Zwei Matrizen sind unähnlich < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mi 11.05.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Für [mm] $A=\vektor{0&-1\\1&0}$ [/mm] und [mm] $B=\vektor{1&0\\0&-1}$ [/mm] ist $A [mm] \approx [/mm] B$ in [mm] $M_{\IR}(2)$? [/mm] |
Hallo,
Wären sie [mm] $\approx$ [/mm] dann gülte:
[mm] $A=T^{-1}BT$
[/mm]
ALSO:
$BT-TA=0$
Mit : [mm] $T=\vektor{a&b\\c&d}$
[/mm]
folgt: [mm] $\vektor{0&2b\\2a&0}=0$ [/mm]
also sind sie ähnlich!
Richtig?
Danke und Gruss
kushkush
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wie kommst du auf BT-TA=0 ?
ich wüsste auch nicht was dir das bringen sollte ?!
wenn du die Transformationsmatrix T gegeben hast und A und B dann brauchst du dir nur noch T^-1 (Inverse der Transformationsmatrix) errechnen und dann setzt du in die Formel ein:
A=(T^-1)BT
wenn das Ergebnis stimmt weißt du dass die beiden Matrizen Ähnlich sind.
Ähnliche Matrizen beschreibe dieselbe lineare Abbildung bezüglich verschiedener Basen ;)
kannst das Beispiel auch ohne T lösen .. einfach die Determinante von A und die Determinante von B errechnen.
Sind sich die Matrizen ähnlich muss gelten detA=detB
liebe grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Mi 11.05.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> wie kommst du
Das habe ich im Internet gelesen.
> Determinante reicht
OK.
> liebe grüBe
Danke!
Gruss
kushkush
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$ [mm] A=T^{-1}BT [/mm] $
-> $ 0=BT-AT $ $ [mm] \not= [/mm] BT-TA $
Kann man ja ganz schnell nachrechnen ;) könnte in deinem fall richtig sein dass AB = BA (bei der multiplikation ist die reihenfolge von bedeutung), jedoch ist im allgemeinen $ AB [mm] \not= [/mm] BA $
internet würd ich dir nicht immer empfehlen, da die definitionen nicht immer ganz sauber und gut formuliert sind.
Am besten lernt man sowas aus dem eigenen Skript (die meisten Professoren beharren auf ihre eigene Definition).
Es gibt schon allein in linearer Algebra sehr viele Unterschiede bei den Definitionen wenn man Österreich mit Deutschland vergleicht (bestes Beispiel: Jordan'sche-Normalform).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mi 11.05.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> [mm]A=T^{-1}BT[/mm]
> -> [mm]0=\red{BT-AT}[/mm] [mm]\not= BT-TA [/mm]
Wo kommt das her?
[mm] A=T^{-1}BT \Rightarrow TA=TT^{-1}BT=BT \Rightarrow [/mm] BT-TA=0
>
> Kann man ja ganz schnell nachrechnen ;) könnte in deinem
> fall richtig sein dass AB = BA (bei der multiplikation ist
> die reihenfolge von bedeutung), jedoch ist im allgemeinen
> [mm]AB \not= BA[/mm]
>
> internet würd ich dir nicht immer empfehlen, da die
> definitionen nicht immer ganz sauber und gut formuliert
> sind.
> Am besten lernt man sowas aus dem eigenen Skript (die
> meisten Professoren beharren auf ihre eigene Definition).
>
> Es gibt schon allein in linearer Algebra sehr viele
> Unterschiede bei den Definitionen wenn man Österreich mit
> Deutschland vergleicht (bestes Beispiel:
> Jordan'sche-Normalform).
LG
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> > [mm]A=T^{-1}BT[/mm]
> > -> [mm]0=\red{BT-AT}[/mm] [mm]\not= BT-TA[/mm]
> Wo kommt das her?
das hat kushkush geschrieben und ich habe es widerlegt ;)
(ok ich habs vielleicht ein bisschen unübersichtlich gestaltet jedoch kann man $ [mm] A=T^{-1}BT \Rightarrow TA=TT^{-1}BT=BT \Rightarrow [/mm] $ BT-TA=0 ja sehr schnell im kopf rechnen )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mi 11.05.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
> wie kommst du auf BT-TA=0 ?
