Zusammenhang der Konvergenzen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Moehri |
| Aufgabe | Es seien [mm] X, X_n, Y_n, n \in \IN [/mm] Zufallsvariablen auf einem WRaum [mm] (\Omega, A, P) [/mm] und a eine reelle Konstante. Weisen Sie folgende Implikationen nach:
a) [mm] X_n [/mm] konvergiert schwach gegen a. Daraus folgt [mm] X_n [/mm] konvergiert stochastisch gegen a
b) [mm] X_n [/mm] konvergiert schwach gegen a und [mm] Y_n [/mm] konvergiert stochastisch gegen 0. Dann folgt: [mm] X_nY_n [/mm] konvergiert stochastisch gegen 0. |
hallo...
ich bräuchte bei dieser Aufgabe dringend Hilfe, denn ich komme wirklich nicht weiter =(
Bei der a) hab ich so angefangen:
[mm] [mm] P(\left| X_n -a \right| \ge \epsilon [/mm] ) = [mm] P(X_n-a \ge \epsilon) [/mm] + [mm] P(X_n-a \le \epsilon [/mm] )
Weiter komme ich nicht...
Über Tipps und Hilfestellungen zur b) würde ich mich auch freuen.
Schonmal lieben Dank =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Normalerweise gilt das ja nicht, also muss es etwas damit zu tun haben, dass man die Konvergenz gegen eine Konstante betrachtet. Also schreib dir erstmal die Definitionen hin... Bei schwacher Konvergenz würde ich die maßtheoretische Formulierung vorschlagen.
Ich würde vermuten, dass es bei der a) bzgl. schwacher Konv. darauf ankommt, die richtigen Mengen zu betrachten (nämlich die, in denen a liegt - alle anderen haben sowieso Maß 0) und zu zeigen, dass man damit die Mengen [mm]|X_n(\omega) - a|[/mm] darstellen kann. Im Prinzip ein rein maßtheoretisches Argument.
Bei der b) würde ich die a) nutzen und dann eine einfache Abschätzung machen
[mm]P(|X_n Y_n - a*0|>\epsilon) \le P(|Y_n - 0|>\epsilon) * 1[/mm] (Wieso?)
Vermutlich findest du einen guten Beweis auch im Bauer...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 22.05.2007 | | Autor: | Moehri |
hallo,
Danke, dass so schnell eine Antwort kam =)
Mein Tutor hat zu der Aufgabe gemeint, dass man die Verteilungsfunktionen als nächstes ins Spiel bringen muss. Aber wie mache ich das jetzt? ich weiß zwar, dass eine Konstante durch die Indikatorfkt definiert ist, aber wie ich weitermachen soll, weiß ich wirklich nicht.
verteilungsfkt haben ja die Form [mm] P(X \le x) [/mm] Also habe ich mal weiter umgeformt:
[mm] P(X_n \ge \epsilon +a) + P(X_n \le \epsilon +a) [/mm] Bringt mir das überhaupt was? *grübel*
|
|
|
| |
|
Also, ich versuch's mal auf die Schnelle:
[mm] X_n [/mm] konvergiert schwach gegen a, also
[mm]P(X_n = a) \to P(a = a) = 1 \Rightarrow [/mm]
[mm]P(X_n - a = 0) \to 1 \Rightarrow [/mm] (Warum?)
[mm]P(|X_n - a| \le \epsilon) \to 1 [/mm]
Und das ist schon die stochastische Konvergenz, oder?
Da wo "(Warum?)" steht, würde ich als Tutor einen kleinen Kommentar erwarten...
|
|
|
|
