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| Aufgabe | | Zwei Cowboys besitzen gemeinsam x Rinder und verkaufen diese für je x Dollar. Von dem Erlös kaufen sie eine ungerade Anzahl von Schafen, die je 12 Dollar kosten, sowie von dem ganzen Restgeld ein Lamm. Der Cowboy, der beim Teilen ein Schaf mehr bekommt, schenkt dem anderen zum Ausgleich seine Mundharmonika. Was kostet die Mundharmonika? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo =),
ich habe mir gedacht, dass das so eine typische Aufgabe ist,die man mit einem Gleichungssystem bewältigen kann. Nun habe ich 4 Variable, aber nur 3 Gleichungen...
1. 12n+x=z
2. z+y-12n=12
3. x+y=12
n... Anzahl der Schafe
z... Erlös aus den Rindern
x... Preis für das Lamm
y... Preis für die Mundharmonika
Weiter komme ich nicht... Vielleicht liege ich auch falsch, ka. Kann mir jemand vielleicht helfen? Vielleicht ist das ganze auch nur eine Fangfrage und die Mundharmonika kostet nichts, da der eine Cowboy die ja dem anderen schenkt? Könnte das sein? Danke für eure Hilfe.
MfG mathemaus2010
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> Zwei Cowboys besitzen gemeinsam x Rinder und verkaufen
> diese für je x Dollar. Von dem Erlös kaufen sie eine
> ungerade Anzahl von Schafen, die je 12 Dollar kosten, sowie
> von dem ganzen Restgeld ein Lamm. Der Cowboy, der beim
> Teilen ein Schaf mehr bekommt, schenkt dem anderen zum
> Ausgleich seine Mundharmonika. Was kostet die
> Mundharmonika?
> Hallo =),
>
> ich habe mir gedacht, dass das so eine typische Aufgabe
> ist,die man mit einem Gleichungssystem bewältigen kann.
> Nun habe ich 4 Variable, aber nur 3 Gleichungen...
>
> 1. 12n+x=z
> 2. z+y-12n=12
> 3. x+y=12
>
> n... Anzahl der Schafe
> z... Erlös aus den Rindern
> x... Preis für das Lamm
> y... Preis für die Mundharmonika
>
> Weiter komme ich nicht... Vielleicht liege ich auch falsch,
> ka. Kann mir jemand vielleicht helfen? Vielleicht ist das
> ganze auch nur eine Fangfrage und die Mundharmonika kostet
> nichts, da der eine Cowboy die ja dem anderen schenkt?
> Könnte das sein?
Wohl nicht, denn er "schenkt" sie ihm ja zum Ausgleich.
> Danke für eure Hilfe.
>
> MfG mathemaus2010
Hallo mathemaus,
ich denke, du solltest etwas andere Bezeichnungen benützen.
In der Aufgabenstellung erscheint ja schon eine Unbekannte x,
die gleichzeitig die Gesamtzahl der Rinder und den Preis pro
Rind bezeichnet. Dieses x und die damit verbundene Aussage
verwendest du in deinen Gleichungen nicht, dafür aber ein
"anderes" x für den Preis des Lamms.
Auch hast du, soweit ich sehe, nicht berücksichtigt, dass der
eine der beiden genau ein Schaf mehr als der andere bekommt,
bzw. wohl der eine (z.B.) 47 Schafe, der andere 46 Schafe und
ein Lamm - und dazu die Mundharmonika, die in der "Bilanz"
des anderen als Minusposten auftritt.
LG Al-Chw.
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Hallo Al- Chwarizmi,
ist es nicht vollkommen egal, ob ich das x oder z nenne? gut man kann es der einfachheit halber x nennen, aber das dürfte doch trotzdem nichts ändern. und ich habe verschiedene gleichungen aufgestellt, die beachten, dass der eine ein schaf mehr bekommt als der andere und der andere ein schaf weniger, aber dafür das lamm und die mundharmonika, aber wenn ich diese gleichungen vereinfacht habe, dann kam ich immmer wieder auf diese ausgangsgleichungen, die ich hier schon geschrieben habe.
lg
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> Hallo Al- Chwarizmi,
>
> ist es nicht vollkommen egal, ob ich das x oder z nenne?
> gut man kann es der einfachheit halber x nennen, aber das
> dürfte doch trotzdem nichts ändern. und ich habe
> verschiedene gleichungen aufgestellt, die beachten, dass
> der eine ein schaf mehr bekommt als der andere und der
> andere ein schaf weniger, aber dafür das lamm und die
> mundharmonika, aber wenn ich diese gleichungen vereinfacht
> habe, dann kam ich immmer wieder auf diese
> ausgangsgleichungen, die ich hier schon geschrieben habe.
>
> lg
Natürlich ist es einerlei, wie man die Variablen bezeichnet.
