Zufallsvariablen Dichte < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hallo ihr lieben,
Ich habe leider leichte Verständnisprobleme bei der Berechnung der Dichte bzw. der Verteilungsfunktion.
Nehmen wir als Beispiel die Verteilungsfunktion Y=a*ln(X) mit a>0(X ist hier eine exponentialverteilte Zufallsvariable)
Als erstes haben wir dann aufgeschrieben, dass [mm] F_{Y}(t)=0 [/mm] ist für alle t<0. An dieser Stelle frage ich mich schon wieso. Denn der Fall [mm] P(a*ln(X)\le [/mm] t) kann doch für t<0 eintreten, da der log(X) ausschließlich im negativen Verläuft..
Als nächstes geht es weiter:
für [mm] t\ge [/mm] 0 :
[mm] F_{Y}(t)=P(Y \le [/mm] t)=P(a*ln(X) [mm] \le [/mm] t) = P(ln(x) [mm] \le \frac{t}{a}) [/mm] soweit so gut, dass verstehe ich.
=P(x [mm] \le e^{\frac{t}{a}} [/mm] diese Umformung verstehe ich allerdings nicht, wie kann man plötzlich von ln auf e schließen?
dann haben wir die Funktion [mm] F_{Y}(x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}, & \mbox{für } x \le e^{\frac{t}{a}} \mbox{}\ge 0 \\ 0, & \mbox{für } sonst \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
an dieser Stelle verstehe ich leider gar nichts mehr. Also dass die Exponentialverteilung durch [mm] \lamba*e^{-\lamda*x} [/mm] beschrieben wird weiß ich. Allerdings sehe ich hier keinen richtigen Zusammenhang, vielleicht kann mir ja jemand helfen..
[mm] =1-e^{-\lamda*e^{-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}} [/mm] Wieso wird jetzt an dieser stelle nur der Bereich mit x [mm] \le e^{\frac{t}{a}} [/mm] gewählt?
Dann haben wir das ganze abgeleitet und erhalten:
[mm] F'(Y)=\frac{\lambda}{a}*e^{-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}*e^{\frac{t}{a}}
[/mm]
Und allgemein gesehen. Y ist ja die Verteilungsfunktion. Was ist dann F? Die Dichte?
Vielleicht kann mir ja jemand helfen und mir antworten auf meine vielen Fragen geben.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mo 01.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Alex,
> Ich habe leider leichte Verständnisprobleme bei der
> Berechnung der Dichte bzw. der Verteilungsfunktion.
> Nehmen wir als Beispiel die Verteilungsfunktion Y=a*ln(X)
> mit a>0(X ist hier eine exponentialverteilte
> Zufallsvariable)
[mm] $Y\$ [/mm] ist keine Verteilungsfunktion, sondern eine Zufallsvariable!
[mm] $Y\$ [/mm] ist eine reelle Zufallsvariable (Wieso?) und somit ist durch
[mm] $F_Y\colon\IR\to [0,1]\colon t\mapsto P(Y\le [/mm] t)$
die Verteilungsfunktion von [mm] $Y\$ [/mm] gegeben. [mm] $Y\$ [/mm] besitzt eine Dichte,
wenn ihre Verteilungsfunktion [mm] F_Y [/mm] eine besitzt.
> Als erstes haben wir dann aufgeschrieben, dass [mm]F_{Y}(t)=0[/mm]
> ist für alle t<0. An dieser Stelle frage ich mich schon
> wieso. Denn der Fall [mm]P(a*ln(X)\le[/mm] t) kann doch für t<0
> eintreten, da der log(X) ausschließlich im negativen
> Verläuft..
Zunächst: Ist dir klar, weshalb eine Fallunterscheidung nach [mm] $t\$
[/mm]
notwendig ist? Ich glaube zu verstehen wo dein Verständnisproblem
liegt, aber vielleicht formulierst du deine Aussage genauer, so
dass du selber drauf kommst. Beachte
[mm] $\{a*\ln(X)\le t\}=\{\omega\in\Omega\mid a*\ln(X(\omega))\le t\}$.
[/mm]
> Als nächstes geht es weiter:
> für [mm]t\ge[/mm] 0 :
> [mm]F_{Y}(t)=P(Y \le[/mm] t)=P(a*ln(X) [mm]\le[/mm] t) = P(ln(x) [mm]\le \frac{t}{a})[/mm]
Du meinst
[mm] $F_{Y}(t)=P(Y \le t)=P(a*ln(X)\le [/mm] t) = [mm] P(\ln(X) \le \frac{t}{a})$ [/mm] (großes [mm] $X\$).
