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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
[mm] f(x,y)=c(x+y)e^{-(x+y)}\{x\ge 0,y\ge0\}
[/mm]
-> Man bestimme c so, dass f(x,y) eine Dichtefunktion ist.
Die Zufallsvariabeln X und Y haben die gemeinsame Dichtefunktion f(x,y) mit dem zuvor errechneten c.
-> Man berechne E(X), E(Y), E(XY)
-> Sind X und Y unabhängig? |
Hallo zusammen,
ich lerne gerade für eine Wahrscheinlichkeitstheorie-Klausur und hänge bei dieser Aufgabe.
Für eine Dichtefunktion f(x) einer Zufallsvariablen (ZV) X gilt ja, dass das Integral über alle reellen Zahlen 1 ergeben muss, aber wie verhält sich das bei einer gemeinsamen Dichte zweier ZV und dieses Kriterium hier für die Bestimmung von c anwendbar, zumal die x und y hier [mm] \ge [/mm] 0 sind?
Dann zu den Erwatungswerten: Um E(X) bzw. E(Y) zu berechnen, benötige ich ja die Dichtefunktionen von X und Y, aber wie bekomme ich die aus der gemeinsamen Dichtefunktion f(x,y)?
Und dann der Erwartungswert E(XY), naja, wenn die Dinger unabhängig wären, was man ja auch zeigen soll wenn man c bestimmt hat, dann wäre der Erwartungswert ja einfach das Produkt E(X)E(Y). Dafür müsste man aber prüfen, ob die Dichtefunktion f(x,y) das Produkt f(x)f(y) ist (dann sind sie ja unabhängig). Aber hier gilt wie oben: Wie bekomme ich f(x) und f(y) aus der gemeinsamen Dichtefunktion f(x,y)?
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Lg, Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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> Gegeben ist die Funktion
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> [mm]f(x,y)=c(x+y)e^{-(x+y)}\{x\ge 0,y\ge0\}[/mm]
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> -> Man bestimme c so, dass f(x,y) eine Dichtefunktion ist.
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> Die Zufallsvariabeln X und Y haben die gemeinsame
> Dichtefunktion f(x,y) mit dem zuvor errechneten c.
> Für eine Dichtefunktion f(x) einer Zufallsvariablen (ZV) X
> gilt ja, dass das Integral über alle reellen Zahlen 1
> ergeben muss, aber wie verhält sich das bei einer
> gemeinsamen Dichte zweier ZV und dieses Kriterium hier für
> die Bestimmung von c anwendbar, zumal die x und y
> hier [mm]\ge[/mm] 0 sind ?
Mal nur zu dieser ersten Frage:
Es muss
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{-\infty}^{\infty}{ f(x,y)\ dx\ dy\ }=\ [/mm] 1$
sein. Im vorliegenden Fall reduziert sich dies zu
[mm] $\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{\infty} [/mm] f(x,y)\ dx\ dy\ =\ 1$
Für die Integration würde ich eine Substitution
der Form x+y=t versuchen.
LG
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> Gegeben ist die Funktion
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> [mm]f(x,y)=c(x+y)e^{-(x+y)}\{x\ge 0,y\ge0\}[/mm]
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> -> Man bestimme c so, dass f(x,y) eine Dichtefunktion ist.
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> Die Zufallsvariabeln X und Y haben die gemeinsame
> Dichtefunktion f(x,y) mit dem zuvor errechneten c.
>
> -> Man berechne E(X), E(Y), E(XY)
> -> Sind X und Y unabhängig?
> Dann zu den Erwatungswerten: Um E(X) bzw. E(Y) zu
> berechnen, benötige ich ja die Dichtefunktionen von X und
> Y, aber wie bekomme ich die aus der gemeinsamen
> Dichtefunktion f(x,y)?
Durch Integration:
$\ [mm] f_X(x)=\integral_{y=0}^{\infty}f(x,y)\ [/mm] dy$
$\ [mm] f_Y(y)=\integral_{x=0}^{\infty}f(x,y)\ [/mm] dx$
Wegen der Symmetrie der Dichtefunktion f(x,y) muss
man natürlich nur eine dieser Integrationen durchführen.
Es gilt [mm] f_Y(y)=f_X(y) [/mm] .
Gruß Al-Chwarizmi
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