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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Do 25.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
| Aufgabe | Fasse zusammen:
[mm] \bruch{3n+6}{8n+8} [/mm] - [mm] \bruch{n+2}{2n^{3}+2n^{2}}+ \bruch{n+2}{8n^{2}+8n} [/mm] |
Bei einer Aufgabe bin ich auf das Zwischenergebnis oben gekommen.
Nun versuche ich dies alles zusammen zu fassen bzw. so kurz zu schreiben wie es geht.
Kann mir bitte jemand helfen?
Ein mögliches Ergebnis kann [mm] \bruch{n+3}{2n+4} [/mm] sein.
Dies ist nämlich das "Ergebnis" wenn ich mich versuche von der "anderen" seite an die Lösung heranzutasten...
Dennoch..
Wie fasse ich das oben zusammen :)
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Hallo Paul,
du musst nen gemeinsamen Nenner suchen, also gleichnamig machen.
Aber nicht direkt drauflosmultiplizieren, sondern zuerst "geschickt" umformen:
[mm] $\bruch{3n+6}{8n+8}-\bruch{n+2}{2n^{3}+2n^{2}}+ \bruch{n+2}{8n^{2}+8n}=\bruch{3\cdot{}(n+2)}{8\cdot{}(n+1)}-\bruch{n+2}{2n^{2}\cdot{}(n+1)}+ \bruch{n+2}{8n\cdot{}(n+1)}$
[/mm]
Nun kannst du bestimmt bequem einen Hauptnenner bestimmen...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Do 25.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Hm... Ich komm gerade nicht weiter...
Kürzen ist hier nicht möglich ?
z.B. aus
[mm] \bruch{3\cdot{}(n+2)}{8\cdot{}(n+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{3\cdot{}(n+1)}{8}
[/mm]
oder darf ich das nicht ?
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Hi,
> Hm... Ich komm gerade nicht weiter...
>
> Kürzen ist hier nicht möglich ?
>
> z.B. aus
>
> [mm]\bruch{3\cdot{}(n+2)}{8\cdot{}(n+1)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{3\cdot{}(n+1)}{8}[/mm]
![[schock]](/images/smileys/schock.gif "[schock]") Nein, bloß nicht !!
> oder darf ich das nicht ?
NEIN
Selbst wenn du die Brüche richtig erweiterst und zusammenfasst, kommst du nicht auf deine obige Lösung "von der anderen Seite", was auch immer das sein mag 
Da scheint also in den vorherigen Rechnungen der Wurm drin zu sein ....
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:14 Do 25.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Ou. Entschuldige...
Habs eben mit Werten eingesetzt (vor und nach dem Kürzungsversuch).... :)
Werde mal morgen meinen ganzen Rechenweg hier posten.. auch wenn der ein wenig zuuuu lang ist :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 Do 25.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
| Aufgabe | Vollständige Induktion für:
[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{(k+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{2(n+1)}
[/mm]
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oder poste auch jetzt.... :D
[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{(k+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{2(n+1)}
[/mm]
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{(k+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{2(n+1)} [/mm] * ( 1 - [mm] \bruch{1}{(n+2)^2})
[/mm]
= [mm] \bruch{n+2}{2n+2} [/mm] * ( 1 - [mm] \bruch{1}{n^2+4n+4})
[/mm]
= [mm] \bruch{n+2}{2n+2} [/mm] * ( [mm] \bruch{3}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4n})
[/mm]
$ [mm] \bruch{n+2}{2n^{3}+2n^{2}}+ \bruch{n+2}{8n^{2}+8n} [/mm] $
Sooo.. Das ist mein erster Schritt...
Habe es so gelernt, dass ich es erstmal ein n+1 hinten "dranhänge" und zusammenfasse....
Dann nehme ich die Ausgangsgleichung
[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{(k+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{2(n+1)}
[/mm]
und setze überall für n , (n+1) ein....
[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{(k+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+3}{2(n+4)}
[/mm]
und hätte ich nun irgendwo nen Fehler nicht gemacht müsste das gleiche rauskommen..... :)
Vllt. hab ichs auch viel zu umständlich oder zu lang gemacht.. aber so meine ich die vollst. Ind. zu verstehen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Do 25.10.2007 | | Autor: | comix |
Falsche Ersetzung auf der linken Seite: über dem Produktzeichen steht immer noch n.
rechte Seite: Im Nenner hast Du n durch n+3 ersetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Do 25.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Hallo,
ich habe mich vertippt.
Die letzten beiden Produktzeichen sollen als obere grenze natürlich ebenfalls n+1 haben...
Zur rechten seite... Im Zähler habe ich ja am anfang mit n = 1
(n+2) ... mit n+1 folgt : (n+1)+1) = n+3...
:)
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Hallo Paul1985,
Gehen wir doch mal von diesem Zwischenschritt aus:
> [mm]\prod_{k=1}^{n+1}{\left(1-\frac{1}{(k+1)^2}\right)}=\frac{n+2}{2(n+1)}\cdot{\left(1-\frac{1}{(n+2)^2}\right)}=(\*)[/mm]
Nun gilt:
[mm](\*)=\frac{n+2}{2(n+1)}\cdot{\frac{(n+2)^2-1^2}{(n+2)^2}} = \frac{n+2}{2(n+1)}\cdot{\frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}}[/mm]
So, jetzt nur noch Kürzen und der Beweis ist erbracht.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Kannst Du mir bitte Schritt für Schritt erklären, wie Du die Klammer mit der -1 umformst?
Kann dem leider nicht folgen..
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Hallo Paul1985,
Welche Klammer meint du? Falls es dir um [mm](n+2)^2-1[/mm] geht, so denke an die 3te binomische Formel.
Gruß
V.N.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
[mm] \frac{n+2}{2(n+1)}\cdot{\left(1-\frac{1}{(n+2)^2}\right)}
[/mm]
Wie formst Du die zweite Klammer um? (Schritt für Schritt)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
Oder meinst Du die Zusammenfassung in dieser Klammer [mm] $\left(1-\frac{1}{(n+2)^2}\right)$ [/mm] ?
Hier wurde die $1_$ auf den Hauptnenner [mm] $(n+2)^2$ [/mm] erweitert:
[mm] $$1-\frac{1}{(n+2)^2} [/mm] \ = \ [mm] \frac{\blue{(n+2)^2}}{\blue{(n+2)^2}}-\frac{1}{(n+2)^2} [/mm] \ = \ [mm] \frac{(n+2)^2-1}{(n+2)^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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