Wichtig ist aber bestimmt noch, dass der Gesamterlös aus
dem Verkauf der Rinder eine Quadratzahl sein muss, also
[mm] z=x_{Aufgabe}^2 [/mm] .
Beachte auch meine andere Mitteilung .
Insgesamt hat man tatsächlich "zu wenige" Gleichungen.
Durch die Forderung der Ganzzahligkeit aller Werte wird
aber aus dem Gleichungssystem ein "diophantisches",
das dann wieder lösbar wird - allerdings kann man m.E.
nicht herausfinden, wie viele Rinder die beiden besaßen
und wie viele Schafe sie gekauft haben.
LG Al-Chw.
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> Zwei Cowboys besitzen gemeinsam x Rinder und verkaufen
> diese für je x Dollar. Von dem Erlös kaufen sie eine
> ungerade Anzahl von Schafen, die je 12 Dollar kosten, sowie
> von dem ganzen Restgeld ein Lamm. Der Cowboy, der beim
> Teilen ein Schaf mehr bekommt, schenkt dem anderen zum
> Ausgleich seine Mundharmonika. Was kostet die
> Mundharmonika?
Hallo mathemaus,
ich vermute, dass in der Aufgabe eine wichtige Angabe
fehlt, nämlich etwa die, dass Cowboys bei ihren Geschäften
grundsätzlich nur in Einheiten von "Bucks", also Dollars
rechnen. Mit kleineren Münzen wie Nickels, Dimes, Quarters
und Half-Dollars geben sie sich nicht ab ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Mein Vorschlag (ganz ausführlich):
Nennen wir die beiden Cowboys mal [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2. [/mm] Da nichts gesagt wurde, wie sich die beiden das Lamm teilen, gehe ich davon aus, dass es beiden zu gleichen Teilen gehört. Somit müssen wir bei der "Bilanz" das Lamm nicht berücksichtigen.
Die Cowboys kaufen 2k+1 Schafe. Nehmen wir an, dass [mm] C_1 [/mm] ein Schaf mehr bekommt.
Dann hat [mm] C_1 [/mm] Schafe im Wert von 12(k+1) Dollar und [mm] C_2 [/mm] hat Schafe im Wert von 12k Dollar.
Sei M der Preis der Mundharmonika, die [mm] C_2 [/mm] von [mm] C_1 [/mm] zum Ausgleich geschenkt bekommt.
Damit wirklich alles ausgeglichen ist muß gelten:
12(k+1)-M= 12k+M.
Nach M aufgelöst: M=6.
FRED
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> Mein Vorschlag (ganz ausführlich):
>
> Nennen wir die beiden Cowboys mal [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2.[/mm] Da nichts
> gesagt wurde, wie sich die beiden das Lamm teilen, gehe ich
> davon aus, dass es beiden zu gleichen Teilen gehört. Somit
> müssen wir bei der "Bilanz" das Lamm nicht
> berücksichtigen.
Hi Fred,
ich denke, dass das nicht so gemeint war. Ich habe nach
der Aufgabe gesucht und bin dabei auch auf diese Formulierung
gestoßen:
2 Cowboys verkaufen ihre x Kühe für je x Dollar pro Kuh.
Davon kaufen sie eine ungerade Anzahl Schafe zu je 12 Dollar.
Für den Rest kaufen sie sich ein Lamm. Dem Cowboy der
beim Teilen das Lamm erhält, schenkt der andere zum
Ausgleich seine Mundharmonika. Wie teuer ist die Mundharmonika?
> Die Cowboys kaufen 2k+1 Schafe. Nehmen wir an, dass [mm]C_1[/mm] ein
> Schaf mehr bekommt.
>
> Dann hat [mm]C_1[/mm] Schafe im Wert von 12(k+1) Dollar und [mm]C_2[/mm] hat
> Schafe im Wert von 12k Dollar.
>
> Sei M der Preis der Mundharmonika, die [mm]C_2[/mm] von [mm]C_1[/mm] zum
> Ausgleich geschenkt bekommt.
>
> Damit wirklich alles ausgeglichen ist muß gelten:
>
> 12(k+1)-M= 12k+M.
>
> Nach M aufgelöst: M=6.
>
> FRED
Grundsätzlich haben wir es hier aber (wieder einmal) mit
einer nicht ganz klar und eindeutig gestellten Aufgabe
zu tun.
Die Angabe, dass die Anzahl der Rinder gleich dem Preis
(in $) pro Rind sein soll, wäre übrigens ziemlich absurd,
falls sie für die Lösung gar keine Rolle spielen sollte.
Ich tippe also auf "diophantische Aufgabe".
