt exp((tX); exp((tY ) unabhängig. Damit:
fX+Y (t) = E(exp((it [mm] \* [/mm] (X + Y ))) = E(exp((itX) [mm] \* [/mm] exp((itY ))
unabh = E(exp((itX)) [mm] \* [/mm] E(exp((itY )) = fX(t) [mm] \* [/mm] fY (t)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 So 03.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
prima, du hast jetzt gezeigt, dass die CF einer Summe unabhaengiger
Zufallsvariablen das Produkt der CF der einzelnen Zufallsvarfiablen ist.
Jetzt musst du das Ergebnis fuer die Ausgangsaufgabe nutzen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 03.07.2011 | | Autor: | Brina19 |
Hallo,
ich komm irgendwie nicht weiter.
Es ist doch:
[mm] X\sim [/mm] N(0,1) standardnormalverteilt, dann ist [mm] \varphi_X(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}.
[/mm]
[mm] Y\sim N(0,\sigma^2_{y}) [/mm] normalverteilt, dann ist [mm] \varphi_Y(t)=e^{\mathrm{i}t}e^{-\frac{\sigma^2_{y}t^2}{2}}.
[/mm]
VG
Brina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 03.07.2011 | | Autor: | luis52 |
> [mm]Y\sim N(0,\sigma^2_{y})[/mm] normalverteilt, dann ist
> [mm]\varphi_Y(t)=e^{\mathrm{i}t}e^{-\frac{\sigma^2_{y}t^2}{2}}.[/mm]
Gemaess den Formeln ![[]](/images/popup.gif) hier erhalte *ich*
[mm]\varphi_Y(t)=e^{-\frac{\sigma^2_{y}t^2}{2}}.[/mm].
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 So 03.07.2011 | | Autor: | Brina19 |
Danke für die Hilfe,
da ist mir ein Fehler unterlaufen.
Muss ich jetzt rechnen: fX+Y = fX * fY:
[mm] \varphi_Y(t)\* \varphi_X(t)$ =$e^{-\frac{\sigma^2_{y}t^2}{2}} $\*e^{-\frac{t^2}{2}} [/mm] =
[mm] \Rightarrow [/mm] X + Y ist N(0,1 $ [mm] +\sigma^2_{y} [/mm] $ )-verteilt
VG
Brina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 So 03.07.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> Muss ich jetzt rechnen: fX+Y = fX * fY:
> [mm]\varphi_Y(t)\* \varphi_X(t)$ =$e^{-\frac{\sigma^2_{y}t^2}{2}} $\*e^{-\frac{t^2}{2}}[/mm]
> =
???
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] X + Y ist N(0,1 [mm]+\sigma^2_{y}[/mm] )-verteilt
Vermutlich ja.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 So 03.07.2011 | | Autor: | Brina19 |
Vielen Dank für die Hilfe:
> >fX+Y = fX * fY:
> > [mm]\varphi_Y(t)\* \varphi_X(t)$ =$e^{-\frac{\sigma^2_{y}t^2}{2}} $\*e^{-\frac{t^2}{2}}[/mm] [mm] =e^{-\frac{t^2}{2}}\*({\frac{\sigma^2_{y}}{2}+1})
[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] X + Y ist N(0,1 [mm]+\sigma^2_{y}[/mm] )-verteilt
Viele Grüße
Brina
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