Zusammenhang K_{t} und K_{1} < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu jedem t>0 ist eine Funktion [mm] f_{t} [/mm] gegeben durch [mm] f_{t}(x)=ln(t [/mm] * [mm] \bruch{1+x}{1-x}) [/mm] mit der Definitionsmenge [mm] D_{t}. [/mm] Ihr Graph sei [mm] K_{t}.
[/mm]
[...]
b) Wie entsteht [mm] K_{t} [/mm] aus [mm] K_{1}?
[/mm]
[...]
f) (Geben sie die Umkehrfunktion an) Wie geht [mm] K_{t} [/mm] aus [mm] K_{1} [/mm] (also jeweils die K der Umkehrfunktion) hevor? |
Hallo,
habe Probleme bei der f.
Die b) war relativ schnell gelöst:
[mm] f_{t}(x)=ln(t [/mm] * [mm] \bruch{1+x}{1-x}) [/mm] = ln(t) * [mm] ln(\bruch{1+x}{1-x})
[/mm]
= ln t + [mm] f_{1}(x)
[/mm]
Nun habe ich die Umkehrfunktion gebildet:
[mm] g_{t}(x)=\bruch{e^{x}-t}{e^{x}+t}
[/mm]
Nun aber wieder einen Zusammenhang zwischen [mm] K_{t} [/mm] und [mm] K_{1} [/mm] herzustellen gelingt mir nicht.
Mein Lehrer meinte wir hätten zwei Möglichkeiten:
1. Wir versuchen bei der Umkehrfunktion t irgendwie, genau wie bei b), auszuklammern. Allerdings hat mir das nicht geholfen und da bin ich dann relativ schnell am Ende gewesen, weil ich einfach keinen Zusammenhang zwischen [mm] K_{t} [/mm] und [mm] K_{1} [/mm] erkennen konnte.
2. Wir bilden von dem Ergebnis aus b) die Umkehrfunktion. Hab das auch versucht und kam auf
[mm] g_{t}(x)=\bruch{-e^{x}+t+1}{-e^{x}+t-1}
[/mm]
Auch das half mir dann nicht wirklich weiter bzw. ich fand den Zusammenhang leider nicht.
Würde mich über ein bisschen Hilfe bzw. einen Denkanstoß sehr freuen, schonmal vielen Dank :)
aeternitas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Fr 15.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Zu jedem t>0 ist eine Funktion [mm]f_{t}[/mm] gegeben durch
> [mm]f_{t}(x)=ln(t[/mm] * [mm]\bruch{1+x}{1-x})[/mm] mit der Definitionsmenge
> [mm]D_{t}.[/mm] Ihr Graph sei [mm]K_{t}.[/mm]
> [...]
> b) Wie entsteht [mm]K_{t}[/mm] aus [mm]K_{1}?[/mm]
> [...]
> f) (Geben sie die Umkehrfunktion an) Wie geht [mm]K_{t}[/mm] aus
> [mm]K_{1}[/mm] (also jeweils die K der Umkehrfunktion) hevor?
> Hallo,
>
> habe Probleme bei der f.
>
> Die b) war relativ schnell gelöst:
>
> [mm]f_{t}(x)=ln(t[/mm] * [mm]\bruch{1+x}{1-x})[/mm] = ln(t) *
> [mm]ln(\bruch{1+x}{1-x})[/mm]
> = ln t + [mm]f_{1}(x)[/mm]
Hallo aeternitas,
in deiner Lösung zu b) hat sich ein falsches Rechenzeichen eingeschlichen.
Es gilt
[mm]f_{t}(x)=ln(t[/mm] * [mm]\bruch{1+x}{1-x})[/mm] = ln(t) +
[mm]ln(\bruch{1+x}{1-x})[/mm]
Danach stimmt es wieder.
Den Sinn der Umkehrfunktion begreife ich hier nicht. Wie entstekt Die Kurve [mm] K_t [/mm] aus [mm] K_1? [/mm] Laut deiner Rechnung muss die Antwort lauten: "Indem [mm] K_1 [/mm] um ln(t) in y-Richtung verschoben wird".
Die von dir formulierte Aufgabe f) ist eine Wiederholung der Aufgabe b) - nur dass plötzlich von irgendeiner Umkehrfunktion die Rede ist. Bitte kontrolliere noch mal den genauen Aufgabentext.