>
> ich wüsste auch nicht was dir das bringen sollte ?!
>
> wenn du die Transformationsmatrix T gegeben hast und A und
> B dann brauchst du dir nur noch T^-1 (Inverse der
> Transformationsmatrix) errechnen
Nicht komplizierter machen, als es ist. Das ist nicht notwendig.
> und dann setzt du in die Formel ein:
>
> A=(T^-1)BT
>
> wenn das Ergebnis stimmt weißt du dass die beiden Matrizen
> Ähnlich sind.
>
> Ähnliche Matrizen beschreibe dieselbe lineare Abbildung
> bezüglich verschiedener Basen ;)
>
> kannst das Beispiel auch ohne T lösen .. einfach die
> Determinante von A und die Determinante von B errechnen.
> Sind sich die Matrizen ähnlich muss gelten detA=detB
das ist nicht richtig: die charakteristischen Polynome müssen übereinstimmen. Also sind andere Determinanten zu überprüfen.
>
> liebe grüße
LG
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>das ist nicht richtig: die charakteristischen Polynome müssen übereinstimmen. Also sind andere Determinanten zu überprüfen.
doch ist es ;) kannst du dir von [mm] B=TAT^{-1} [/mm] herleiten!
wird Weltweit unterrichtet und du kannst es gerne nachprüfen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29
das ist sogar eine Definition der Ähnlichkeit von Matrizen :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Mi 11.05.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> >das ist nicht richtig: die charakteristischen Polynome
> müssen übereinstimmen. Also sind andere Determinanten zu
> überprüfen.
>
> doch ist es ;) kannst du dir von [mm]B=TAT^{-1}[/mm] herleiten!
Ok, sehe ich auch ein. Dachte gerade nur an übereinstimmende charakteristische Polynome.
LG
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in jedem fall ist die determinante einfacher als das charakteristische polynom zu berechnen ;)
rang muss sowieso gleich sein und die jordan'sche normalform auch.
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Moin kushkush,
> Für [mm]A=\vektor{0&-1\\1&0}[/mm] und [mm]B=\vektor{1&0\\0&-1}[/mm] ist [mm]A \approx B[/mm]
> in [mm]M_{\IR}(2)[/mm]?
> Hallo,
>
>
> Wären sie [mm]\approx[/mm] dann gülte:
>
> [mm]A=T^{-1}BT[/mm]
>
> ALSO:
>
> [mm]BT-TA=0[/mm]
>
> Mit : [mm]T=\vektor{a&b\\c&d}[/mm]
>
>
> folgt: [mm]\vektor{0&2b\\2a&0}=0[/mm]
Wie kommst du darauf?
[mm] BT=\pmat{1&0\\0&-1}\pmat{a&b\\c&d}=\pmat{a&b\\-c&-d}
[/mm]
[mm] TA=\pmat{a&b\\c&d}\pmat{0&-1\\1&0}=\pmat{b&-a\\d&-c}
[/mm]
Also
[mm] BT-TA=\pmat{a&b\\-c&-d}-\pmat{b&-a\\d&-c}=\pmat{a-b&b+a\\-c-d&c-d}
[/mm]
>
> also sind sie ähnlich!
Das wage ich zu bezweifeln.
Prüf erstmal, ob das charakteristische Polynom übereinstimmt, i.e. ob gilt
[mm] det(X*E_2-A)=det(X*E_2-B)
[/mm]
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>
> Richtig?
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>
> Danke und Gruss
> kushkush
LG
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> $ [mm] det(X\cdot{}E_2-A)=det(X\cdot{}E_2-B) [/mm] $
überflüssig .. reicht detA=detB
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