[/mm]
> soweit so gut, dass verstehe ich.
Die Begründung, also [mm] $a>0\$, [/mm] würde ich dazuschreiben.
> =P(x [mm]\le e^{\frac{t}{a}}[/mm] diese Umformung verstehe ich
> allerdings nicht, wie kann man plötzlich von ln auf e
> schließen?
Du meinst
[mm] P(\ln(X) \le \frac{t}{a})=P(X\le e^{\frac{t}{a}}).
[/mm]
Dazu zeigen wir
[mm] $\ln(X) \le \frac{t}{a}\Longleftrightarrow X\le e^{\frac{t}{a}}$ [/mm] für alle $a,t>0$.
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
[mm] $\ln(X) \le \frac{t}{a}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{\ln(X)}\le e^{\frac{t}{a}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow X\le e^{\frac{t}{a}}$.
[/mm]
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
[mm] X\le e^{\frac{t}{a}}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \ln(X)\le\ln(e^{\frac{t}{a}})
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \ln(X)\le\frac{t}{a}$.
[/mm]
Ist es jetzt klar?
> dann haben wir die Funktion [mm]F_{Y}(x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}, & \mbox{für } e^{\frac{t}{a}} \mbox{\ge 0} \\ 0, & \mbox{für } sonst \mbox{ } \end{cases}[/mm]
Du meinst
[mm] F_Y(t)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}, & \mbox{falls } e^{\frac{t}{a}}\ge 0 \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}.
[/mm]
> an dieser Stelle verstehe ich leider gar nichts mehr. Also
> dass die Exponentialverteilung durch [mm]\lamba*e^{-\lamda*x}[/mm]
Nein. Wir wissen, dass [mm] $X\sim Exp(\lambda)$ [/mm] mit [mm] \lambda>0, [/mm] also besitzt [mm] $X\$ [/mm] die Dichte
[mm] f_\lambda(t)=\lambda*e^{-\lambda*t}1_{[0,\infty]}(t) [/mm] mit [mm] t\in\IR.
[/mm]
(Ist die klar, weshalb [mm] f_\lambda(t) [/mm] eine Dichte ist?)
Die dazugehörige Verteilungsfunktion ist dann gegeben durch
[mm] F_\lambda(t)=\int_{-\infty}^{t}f_\lambda(x)dx=1-e^{-\lambda*t}1_{[0,\infty)}(t). [/mm] (Wieso? Nachrechnen!)
Zur Erinnerung:
[mm] 1_A(\omega)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \omega\in A \\ 0, & \mbox{falls } \omega\not\in A \end{cases}.
[/mm]
Damit ist zum Beispiel die Verteilungsfunktion von [mm] $X\$, [/mm] also
[mm] F_\lambda(t)=1-e^{-\lambda*t}1_{[0,\infty)}(t),
[/mm]
eine alternative Schreibweise für
[mm] F_\lambda(t)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda*t}, & \mbox{falls } t\in[0,\infty) \\ 0, & \mbox{falls } t\not\in[0,\infty) \end{cases} [/mm] bzw. [mm] F_\lambda(t)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda*t}, & \mbox{falls } t\ge 0 \\ 0, & \mbox{falls } t<0 \end{cases}.
[/mm]
(Im Folgenden werde ich diese Schreibweise nicht mehr benutzen.
Falls du Probleme bei der Darstellung von Funktionen hast, dann
kannst du allerdings immer wieder darauf zurückgreifen.)
> beschrieben wird weiß ich. Allerdings sehe ich hier keinen
> richtigen Zusammenhang, vielleicht kann mir ja jemand
> helfen..
> [mm]=1-e^{-\lamda*e^{-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}}[/mm]
Tippfehler?
> Wieso wird
> jetzt an dieser stelle nur der Bereich mit x [mm]\le e^{\frac{t}{a}}[/mm]
> gewählt?
Wir wissen, dass [mm] $X\sim Exp(\lambda)$, [/mm] also ist
[mm] $F_X(t)=P(X\le t)=1-e^{-\lambda*t}$ [/mm] für [mm] $t\ge [/mm] 0$.