Viele Grüße
Abakus
> Nun habe ich die Umkehrfunktion gebildet:
>
> [mm]g_{t}(x)=\bruch{e^{x}-t}{e^{x}+t}[/mm]
>
> Nun aber wieder einen Zusammenhang zwischen [mm]K_{t}[/mm] und [mm]K_{1}[/mm]
> herzustellen gelingt mir nicht.
> Mein Lehrer meinte wir hätten zwei Möglichkeiten:
> 1. Wir versuchen bei der Umkehrfunktion t irgendwie, genau
> wie bei b), auszuklammern. Allerdings hat mir das nicht
> geholfen und da bin ich dann relativ schnell am Ende
> gewesen, weil ich einfach keinen Zusammenhang zwischen
> [mm]K_{t}[/mm] und [mm]K_{1}[/mm] erkennen konnte.
> 2. Wir bilden von dem Ergebnis aus b) die Umkehrfunktion.
> Hab das auch versucht und kam auf
>
> [mm]g_{t}(x)=\bruch{-e^{x}+t+1}{-e^{x}+t-1}[/mm]
>
> Auch das half mir dann nicht wirklich weiter bzw. ich fand
> den Zusammenhang leider nicht.
>
> Würde mich über ein bisschen Hilfe bzw. einen Denkanstoß
> sehr freuen, schonmal vielen Dank :)
>
> aeternitas
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Entschuldigung, dass ich das etwas unklar formuliert habe. Ich versuche jetzt nochmal die gesamte Aufgabenstellung anzuschreiben, habe jedoch leider nicht das Zeichen für "Quer" gefunden, was eine Umkehrfunktion aufweist.
Daher bennene ich jetzt einfach die Umkehrfunktion nicht f Strich sondern g und den dazugehörigen Graphen nicht K Strich sondern L.
Aufgabe:
Zu jedem t>0 ist eine Funktion [mm] f_{t} [/mm] gegeben durch [mm] f_{t}(x)=ln(t [/mm] * [mm] \bruch{1+x}{1-x}) [/mm] mit der Definitionsmenge [mm] D_{t}. [/mm] Ihr Graph sei [mm] K_{t}.
[/mm]
[...]
b) Wie entsteht [mm] K_{t} [/mm] aus [mm] K_{1}?
[/mm]
[...]
f) [mm] L_{t} [/mm] sei der Graph der Umkehfunktion [mm] g_{t}(x) [/mm] zu [mm] f_{t}(x). [/mm] Wie geht [mm] L_{t} [/mm] aus [mm] L_{1} [/mm] hervor? Welche Werte können die Tangentensteigungen von [mm] L_{t}(x) [/mm] annehmen?
Ich hoffe, dass mein Problem jetzt deutlich wird, weil f) zwar von der Methode her eine Wiederholung von b) ist, jedoch mit einer anderen Funktion :)
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Fr 15.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Entschuldigung, dass ich das etwas unklar formuliert habe.
> Ich versuche jetzt nochmal die gesamte Aufgabenstellung
> anzuschreiben, habe jedoch leider nicht das Zeichen für
> "Quer" gefunden, was eine Umkehrfunktion aufweist.
>
> Daher bennene ich jetzt einfach die Umkehrfunktion nicht f
> Strich sondern g und den dazugehörigen Graphen nicht K
> Strich sondern L.
>
>
> Aufgabe:
> Zu jedem t>0 ist eine Funktion [mm]f_{t}[/mm] gegeben durch
> [mm]f_{t}(x)=ln(t[/mm] * [mm]\bruch{1+x}{1-x})[/mm] mit der Definitionsmenge
> [mm]D_{t}.[/mm] Ihr Graph sei [mm]K_{t}.[/mm]
> [...]
> b) Wie entsteht [mm]K_{t}[/mm] aus [mm]K_{1}?[/mm]
> [...]
> f) [mm]L_{t}[/mm] sei der Graph der Umkehfunktion [mm]g_{t}(x)[/mm] zu
> [mm]f_{t}(x).[/mm] Wie geht [mm]L_{t}[/mm] aus [mm]L_{1}[/mm] hervor? Welche Werte
> können die Tangentensteigungen von [mm]L_{t}(x)[/mm] annehmen?
