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Hi!
Es ist ein Graph S gegeben mit:
[mm] $\{(x,sin(\frac{1}{x})):0 < x \le 1\}$
[/mm]
Nun soll ich zeigen das
[mm] $\overline{S} [/mm] = S [mm] \cup \{(0,y): y \in [-1,1]\}$
[/mm]
zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend ist.
Ich habe mir [mm] $\overline{S} [/mm] mal graphisch überlegt. Zufälligerweise findet sich bei Wikipedia dazu auch der Graph:
Siehe dazu:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/0/07/Sinuseinsdurchx.png
Nun kann man sich überlegen, dass man die beiden Graphen nicht voneinander trennen kann, da sich keiner in eine offene Menge abspalten lässt, denn der Graph entlang der y-Achse hat in einer umgebung um 0 immer ein Element des anderen Graphen, der Rand ist nie leer.
D.h. die beiden Graphen gehören zusammen und hängen aneinander.
Wegzusammenhängend heisst, das man innerhalb der Menge [mm] $\overline{S}$ [/mm] einen Pfad legen kann der jeden Punkt mit jedem verbinden kann. Das geht nicht, da der Graph mit dem Sinus-Term [mm] $sin(\frac{1}{x})$ [/mm] zwar dem y-Graphen annähert, aber ihn nie erreicht, also kann man auch keine Abbildung finden die den Pfad darstellt, bzw. wäre der Pfad nicht stetig.
Hmm aber wie beweise(!) ich das ganze nun mathematisch. Intuitiv kann ich mir das schon irgendwie vorstellen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danke schonmal,
LG
Matze
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 So 02.05.2010 | | Autor: | matzekatze |
Danke
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