Die Zufallsvariable [mm] $Y\$ [/mm] hängt von [mm] $X\$ [/mm] ab und aus diesem Grund
wollen wir [mm] $Y\$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $t\$ [/mm] äquivalent umschreiben,
so dass wir das benutzen. Deshalb erhalten wir nämlich
[mm] $F_Y(t)=P(X\le e^{\frac{t}{a}})=1-e^{-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}$ [/mm] für [mm] $e^{\frac{t}{a}}\ge [/mm] 0$
und somit insgesamt
[mm] F_Y(t)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}, & \mbox{falls } e^{\frac{t}{a}}\ge 0 \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}.
[/mm]
(Wegen [mm] $e^x>0$ [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] ist [mm] $e^{\frac{t}{a}}\ge [/mm] 0$ immer erfüllt, so dass
wir [mm] $e^{\frac{t}{a}}\ge [/mm] 0$ durch die Voraussetzung [mm] $t\ge [/mm] 0$ ersetzen können.)
> Dann haben wir das ganze abgeleitet und erhalten:
>
> [mm]F'(Y)=\frac{\lamda}{a}*e^{-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}*e^{\frac{t}{a}}[/mm]
Die Verteilungsfunktion [mm] F_Y [/mm] ist als Komposition differenzierbarer
Funktionen differenzierbar ist und somit erhalten wir wegen
[mm] \frac{dF_Y(t)}{dt}=\frac{\lambda}{a}*e^{-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}*e^{\frac{t}{a}}=\frac{\lambda}{a}*e^{\frac{t}{a}-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}=:f_Y(t) [/mm] für [mm] $t\ge [/mm] 0$
insgesamt
[mm] f_Y(t)=\begin{cases} \frac{\lambda}{a}*e^{\frac{t}{a}-\lambda*e^{\frac{t}{a}}}, & \mbox{falls } t\ge 0 \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}
[/mm]
eine Dichtefunktion von [mm] F_Y. [/mm] Insbesondere besitzt [mm] $Y\$ [/mm] eine Dichte.
(Ist die klar, weshalb [mm] f_Y [/mm] eine Dichte ist?)
> Und allgemein gesehen. Y ist ja die Verteilungsfunktion.
> Was ist dann F? Die Dichte?
Nein! [mm] $Y\$ [/mm] ist eine Zufallsvariable und [mm] $F\$ [/mm] ihre Verteilungsfunktion!
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Huhu
danke für deine lange Antwort. Ich habe es nun hoffentlich weitesgehend verstanden und werde mich nun an weiteren Beispielen proben. Ich habe leider nur ein Problem. Die Fallunterscheidung nach t. In manchen Beispielen legten wir fest, dass für alle t < 0 [mm] F_{Y}(t)=0 [/mm] ist und in anderen wiederum hieß es, dass dies für alle t [mm] \le [/mm] 0 gilt. Woher kommt diese Fallunterscheidung und wie kann man dies verstehen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mo 01.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Wegen
[mm] 0\le P(X=x)\le P(x\le X\le x+\frac{1}{n})=\int_{x}^{x+\frac{1}{n}}f(y)dy\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}0
[/mm]
(Hierbei ist [mm] $f\$ [/mm] eine Dichte einer Zufallsvariable [mm] $X\$.)
[/mm]
erhalten wir
$P(X=x)=0$ für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Insbesondere ist
[mm] $P(X\in [a,b])=P(X\in (a,b])=P(X\in [a,b))=P(X\in [/mm] (a,b))$.
Falls du Fragen zu deinen Beispielen hast, dann kannst du sie
natürlich hier stellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Di 02.12.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Guten Morgen,
Ich habe es mir einige Male durchgelesen, kann jedoch nicht so ganz folgen. Meine Frage ist. Ich versuche es mal anhand der Beispiele zu erklären (In beiden Fällen ist es eine Exponentialverteilung)
Sei Y=a*ln(x) so schrieben wir: Für t<0 ist [mm] F_{Y}(t)=0 [/mm] also ein unmögliches Ereignis.
Im Falle [mm] Y=x^2 [/mm] schrieben wir: Für t [mm] \le [/mm] 0 ist [mm] F_{Y}(t)=0. [/mm] Liegt hier ein Schreibfehler vor? Oder wie ist der Unterschied zwischen < und [mm] \le [/mm] zu verstehen. Wieso wird in dem einem Fall die 0 mitbegriffen?