>
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> Ich hoffe, dass mein Problem jetzt deutlich wird, weil f)
> zwar von der Methode her eine Wiederholung von b) ist,
> jedoch mit einer anderen Funktion :)
>
> Danke.
Hallo, jetzt wird es einfach. Vom Graphen einer Funktion zum Graphen der Umkehrfunktion kommt man, indem man den Graphen an der Geraden y=x spiegelt.
Wenn [mm] K_1 [/mm] um ln t in y-Richtung verschoben wird, um [mm] K_t [/mm] zu erhalten, so muss [mm] L_1 [/mm] um ln t in x-Richtung verschoben wird, um [mm] L_t [/mm] zu erhalten,
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Ich habe ja bereits die Umkehrfunktion. Die ist m.E.
[mm] g_{t}(x)=\bruch{e^{x}-t}{e^{x}+t}
[/mm]
Dann kann ich auch [mm] g_{1}(x) [/mm] bilden
[mm] g_{1}(x)=\bruch{e^{x}-1}{e^{x}+1}
[/mm]
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich die beiden wie in Aufgabenteil b) schon getan und hier in f) wieder verlangt in einen Zusammenhang setzen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Fr 15.02.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
in dem Term
[mm] \bruch{e^x-t}{e^x+t} [/mm] lässt sich in Zähler und Nenner der Faktor t ausklammern (und t dann wegkürzen)
Du erhältst
[mm] \bruch{e^x-t}{e^x+t} =\bruch{\bruch{e^x}{t}-1}{\bruch{e^x}{t}+1}.
[/mm]
Schreibe jetzt auch noch das t als Potenz von e und wende die Potenzgesetze an. Damit bestätigt sich, dass der Graph um ln(t) in x-Richtung verschoben wird.
(Ohne diese Vorbetrachtung wäre ich selbst nicht darauf gekommen.)
Abakus
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Gut, ich hab das jetzt mal weiter gerechnet...
Bei mir kommt dann da raus:
[mm] \bruch{e^{x-ln t}-1}{e^{x-ln t}+1}
[/mm]
Tut mir wirklich leid wenn ich nerve, aber wie krieg ich da jezt das t raus?! Ich mein das ist ja sowohl oben als auch unten ne Summe, wenn ich da wieder was mit ausklammern versuche hab ich direkt wieder auf der anderen Seite nen t....
:(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Fr 15.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Gut, ich hab das jetzt mal weiter gerechnet...
>
> Bei mir kommt dann da raus:
>
> [mm]\bruch{e^{x-ln t}-1}{e^{x-ln t}+1}[/mm]
>
> Tut mir wirklich leid wenn ich nerve, aber wie krieg ich da
> jezt das t raus?! Ich mein das ist ja sowohl oben als auch
> unten ne Summe, wenn ich da wieder was mit ausklammern
> versuche hab ich direkt wieder auf der anderen Seite nen
> t....
>
> :(
Warum willst du den "rauskicken", was die Lösung deines Problems ist? Du bist fertig!
Nimm an, du hast irgendeine Funktion, z.B. [mm] y=f(x)=x^2. [/mm] Wie ändert sich der Funktionsgraph, wenn du x durch (x-2) ersetzt?
Der neue Graph von [mm] y=(x-2)^2 [/mm] entspricht dem alten - nur um 2 Einheiten in x-Richtung verschoben.
Allgemein gilt: Der Graph von f(x-b) entsteht aus dem Graphen von f(x) durch Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung.
Du HATTEST eine Funktion
[mm]g_1(x)=\bruch{e^{x}-1}{e^{x}+1}[/mm]
Daraus wird
[mm]g_t(x)=g_1(x- ln t)=\bruch{e^{x-ln t}-1}{e^{x-ln t}+1}[/mm]
Damit wird der Graph der neuen (Umkehr-)Funktion aus dem alten Graphe durch die schön früher vorhergesagte Verschiebung um "ln t" Einheiten in x-Richtung erzeugt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Fr 15.02.2008 | | Autor: | aeternitas |
Hmm...so hab ich das noch nicht gesehen. Durch die Äußerung meines Lehrers war ich darauf fixiert so etwas wie bei der b rauszukriegen.
Auf jeden Fall nochmal gaaaaaaaaaanz vielen Dank auch für die große Geduld :)
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