LG Al
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Als ich mir die Aufgabe erstmals durchgelesen habe, da habe ich mir auch Gedanken darüber gemacht, dass das Lamm keine weitere Rolle spielt. Es wird ja nicht weiter erwähnt, dass sie das teilen. Über die Rinder hatte ich auch nach gedacht, da der Text ja aussagt, dass das Gesamtbudget [mm] x^2 [/mm] ist nach dem Verkauf der Rinder. Jedoch glaube ich nicht, dass das hier weiter eine Rolle spielt und deswegen habe ich es als z bezeichnet und das Quadrat weg gelassen, damit die Gleichungen nicht komplizierter werden. Ich weiß leider nicht, was diphomantisch bedeutet. Ich überlege , dass ich 2 Lösungen angebe. Einmal betrachte ich das Lamm mit und einmal nicht. Nur wenn ich es mit betrachte, dann komme ich trotzdem nicht weiter :P ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Do 27.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Als ich mir die Aufgabe erstmals durchgelesen habe, da habe
> ich mir auch Gedanken darüber gemacht, dass das Lamm keine
> weitere Rolle spielt. Es wird ja nicht weiter erwähnt,
> dass sie das teilen. Über die Rinder hatte ich auch nach
> gedacht, da der Text ja aussagt, dass das Gesamtbudget [mm]x^2[/mm]
> ist nach dem Verkauf der Rinder. Jedoch glaube ich nicht,
> dass das hier weiter eine Rolle spielt und deswegen habe
> ich es als z bezeichnet und das Quadrat weg gelassen, damit
> die Gleichungen nicht komplizierter werden. Ich weiß
> leider nicht, was diphomantisch bedeutet. Ich überlege ,
> dass ich 2 Lösungen angebe. Einmal betrachte ich das Lamm
> mit und einmal nicht. Nur wenn ich es mit betrachte, dann
> komme ich trotzdem nicht weiter :P ...
Probieren wir doch mal ein wenig.
Angenommen, 8 Rinder würden für je 8 Dollar verkauft. Von den 64 Dollar Erlös gibt es 5 Schafe (kosten 60 Dollar) und ein Lamm (für die restlichen 4 Dollar). Ein Cowboy bekommt 3 Schafe (36 Dollar), der andere 2 Schafe und das Lamm (24+4=28 Dollar). Differenz: 8 Dollar.
Angenommen, 16 Rinder würden für 16 Dollar verkauft.
Für 256 Dollar bekommt man 21 Rinder (252 Dollar) und ein Lamm für 4 Dollar. Differenz zwischen 11 Rindern und 10 Rinder+Lamm ist wieder 8 Dollar.
Alle anderen Möglichkeiten zwischen 8 und 16 gingen nicht, weil die betreffende Quadratzahl immer ein geradzahliges Vielfaches von 12 enthielt:
81=6*12+9
100=8*12+4
121=10*12+1
144=12*12
169=14*12+1
196=16*12+4
225=18*12+9
Es wäre jetzt zweierlei zu zeigen:
1) Für Preise und Rinderzahlen, die kein Vielfaches von 8 sind, bekommt man eine gerade Anzahl von Schafen
2) Bei einem Vielfachen von 8 bekommt man eine ungerade Anzahl von Schafen und einen Rest von 4 Dollar für ein Lamm.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Do 27.10.2011 | | Autor: | donquijote |
> > Als ich mir die Aufgabe erstmals durchgelesen habe, da habe
> > ich mir auch Gedanken darüber gemacht, dass das Lamm keine
> > weitere Rolle spielt. Es wird ja nicht weiter erwähnt,
> > dass sie das teilen. Über die Rinder hatte ich auch nach
> > gedacht, da der Text ja aussagt, dass das Gesamtbudget [mm]x^2[/mm]
> > ist nach dem Verkauf der Rinder. Jedoch glaube ich nicht,
> > dass das hier weiter eine Rolle spielt und deswegen habe
> > ich es als z bezeichnet und das Quadrat weg gelassen, damit
> > die Gleichungen nicht komplizierter werden. Ich weiß
> > leider nicht, was diphomantisch bedeutet. Ich überlege ,
> > dass ich 2 Lösungen angebe. Einmal betrachte ich das Lamm
> > mit und einmal nicht. Nur wenn ich es mit betrachte, dann
> > komme ich trotzdem nicht weiter :P ...
> Probieren wir doch mal ein wenig.
> Angenommen, 8 Rinder würden für je 8 Dollar verkauft.
> Von den 64 Dollar Erlös gibt es 5 Schafe (kosten 60
> Dollar) und ein Lamm (für die restlichen 4 Dollar). Ein
> Cowboy bekommt 3 Schafe (36 Dollar), der andere 2 Schafe
> und das Lamm (24+4=28 Dollar). Differenz: 8 Dollar.
> Angenommen, 16 Rinder würden für 16 Dollar verkauft.