LG
PS: noch eine allgemeine Verständnissfrage:
Wieso ist eigentlich P(X=x)=0? Es impliziert doch, das der realisierte Wert dem Ausgang des Experiments vor der Durchführung entspicht, oder? Und in Worten erklärt, wieso ist diese Wahrscheinlichkeit =0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Di 02.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich habe es mir einige Male durchgelesen, kann jedoch
> nicht so ganz folgen. Meine Frage ist. Ich versuche es mal
> anhand der Beispiele zu erklären (In beiden Fällen ist es
> eine Exponentialverteilung)
> Sei Y=a*ln(x)
Du meinst
[mm] Y=a*\ln(X) [/mm] (großes X).
> so schrieben wir: Für t<0 ist [mm]F_{Y}(t)=0[/mm]
> also ein unmögliches Ereignis.
Beispiel: Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist
[mm] $F_\lambda(t)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda\cdot{}t}, & \mbox{falls } t\ge 0 \\ 0, & \mbox{falls } t<0 \end{cases}.$
[/mm]
Wenn wir allerdings die Null einsetzen, dann erhalten wir
[mm] F_\lambda(0)=1-e^{-\lambda\cdot{}0}=0.
[/mm]
Demnach könnten wir auch setzen
[mm] $F_\lambda(t)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda\cdot{}t}, & \mbox{falls } t>0 \\ 0, & \mbox{falls } t\le 0 \end{cases}$.
[/mm]
Ist es jetzt klar was ich damit meinte?
> Im Falle [mm]Y=x^2[/mm]
Du meinst
[mm] Y=X^2 [/mm] (großes X).
> schrieben wir: Für t [mm]\le[/mm] 0 ist [mm]F_{Y}(t)=0.[/mm]
> Liegt hier ein Schreibfehler vor? Oder wie ist der
> Unterschied zwischen < und [mm]\le[/mm] zu verstehen. Wieso wird in
> dem einem Fall die 0 mitbegriffen?
Wieder zwei Möglichkeiten:
1)
[mm] $t\le 0\quad\Rightarrow\quad F_Y(t)=0$.
[/mm]
2)
[mm] $t<0\quad\Rightarrow\quad F_Y(t)=0$.
[/mm]
Natürlich musst du dann den zweiten Fall anpassen. Aus diesem
Grund habe ich dir auch geschrieben, dass gilt:
[mm] $P(X\in [a,b])=P(X\in (a,b])=P(X\in [a,b))=P(X\in [/mm] (a,b))$.
> PS: noch eine allgemeine Verständnissfrage:
Verständnis.
> Wieso ist eigentlich P(X=x)=0?
Beachte, dass wir hier von stetigen Zufallsvariablen reden!
> Es impliziert doch, das der
> realisierte Wert dem Ausgang des Experiments vor der
> Durchführung entspicht, oder?
Das verstehe ich nicht.
> Und in Worten erklärt, wieso ist diese Wahrscheinlichkeit =0?
Es geht hier um die sogenannte Punktwahrscheinlichkeit. Wenn [mm] $X\$
[/mm]
eine stetige Zufallsvariable ist, dann ist
[mm] F_X(t)=\int_{\infty}^{t}f_X(x)dx
[/mm]
die Verteilungsfunktion von [mm] $X\$. [/mm] Demnach ist
[mm] P(X=t)=F_X(t)-F_X(t)=0 [/mm] für alle [mm] t\in\IR.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 02.12.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Huhu,
Danke, dass hilft mir weiter. Ich weiß deine Mühen wirklich zu schätzen. Dann noch eine letzte Verständnisfrage! :-P :
kann man dann im Falle der Exponentialverteilung allgemein behaupten , dass F(t)=0 für [mm] t\le [/mm] 0 gilt?
Bzw. es ist eigentlich egal, da sowieso F(0)=0 gilt
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Di 02.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
> kann man dann im Falle der Exponentialverteilung allgemein
> behaupten , dass F(t)=0 für [mm]t\le[/mm] 0 gilt?
> Bzw. es ist eigentlich egal, da sowieso F(0)=0 gilt
Richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Di 02.12.2014 | | Autor: | Alex1993 |
danke, ich habe es jetzt verstanden.
Einen schönen Abend wünsche ich dir!
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