Zufallsvariable und W. raum < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mi 16.05.2007 | | Autor: | wulfen |
| Aufgabe | Es wird gewürfelt bis zum ersten Mal eine "Sechs" erscheint.
(a) Definieren sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum.
(b) Definieren sie eine Zufallsvariable X auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum, die angibt, wie lange es dauert bis die "Sechs" erschienen ist.
(c) Bestimmen sie die Verteilung von X. |
Mein Problem ist schon die Definition des Wahrscheinlichkeitsraumes, da der ja nicht endlich ist, oder? Rein theoretisch kann es ja passieren, dass die "Sechs" niemals kommt. Also kann ich als Ereignismenge F auch nicht die Potenzmenge von Omega nehmen. Und somit weiß ich auch nicht, wie ich ein Wahrscheinlichkeitsmaß definieren soll. Die Teile (b) und (c) bekomm ich dann ohne den Wahrscheinlichkeitsraum auch nicht hin. Steh mir da wohl selbst etwas im Weg. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Mi 16.05.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Tobias,
(a) Definiere den Ergebnismenge so: [mm] $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\dots\}$ [/mm] mit
[mm] $\omega_i=(0,0,\dots,0,1)$ [/mm] ($i-1$ Nullen, am Schluss eine Eins). [mm] $\omega_i$ [/mm] charakterisiert das Ergebnis: Vor dem $i$-ten Wurf keine Sechs, im $i$-ten Wurf eine Sechs. Ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmass ist dann durch [mm] $P(\{\omega_i\})=(5/6)^{i-1}(1/6)$ [/mm] gegeben. Waehle schliesslich die Potenzmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] als [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
(b) [mm] $X:\Omega\to\IR$ [/mm] mit [mm] $X(\omega_i)=i-1$. [/mm] So ist [mm] $X(\omega_1)=0$, [/mm] da im ersten Versuch die Sechs erscheint usw. (c) Mit der Festlegung unter (a) ist [mm] $P(X=x)=(5/6)^x(1/6)$ [/mm] fuer [mm] $x=0,1,2,\dots$ [/mm] (geometrische Verteilung)
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:55 Fr 18.05.2007 | | Autor: | wulfen |
Alles klar, dass liest sich so weit sehr gut. Ich werde mir das nochmal richtig zu Gemüte führen, damit ich das auch verstehe Vielen Dank.
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