> Für 256 Dollar bekommt man 21 Rinder (252 Dollar) und ein
> Lamm für 4 Dollar. Differenz zwischen 11 Rindern und 10
> Rinder+Lamm ist wieder 8 Dollar.
> Alle anderen Möglichkeiten zwischen 8 und 16 gingen
> nicht, weil die betreffende Quadratzahl immer ein
> geradzahliges Vielfaches von 12 enthielt:
> 81=6*12+9
> 100=8*12+4
> 121=10*12+1
> 144=12*12
> 169=14*12+1
> 196=16*12+4
> 225=18*12+9
>
> Es wäre jetzt zweierlei zu zeigen:
> 1) Für Preise und Rinderzahlen, die kein Vielfaches von 8
> sind, bekommt man eine gerade Anzahl von Schafen
> 2) Bei einem Vielfachen von 8 bekommt man eine ungerade
> Anzahl von Schafen und einen Rest von 4 Dollar für ein
> Lamm.
Ist L der preis des Lamms, so muss gelten
(2n+1)*12+L = [mm] x^2, [/mm] wobei 0<L<12
Betrachtet diese Gleichung modulo 24, erhält man
12+L = [mm] x^2 [/mm] (mod 24)
Man stellt fest, dass [mm] x^2 [/mm] mod 24 nur die Werte 0,1,4,9,12 und 16 annehmen kann. Dies geht entweder durch probieren oder aufgrund der Beobachtung, dass [mm] x^2 [/mm] mod [mm] 3\in\{0,1\} [/mm] und [mm] x^2\mod 8\in\{0,1,4\} [/mm] liegen muss.
Ein passendes L (=4) gibt es nur im Fall [mm] x^2=16 [/mm] (mod 24).
Das ist genau dann der Fall, wenn x durch 4, aber nicht durch 3 teilbar ist.
> Gruß Abakus
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Mein Vorschlag (ganz ausführlich):
> >
> > Nennen wir die beiden Cowboys mal [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2.[/mm] Da nichts
> > gesagt wurde, wie sich die beiden das Lamm teilen, gehe ich
> > davon aus, dass es beiden zu gleichen Teilen gehört. Somit
> > müssen wir bei der "Bilanz" das Lamm nicht
> > berücksichtigen.
>
> Hi Fred,
>
> ich denke, dass das nicht so gemeint war. Ich habe nach
> der Aufgabe gesucht und bin dabei auch auf diese
> Formulierung
> gestoßen:
>
> 2 Cowboys verkaufen ihre x Kühe für je x Dollar pro Kuh.
> Davon kaufen sie eine ungerade Anzahl Schafe zu je 12
> Dollar.
> Für den Rest kaufen sie sich ein Lamm. Dem Cowboy der
> beim Teilen das Lamm erhält, schenkt der andere zum
> Ausgleich seine Mundharmonika. Wie teuer ist die
> Mundharmonika?
>
Hallo Al,
jetzt sieht das schon ganz anders aus.
>
> > Die Cowboys kaufen 2k+1 Schafe. Nehmen wir an, dass [mm]C_1[/mm] ein
> > Schaf mehr bekommt.
> >
> > Dann hat [mm]C_1[/mm] Schafe im Wert von 12(k+1) Dollar und [mm]C_2[/mm] hat
> > Schafe im Wert von 12k Dollar.
> >
> > Sei M der Preis der Mundharmonika, die [mm]C_2[/mm] von [mm]C_1[/mm] zum
> > Ausgleich geschenkt bekommt.
> >
> > Damit wirklich alles ausgeglichen ist muß gelten:
> >
> > 12(k+1)-M= 12k+M.
> >
> > Nach M aufgelöst: M=6.
> >
> > FRED
>
>
> Grundsätzlich haben wir es hier aber (wieder einmal) mit
> einer nicht ganz klar und eindeutig gestellten Aufgabe
> zu tun.
> Die Angabe, dass die Anzahl der Rinder gleich dem Preis
> (in $) pro Rind sein soll, wäre übrigens ziemlich
> absurd,
> falls sie für die Lösung gar keine Rolle spielen
> sollte.
> Ich tippe also auf "diophantische Aufgabe".
In der ersten Formulierung der Aufgabe habe ich den ganzen Schnick-Schnack mit den Rindern und dem Lamm nur für ein "Ablenkungsmanöver" gehalten, ähnlich wie bei folgender Aufgabe, über die ich vor einiger Zeit gestolpert bin:
Primzahltanz: Bekanntlich ist 37 eine Primzahl. Nun befinden sich 37 Ehepaare in einem Tanzsaal und jeder Mann wählt unter den 37 Frauen zufällig eine Tanzpartnerin.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 36 Männer mit ihren jeweiligen Ehefrauen tanzen ?
Na, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ?
Gruß FRED
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> LG Al
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